JADAD Geomeetriline (iga liige on eelnevast konstantne arv KORDA suurem) q jada tegur Arikmeetiline (iga liige on eelnevast konstantne arv VÕRRA suurem) d - jada tegur VEKTORID JA SIRGED = AB SIRGE VÕRRANDID: PUNKTI ja SIHIVEKTORI ( kaudu KAHE PUNKTI kaudu PUNKTI ja TÕUSU (k) järgi AGKOORDINAAT (b) ja TÕUSU järgi __________________________________________________________ __________________________________________________________ NURK Nurk vektorite vahel Nurk sirgete vahel RINGJOON KOLMNURK RISTTAHUKAS
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Sirge võrrand ruumis Kahe punkti A ja B kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) B ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Punkti A ja sihivektori s kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) s ( s1 ; s 2 ; s 3 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = = t kanooniline s1 s2 s3 x = x1 + s1t y = y1 + s 2 t parameetriline z = z +s t 1 3 Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos
keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil. Laias kursuses peab õpilane lisaks eelnevale selgitama ka kahe vektori vahelist nurka, lahendama kolmnurka vektorite abil, leidma lõigu pikkust ja selle keskpunkti koordinaate, koostama sirge võrrandit ka punkti ja sihivektori kaudu ning teisendama kõiki sirge võrrandeid üldkujule. Õpilane leiab ka kahe sirge vahelise nurga, koostab hüperbooli, parabooli ja ringjoone võrrandeid ning leiab kahe joone lõikepunkte. Soovitan kõigil õpetajatel tutvuda kirjastuse Avita poolt välja antud raamatuga ,,Gümnaasiumi kitsas matemaatika III. Vektor tasandil. Joone võrrand". Õpik on ladusas keeles, rohkete illustratsioonidega, järgib hästi ainekava ning sisaldab rohkesti elulisi ülesandeid. Ülesannete
Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 . Kahe sirge lõikepunkti saab vastavate võrranditega moodustatud lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisega. Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. Risti olevate sirgete tõusude korrutis on -1. Nurk kahe sirge vahel on arvutatav valemiga . On antud kaks punkti A(-2; 6) ja B(4; -3)
A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0 lõikejoont. Sirge üldvõrrandid ruumis: A1x B1 y C1z D1 0 . A2 x B2 y C2 z D2 0 Näide: Koostada kanoonilised võrrandid sirgele, mis on antud oma üldvõrranditega 2x 5 y z 4 0 . x 2y z 2 0 Kaks lahendusviisi, kas sihivektori ja ühe punkti kaudu või kahe punkti kaudu. n1 2, 5, 1 n2 1, 2, 1 5 1 1 2 2 5 s n1 n2 , , 3, 3, 9 2 1 1 1 1 2 Kanooniliste võrrandite koostamiseks on vaja teada sirgel asuvat punkti, võtame z 0 , saame süsteemi, mille lahendamine annab ühe punkti koordinaadid:
44. Sirge võrrandi koostamine telglüikude abil veerandis x y -kui võrdetegur a<0, siis sirge asub II, IV + =1 veerandis a b 54. Pöördvõrdeline sõltuvus 45. Sirge võrrandi koostamine sihivektori ja a ühe punkti abil y = , kus a 0 ja x 0 X - x1 Y - y1 x = s = (sx ; s y ) Graafik on hüperbool: sx sy -kui võrdetegur a>0, siis sirge asub I,III 46
+ =1 S: p1 p2 Võrrand kahe tasandi PUUDUB S: lõikejoonena { A 1 x + B1 y +C 1 z + D 1=0 A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t ´s = A´B , kus AB ⊂ s. 75.Normaalvektor- nimetatakse vektorit n´ =( A 1− A 2 ) sirge s : A 1 x + A 2 y + A3=0 76.Sirge parameetriline vektorvõrrand – Olgu X sirge s suvaline punkt. ⃗
