arv M, et iga n 2N korral xn 6M. Definitsioon 6 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse t˜okestatuks, kui leidub selline arv M >0, et 8n 2N(|xn|6M). Lause 1 Konstantse jada piirv¨a¨artus on see konstant.Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium) Jada {xn}koondub parajasti siis, kui iga _>0 korral leidub N 2N, et iga naturaalarvu n >N ja naturaalvu p korral kehtib v˜orratus |xn+p −xn|<_.
Alt tõkestatud jada tähistatakse O (1). L Jada (x ) nimetatakse monotoonseks, kui ta on kasvav või kahanev n Definitsioon. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel, nimetatakse selle jada osajadaks. 16. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Selgitada definitsiooni Definitsioon 1 . Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis x → a, kui suvalise ε > 0 korral leidub δ = δ(ε), et iga x ∈ X korral, mis rahuldab tingimust 0 < |x − a| < δ, kehtib võrratus |f(x) − A| < ε. Tähistakse lim f(x) = A. x→a 17
DEF 8. Jada, millel on(ei ole) lõplik piirväärtus nim. koonduvaks jadaks(hajuvaks jadaks) DEF 9. Öeldakse, et jada xn on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et IxnIM (n N) DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11. Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 11 (Cauchy kriteerium) Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kuivastavalt igale pos.arvule leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib Ixn+p-xnI<, kui n>n0 1.4 Arv e Vaata tõestust! 1.5 Funktsiooni piirväärtus DEF 1. Suurust a nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise -
Tõkestakse Or(1) vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui Monotoonsed jadad- leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c
rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
<= M. Arvjada nimetatakse {xn} nimetatakse alt tõkestatuks, kui leidub arv M, et iga n ∈ N korral Kui N = max{N1, N2}, siis xn > M. Iga koonduv jada on tõkestatud. ∀n > N xn ∈ Uε(a) Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. Jada ∀n > N xn ∈ Uε(b) {xn} osajadaks {yn} nimetatakse jada, mis on saadud jadast {x n} lõpliku või lõpmatu hulga jadaSaame vastuolu kuna vastavalt eeldusele Uε(a) ∩ Uε(b) = ∅ elementide väljajätmise teel. Bolzano-Weierstrass: Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva 4. Koonduva jada tõkestatuse tõestus. osajada. Edaspidi 7,8 cauchy jada kohta 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste
5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 .
kriips all). f+'(x)= limx0+ f (x+ x )-f(x) / x Lause. Iga koonduv jada on tõkestatud. f-'(x)= limx0- f (x+ x )-f(x) / x Lause. Iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Funk-ni f(x) diferintseeruvusest punktis x järeldub selle fun-ni pidevus punktis x, sh f(x) Def. Jada {xn} osajadaks {yn} nim. jada, mis on saadud jadast {xn} lõpliku või lõpmatu hulga D(x) f(x) C(x). jada elementide väljajätmise teel. Bolzano-WeierstraSi teoreem. Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Konkreetsed: 10. Näidata, et lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike. - 1
*Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva
mittekasvav või mittekahanev. osajada.
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu
on kasvav või kahanev. hulga jada elementide väljajätmise teel.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 ∈ X korral, mis
rahuldavad võrratust x1
duv, st xn = OR (1) xn {xn } c v~oi xn = OL (1) xn {xn } c. 37 T~ oestust vt [5], lk 102103. Definitsioon 11. Iga jada, mis saadakse jadast mingi l~opliku v~oi l~opmatu hulga jada elementide v¨ aljaj¨ atmisel, nimetatakse selle jada osajadaks. aide 3. Eraldame jadast {(-1)n (n - 1)/n} kaks osajada N¨ {(-1)2n (2n - 1)/(2n)} = {(2n - 1)/(2n)} (v~oetakse l¨ ahtejadast vaid paarisarvulise indeksiga liikmed) ja {(-1)2n+1 (2n)/(2n + 1)} = {(-2n)/(2n + 1)} (v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed). Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem). Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st
¨ I 17 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ Lause Kui jada {xn } koondub arvuks a, siis selle jada uldliige ¨ on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn - 0. Lause Iga ulalt ¨ ~ tokestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon Jada {xn } osajadaks {yn } nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn } lopliku ~ ~ lopmatu voi ~ ¨ atmise hulga jada elementide valjaj ¨ teel. Teoreem (Bolzano-Weierstrassi teoreem) ~ Igast tokestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 18 / 24
t. lim xn = b. n→∞ Analoogiliselt tõestatakse väide kahaneva tõkestatud jada puhul (iseseisvalt!)z. 36 2 Arvjadad 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem Definitsioon. Olgu (xn ) mingi arvjada ning (nk ) rangelt kasvav naturaalarvude (indeksite) jada, s.t. nk ∈ N ja n1 < n2 < n3 < . . . . . Jada (xnk ) = (xn1 , xn2 , . . .) nimetatakse esialgse jada (xn ) osajadaks (subsequence, подпоследовательность). Märgime, et indeksite jada (nk ) range kasvavus ja järeldus 1.15 aitavad matemaatilise induktsiooni meetodil tõestada, et iga k ∈ N korral nk > k. (Iseseisvalt!)z Teisisõnu, osajada on jada, mis saadakse esialgsest jadast lõpliku või loenduva arvu liik- mete väljajätmisel. Märgime, et rangelt kasvava naturaalarvude jada (nk ) korral kehtib omadus (tõestage!)z:
annaabi.ee 
