Hulkade esitamise viisid: Hulgaelementide täielik loetelu Hulgaelementide osaline loetelu, milles nähtub mingi regulaarne seaduspärasus Venni diagramm koos hulgaelementidega Tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral Hulkade ühend on hulkade liitmine ja selle tehte tulemuseks olev hulk on suurem kui operandideks olnud hulgad. Kaks hulka on võrdsed siis, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Hulga täiend on osa universaalhulgast? Tõene Kuidas nimetatakse minig hulga kõikide osahulkade hulka? Astmehulk Kui hulga A kõik elemendid on samal ajal ka hulga B elemendid, siis hulk A on hulga B osahulk. Hulga täiend on hulk ,mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad elemendid. Lõpmatut hulka saab esitada tema elementide osalise loeteluna, mis esitab mingit äratuntavad, regulaarset seaduspära. A ja B on hulgad. A ja b on hulgaelemendid. Millised avaldised on
Vali üks: Tõene Väär Küsimus 11 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse hulka, milles sisalduvad kõik vaadeldavad hulgad ? ( sisesta õige sõna ) Vastus: universaalhulk Küsimus 12 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? hulga täiend on osa universaalhulgast Vali üks: Tõene Väär Küsimus 13 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale ? Iga hulk on iseenda osahulgaks Vali üks: Tõene Väär Küsimus 14 - Õige / Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged: Hulka ennast tähistatakse tavaliselt ja hulga elemente tähistatakse tavaliselt suurtähega väiketähtedega Küsimus 15 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas väide on õige või vale ? Kui hulk on lõplik, siis on ta ka loenduv Vali üks: Tõene Väär Küsimus 16 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 vali õige:
DeMorgani seadused kehtivad ükskõik mitme muutuja korral. Loogika seadusi rakendatakse, et saada lausest uut, samaväärset lauset. Hulgad: Hulk kooseb hulgaelementidest. Hulka saab esitada täieliku hulgaelementide loeteluna, osalise loeteluna, nähtava seaduspärasusega ning valemina, mis kehtib iga hulgalemendi korral. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad täpselt samadest hulgaelementidest. Hulga osahulgaks nimetetakse seda hulka, mis täielikult sisaldub teise hulga sees. Kaks hulka on üksteise osahulkadeks, kui nad on võrdsed. Venni diagramm on hulkade illustratiivne esitusviis. Universaalhulk on hulk ning tema täiend. Hulga täiend on kõik hulgaelemendid, mis ei kuulu sellesse hulka. Tühi hulk on hulk, kus pole ühtegi hulgaelementi. Tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Iga hulk on universaalhulga osahulgaks.
[ nurksulgude vahel ] Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: astmehulk Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige: tühi hulk on iga hulga osahulgaks. Küsimus 4 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Vali kõik viisid / vahendid, mida kasutatakse hulkade esitamiseks: Valige üks või mitu: numbriline kümnendesitus Venni diagramm koos hulgaelementidega hulgaelementide osaline loetelu, millest nähtub mingi regulaarne seaduspärasus
Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks? Lõplik hulk sisaldab kindla arvu elemente. Millsit hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks? Lõpmatu hulk sisaldab piiramatult palju elemente?