normaalvektoriks Sirge tõus sirge tõusunurga tangens. k = tan (sirge tõusu saab leida vaid x-teljega mitteristuvate sirgete korral, st tan väärtus puudub 90° juures). Sirge tõusunurgaks nimetataksse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel (mõõdetakse vastu kellaosuti liikumissuunda). Sirge tõusunurga suurus on alati 0° ja 180° vahel. Kanooniline võrrand on sirge võrrand, mis on määratud sihivektori ja punktiga. Olgu sirge s määratud oma sihivektoriga s = (s1 ; s2 ) ja punktiga A(x1 ; y1 ). Punkt X(x; y) asub vaadeldaval sirgel parajasti siis, kui vektorid s = (s1; s2) ja AX = (x-x1; y -y1) on samasihilised (AX||s), st parajasti siis, kui ülalolev võrdus on tõene. Üldvõrrand kanoonilise võrrandi lineaarvõrrandiks teisendatud kuju s2 x + (-s1 )y + (s1 y1 - s2 x1 ) = 0 Ax + By + C = 0 A = s2 , B = -s1 , C = s1 y1 -s2 x1
parallelsed; kontrollime, kas need sirged lõikuvad või on kiivsed. Kui sirged lõikuvad, leidub nendel ühine punkt, üritame seda leida järgmise süsteemi abil: See süsteem ei ole lahenduv ja seega need sirged ei lõiku, järelikult, nad on kiivsed. Kiivsete sirgete vahelise kauguse leidmiseks paneme läbi esimese sirge tasandi, mis oleks teise sirgega paralleelne. Selleks võtame esimese sirge võrrandist punkti A(1; 3;-1) ja sihivektori (1;-2; 1) ja teise sirge võrrandist võtame sihivektori = = (2; 1; 1): Nüüd koostame võrrand tasandile, mis läbib punkti A ja on vektoritega i ja i paralleelne ehk -3x + y + 5z + 6 = 0. Nüüd on vaja leida teise sirge, st .
F(x,y,z)=0 Q(x,y,z)=0 t E [alfa,beeta] x=x(t) y=y(t) z=z(t) r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)) (Joons! Ei leidnud kusagilt õpikust) to=>¤t r= (t+¤t)=r(x(to+¤t),y(to+¤t),z(to+¤t))(Joonis!) ro=(x(to),y(to),z(to)) r(to+t)-r(to)=¤r=(¤x,¤y,¤z) ¤x=x(to+¤t)-x(to) ¤y=y(to+¤t)-y(to) ¤z=z(to+¤t)-z(to) lim(t->0) ¤r/¤t=r*= lim(¤t->0) (¤x/¤t,¤y/¤t,¤z/¤t)=(x*,y*,z*) x*=dx/xt y*=dy/dt z*=dz/dt Puutuja võrrand: (x-xo)/m= (y-yo)/n= (z-zo)/p=t s=(m,n,p) sihivektori koordinaadid (x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit
SIRGE VÕRRAND:Sirge võrrandid: Poolus suvaline punkt O E Punkti kohavektor pooluse O suhtes - nimetatakse vektorit OX Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja
s1 s2 Näide. Kui sirge läbib punkti A(3; 4) ja sihivektor s (1;5) , siis sirge võrrand on x 3 y 4 , ehk 1 5 peale lihtsustamist y = –5x + 19. Sirge võrrandit kujul Ax + By + C = 0 nimetatakse sirge üldvõrrandiks. Näites toodud sirge üldvõrrand on 5x + y – 19 = 0. Arvud A ja B sirge üldvõrrandis on sirge sihivektori koordinaadid. Kui sirge võrrand on Ax + By + C = 0, siis selle sirge sihivektor on s (B; A) © Allar Veelmaa 2014 29 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium RINGJOONE VÕRRAND Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka
matud ristlõigu pikkust ja tähistame seda d(P, s) abil. Olgu ruumis antud punkt P ja sirge s sihivektor u. Võtame sirgel suvalise punkti A s ja moodustame vabavektori AP. Skeem 1. Vektorite AP ja u vahelisest nurgast := (AP, u) ja täis- nurksest kolmnurgast saame, et d(P, s) sin() = d(P, s) = sin()|AP|. |AP| Korrutame ja jagame viimast võrdust sihivektori pikkusega |u|. Siis sin() · |AP| · |u| |AP × u| d(P, s) = = . |u| |u| Skeem 2. Moodustame vektorite AP ja u abil rööpküliku, kus mõlema vektori alguspunktid asuvad punktis A s. Rööpküliku pindala Srk = |AP × u|. Teisalt, rööpküliku pindala saab arvutada ka kui aluse |u| ja kõrguse d(P, s) korrutis. Seega Srk |AP × u|
annaabi.ee 
