valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise
valida vabavektor vektor, mille rakenduspunkti võib ruumis vabalt valida Vektori koordinaadid B(x2;y2) A(x1;y1) Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis AB = (x2 – x1; y2 – y1). Vektori pikkus v Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus |v|= a 2 b2 Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks nullvektori pikkus on võrdne nulliga nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid u (a; b) v (c; d ) w u v (a c; b d ) Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise algusega Summavektor ühendab esimese vektori algust teise
e 2+ …+α n ⃗ ⃗0 nullvektoriks. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saab, et nullvektori ⃗0=(α 1 , α 2 ,α 3 ,… , α n) komponendid on . Tehtud eelduse tõttu kõik need komponendid ei ole nullid, mis on vastuolu, sest nullvektori kõik komponendid on nullid. Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi Rn mistahes vektori
Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektori koordinaatide arvutamine: Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis vektor AB = (x2-x1;y2-y1) Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks o nullvektori pikkus on võrdne nulliga o nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad o nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordinaadid saame, kui liidame nende vektorite vastavad koordinaadid 2. KINEMAATIKA Kinemaatika põhiülesanne on leida keha asukoht mistahes ajahetkel. Mehaaniline liikumine on keha asendi muutumine teiste kehade suhtes ruumis aja jooksul.
liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗ 01 + ⃗ 02= ⃗
(liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole
lineaarkombinatsiooniks. Reaalarvud λ 1 , λ2 , … , λ k on lineaarkombinatsiooni kordajad. Triviaalne – kui lineaarkombinatsioon kordajad on võrdsed nulliga λ1= λ2=…=λ k =0 Triviaalne lineaarkombinatsioon esitab alati nullvektori, sest 0⃗ a1 +0 ⃗ ak =⃗0 . a 2+ …+0 ⃗ Mittetriviaalne – kui lineaarkombinatsiooni kordajate seas leidub väheb üks nullis erinev kordaja.
1. Determinant ei muutu, kui tema read ja 1. Algebraline: =a+bi nullvektori. Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f: VV, nim. selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Näited: vektori lüke, veerud vastavalt ümber paigutada
a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse
a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse
Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1° + = + iga , V korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline vektor V , et + = + = iga V korral (nullvektori olemasolu); 4° iga vektori V jaoks leidub selline vektor V , et + = + = (vastandvektori olemasolu); 5° ( a + b ) = a + b iga a, b ja V korral; 6° a ( + ) = a + a iga a ja , V korral; 7° ( ab ) = a ( b ) iga a, b ja V korral; 8° 1 = iga V korral. 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis. Skalaarkorrutise 5 omadust. Def. 1
Kollineaarsed vektorid: vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Korrutamine arvuga: vektrori korrutamisel arvuga, suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv < 0. Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite summaks nim vektorit · Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; · Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori y summa st: 15
¨le korpuse K, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga V elementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) a + b = b + a a, b V (liitmise kommutatiivsus) 2) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c V (liitmise assotsiatiivsus) 3) o V nii, et a + o = a = o + a a V (nullvektori o V olemasolu) 4) a V - a V nii, et a + (-a) = o = -a + a (vastandvektori -a olemasolu) 5) (a + b) = a + b K, a, b V (distributiivsus) 6) ( + )a = a + a , K, a V (distributiivsus) 7) (a) = ()a , K, a V (skalaariga korrutamise assotsiatiivsus) 8) 1a = a a V (unitaalsus) Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Lisaks eeldatak- se, et V on kinnine vektorite liitmise ja skalaaridega korrutamise suhtes, s
siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava
Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b .
v=Xi+Yj (X ja Y on vektori koordinaadid) v=(X;Y) · Vektori pikkus võrdub ruutjuurega vektori koordinaatide ruutude summast. · Vektorit OM, mille alguspunkt on koordinaatide alguspunktis, nimetatakse punkti M kohavektoriks. Kui M(a;b), siis OM=(a;b) · i=(1;0) ja j=(0;1) · Kui e on ühikvektor ja see moodustab x-telje positiivse suunaga teravnurga a, siis e=(cos a; sin a) ehk e=cos a·i+sin a·j · Nullvektori koordinaadid on nullid 0=(0;0) 6.8 Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaartehted Linaarteheteks vektoritega nimetatakse vektorite liitmist, lahutamist ja arvuga korrutamist. · Kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende samanimelised koordinaadid. · Vektorite summa ja vektori arvuga korrutamise ühesuse tõttu kehtib ka vastupidine: kui vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, siis on ka vektorid võrdsed.
üle korpuse K n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a 1; a2; ...; an) = võetuna kindlas järjekorras; a1, ..., an K Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega: = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn) 1. liitmine: + = (a1 + b1; a2 + b2; ...; an + bn) 2. skalaariga korrutamine: a = (aa1; aa2; ...; aan) Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega rahuldavad samu omadusi mis geomeetriliste vektorite korral. Nullvektori osas on = (0; 0; ...; 0); - = (- a1; -a2; ... -an) = (-1); - = + (-) = + (-1) 6. Maatriksi defnitsioon ja tähistused. Lineaarsed tehted maatriksitega ja nende omadused. K - korpus; m, n - positiivsed naturaalarvud; (mxn)-maatriks üle korpuse K - m-realine ja n-veeruline skalaaride tabel; K(mxn) - kõigi (mxn)-maatriksite hulk üle korpuse K (mxn)-maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit
Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites saame tulemuseks selle arvu enda. Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvek- tor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvek- tor on siis muidugi . Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvek- tori: vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori. Näiteks vektori vastandvektor on 142 vektor Vektorid ja korrutamine Vektoreid võime reaalarvudega korrutada. Sellest võib jällegi mõelda vektori koor- dinaatide abil: korrutame lihtsalt iga koordinaati reaalarvuga. Samas on olemas ka geomeetriline mõtteviis: vektorit reaalarvuga korrutades pikendame või lühendame vektoreid
annaabi.ee 