Hulga täiend on hulk, mille moodustavad kõik sellesse hulka mittekuuluvad Mark 1 out of 1 elemendid. Question 5 kas väide on õige või vale ? Correct Iga hulk on iseenda osahulgaks Mark 1 out of 1 Select one: True False Question 6 sisesta lahtrisse õige sõna: Correct
- Kleepimisseadus Kui sulgudega pole määratud teisiti, siis milline on hulgatehete prioriteet avaldises? Kõigepealt TÄIEND Seejärel ÜHISOSA Kolmandana ÜHEND Verbaalne nimetus igale hulgale. Esimene hulkade ühisosa Teine hulkade võimsuste summa Kolmas element kuulub hulka Neljas hulkade summeetriline vahe Viies - hulkade lahutamine(Vahe) Kuues ühendi täiend Seitsmes ühisosa täiend Kaheksas - otsekorrutis ehk ristkorrutis Üheksas üks hulk on teise osahulgaks Millised võrdused kehtivad alati? Alati kehtivad: 1, 2, 4. Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk? Ristkorrutis Milline hulgaavaldis esitab millise Venni diagrammi rohelist hulka/piirkonda ? Vasakpoolsele diagrammile vastab keskmine avaldis Keskmisele diagrammile vastab vasakpoolne avaldis Parempoolsele diagrammile vastab parempoolne avaldis
Matemaatika mõisteid · Aarsus (inglise keeles arity) - matemaatikas tehte operandide arv, funktsiooni või operaatori argumentide arv. · Alamhulk- Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks, kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A B või A B. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkade vahelist binaarset seost nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks. · Harmooniline võnkumine- Harmooniliseks võnkumiseks ehk siinusvõnkumiseks nimetatakse mis tahes võnkumist, mida saab
esimene põhiseos on... neeldumine neljas põhiseos on... kleepimine teine põhiseos on... sulgude lahtiliitmine Küsimus 11 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 vali õige verbaalne nimetus igale hulgaavaldisele: 5. avaldis on: hulkade lahutamine (vahe) 2. avaldis on: hulkade võimsuste summa 9. avaldis on: üks hulk on teise osahulgaks 1. avaldis on: hulkade ühisosa 6. avaldis on: ühendi täiend 4. avaldis on: hulkade summeetriline vahe 7. avaldis on: ühisosa täiend 8. avaldis on: otsekorrutis ehk ristkorrutis 3. avaldis on: element kuulub hulka Küsimus 12 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millise hulgatehte tulemus on hulgaelementide järjestatud paaride hulk ?
sümmeetriline vahe täiend ühend Küsimus 9 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 vali õige verbaalne nimetus igale hulgaavaldisele: 3. avaldis on: element kuulub hulka 6. avaldis on: ühendi täiend 9. avaldis on: üks hulk on teise osahulgaks 8. avaldis on: otsekorrutis ehk ristkorrutis 2. avaldis on: hulkade võimsuste summa 5. avaldis on: hulkade lahutamine (vahe) 7. avaldis on: ühisosa täiend 4. avaldis on: hulkade summeetriline vahe 1. avaldis on: hulkade ühisosa Küsimus 10 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
15. Lihtmurruks nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 16. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 17. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 18. Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. 19. Hulka B nimetatakse hulga A osahulgaks kui iga tema element kuulub hulka A. 20. Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on väiksemad kui 90°. 21. Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 22. Üheks protsendiks nimetatakse ühe sajandiku suurust osa tervikust. 23. Rööpkulikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. 24. Murdjooneks nimetatakse järjestikku ühendatud lõikudest koosnev joon. 25
Lihtmurdu nimetatakse harilikku murdu, mille lugeja on nimetajast väiksem. 18. Murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 19. Murru laiendamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 20. Naturaalarvu, millel on kaks tegurot nimetatakse algarvuks. 21. Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil. 22. Hulka B nimetatakse hulga A osahulgaks, kui iga tema element kuulub hulka A. 23. Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, millel on kõik nurgad võiksemad kui 90kraadi. 24. Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, millel on üks nurk suurem kui 90 kraadi. 25. Üheks protsendiks nimetatakse ühesajandikku suurust osa tervikust. 26. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastas küljed on paralleelsed. 27. Nürinurgaks nimetatakse täisnurgast suuremat nurka. 28
l 0 kus Si on hulga D tükeldamisel n osahulgaks S1, S2, ..., Sn saadud Vertikaaljooned x=xi ja horisontaaljooned y=yi jaotavad piirkonna D b d
4. Millal on hulgad teineteisega võrsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. 5. Kui palju (mitu tk.) võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Iga elementi on hulgas üks kord. 6. Milliste sümbolitega esitatakse elemendi kuulumist või mittekuulumist hulka? Elemendi e kuulumine hulka A tähistatakse Elemendi e mittekuulumist hulka A tähistatakse 7. Millal on mingi hulk teise hulga osahulgaks? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A elemendid on ka hulga B elemendid. 8. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulkadeks, kui nad on võrsed. 9. Mis on Venni diagramm? Venni diagramme kasutatakse hulkade graafiliseks esitamiseks. Diagrammil esitatakse hulki ringjoontena, mille see on hulgaelemendid. 10. Milline on kahe hulga Venni diagramm? Kolme hulga Venni diagramm? I I
algustipus Isomorfsus: 2 graafi on isomorfsed, kui neil on sama tippude ja kaarte arv ning need on seatavad üks-ühesesse vastavusse nii, et mõlemas graafis seovad vastavad kaared vastavaid tippe. (Isomorfsetes graafides võib olla erinev tippude/kaarte tähistus/paigutus.) Jääkgraaf: saadakse graafist osade kaarte ärajätmisega, kusjuues kõik tipud säilivad Kahealuseline graaf: graaf on kahealuseline, kui kõik tema tipud jagunevad kaheks mittelõikuvaks osahulgaks nii, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise osahulga mingi tipuga. Kontuur: suletud elementaartee orienteeritud graafis Kromaatiline arv: minimaalne arv, mis näitab, mitme erineva värviga õnnestub graafi tipud värvida nii, et naabertipud oleks eri värvi Lihtahel: lihttee orienteerimata graafis Lihttee: tee, mille koosseisus pole korduvaid kaari (tippe võib) Multigraaf: kordsete kaartega graaf Puu: sidus tsükliteta orienteerimata graaf
osalise loeteluna { … , −1 , 0 , 1 , … }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛 > 1899) ∧ (𝑛 < 2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 } = { 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒 ∈ 𝑉, mittekuulumist 𝑒 ∉ 𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴 ⊂ 𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴 ⊂ 𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐴) ↔ 𝐴 ≡ 𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka
Hulka esitatakse tema elementide täieliku loeteluna { 𝑎 𝑏 𝑐 }, osalise loeteluna { … ,−1 ,0 ,1 ,… }, üldise avaldise kaudu { 𝑛 |(𝑛>1899)∧(𝑛<2000) }. Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest { 1 3 5 }={ 5 1 3 }. Elemendi e kuulumist hulka V tähistatakse 𝑒∈𝑉, mittekuulumist 𝑒∉𝑉. Hulk A on hulga B osahulk 𝐴⊂𝐵 kui hulga A iga element on samal ajal ka hulga B elemendiks : ∀𝑥(𝑥∈𝐴→𝑥∈𝐵). Iga hulk on iseenda osahulgaks 𝐴⊂𝐴. Kui 2 hulka on teineteise osahulkadeks, siis on nad võrdsed: (𝐴⊂𝐵∧𝐵⊂𝐴)↔𝐴≡𝐵. Venni diagramme kasutatakse hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks, kus hulki esitatakse ringjoontega, mille sees võivad olla näidatud hulgaelemendid. 2 hulka – 4 pk ; 3 hulka – 8 pk ; 4 hulka – 16 pk. Universaalhulga I mood. elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Universaalhulk võeti kasutusele
1. N naturaalarvude hulk N={0,1,2,...}
2. Z täisarvude hulk Z={...,-2,-1,0,1,2,...}
3. Q ratsionaalarvude hulk Q={q:q=m/n, m A, n{1,2,3...}}
4. R reaalarvude hulk
5. C kompleksarvude hulk C={z:z=x+iy, x, y R, i2=-1}
Intervallid:
1. Lõik [a,b]={x:xR, axb}
2. Vahemik (a,b)= {x:xR, a
M1(3/2 ; -(3)/2) z(M1)= - (33)/2 - min M2(3/2 ; (3)/2) z(M2)= (33)/2 - max 16. Kahekordse integraali mõiste ja omadusi Kinnises tõkestatud piirkonnas DR2 määratud pideva funktsiooni f(x,y) integraaliks antud piirkonnas D nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummasumma n Vn = f ( Pi )Si , i =1 kus Si on hulga D tükeldamisel n osahulgaks S1, S2, ..., Sn saadud osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi, piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di tüki Si diameeter: n lim f ( Pi )Si = f ( P ) dS = f ( x, y )dxdy n0 i =1 D D ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS D D D Cf ( P)dS = C f ( P)dS D D 3) D=D1D2, kusjuures D1 ja D2 ei oma ühiseid sisepunkte
c. Ratsionaalarvude hulk - = {m/n | m, n , n > 0} d. Reaalarvude hulk - e. Kompleksarvude hulk - = {x + iy | x, y , i2 = -1} f. Reaalarvude intervallid: f.i. Lõik [a, b] = {x | x R & a x b} f.ii. Vahemik (a, b) = {x | x R & a < x < b} f.iii. Poollõik (a, b] = {x | x R & a < x b} f.iv. Poollõik [a, b) = {x | x R & a x < b} 14) a. Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A B x [x A x B] b. Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B A. c. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A B. AB A B & A B. 15) a. Hulkade A ja B ühendiks e
{ 0, 1, 2, 3, ...} element on samal ajal ka hulga B elemendiks: { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } A ⊂ B ↔ ∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . } Iga hulk on iseenda osahulgaks: A ⊂ A { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , . . . } Kui 2 hulka osutuvad teineteise osahulkadeks , siis nad on võrdsed: { 0 , 1 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 . . . } (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ↔ A = B
lõplikuks. Kuna tühjas hulgas pole ühtegi elementi, siis loetakse ka tema tavaliselt lõplikuks. Hulka, mis ei ole lõplik (ega tühi), nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Näiteks, ja on lõpmatud hulgad. Lõpliku hulga A korral tähistame sümboliga |A| hulgas A olevate elementide arvu ja nimetatame seda hulga A võimsuseks. Kui A = {1, 2} ja B = {1, 2, {1, 2}, }, siis |A| = 2 ja |B| = 4. Samuti || = 0. Osahulk Definitsioon Hulka A nimetatakse hulga B osahulgaks, kui kõik hulga A elemendid on hulga B elementideks (ehk hulga A iga element kuulub hulka B). Kui hulk A on hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kui hulk A ei ole hulga B osahulk, siis kirjutame A B. Kvantorite abil saame osahulgaks olemist ja mitteolemist kirja panna järgmiselt: A B tähendab, et x (x A x B) ja A B tähendab, et x (x A x B) Näide: 1. (0, 1) [0, 1]. 2. Hulgal {a, b} on järgmised osahulgad: , {a}, {b}, {a, b}. 3. 4. {} {, {}}
1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B} Hulkade vahe C = {x | x kuuulub A XOR x kuulub B}
Aksiomaatilist hulgateooriat kasutatakse seal, kus on äärmiselt oluline vältida erinevaid hulgateoreetilisi paradokse või uurida teatavate matemaatiliste probleemide põhimõttelist lahenduvust/ mittelahenduvust. *Võrdsed hulgad- Kahte hulka loeme võrdseks, kui nad koosnevad täpselt samadest elementidest. Elementide järjekord hulgas ei ole oluline. *Alamhulk/ülemhulk- Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks (e. osahulgaks), kui kõik hulga A elemendid sisalduvad ka hulga B koossesisus. Sellisel juhul on hulk B ka muuseas hulga A ülemhulk. Tähistaktakse: ning . Tehted: Hulkade ühend- Kahe hulga ühendiks on ,,kõik hulga A elemendid + kõik hulga B elemendid". (Tähistatakse ) Hulkade ühisosa- Kahe hulga ühisosaks on ,,kõik elemendid, mis sisalduvad samaaegselt nii hulgas A kui ka hulgas B". (Tähistatakse )
o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk. [3, 4, 5] Alamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A ⊂ B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A ≠ B. 15. Hulkade ühend, ühisosa, vahe. Universaalhulk. Hulga täiend. Venni diagrammid
annaabi.ee 
