See on x→x1 X−X 1 võimalik vaid siis, kui f′(x1) = 0. Seega on teoreem tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne maksimum. 5. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kirjeldada Rolle’i teoreemi geomeetrilist sisu. Tõestus. Olgu M ja m vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus lõigul [a, b]. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad
et kehtib võrdus (14.1) Need funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui võrdus (14.1) on võimalik vaid nulliliste kordajatega. Kahe funktsiooni korral saame põhivõrduseks (14.1)' Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis peab üks kordajatest olema nullist erinev. Olgu siis leiame, et (14.2) Või Seega kui kaks funktsiooni on lineaarselt sõltuvad, siis nad on võrdelised või nende suhe on konstantne. Märkus: Kui süsteemis üks funktsioon on nullfunktsioon, siis see süsteem on lineaarselt sõltuv. Def 14.2 kahe funktsiooni Wronski determinandiks ehk Vronskiaaniks nim determinanti : (14.3) n-funktsiooni Vronskiaan on (14.3)' Teoreem 14.1 Kahe funktsiooni Wronski determinant on null, siis ja ainult siis kui need funktsioonid on lineaarselt sõltuvad. Tõestus 14.1 Piisavus ja lineaarsest sõltuvusest . Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis Seega ja Terviklikkus: ja lineaarselt sõltuvad
rahuldab tingimust siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et . Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui , siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi korral kehtib. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st ja teoreemi väide on täidetud iga korral. Kui võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni
Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad
Teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f'(c) = 0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad
Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f(x1) = 0. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] 1)Kui f(x1) < 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c 2)Kui aga f(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. (a, b) korral. Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite Edasi vaatleme juhtu, kui M m
tingimust f(a)=f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et f '(c)=0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul vastavalt lõigul pidevate funktsioonide omadusele 1. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M=m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x[a,b] korral kehtib f(x)=M=m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x)=0 ja teoreemi väide on täidetud iga c(a,b) korral. Kui Mm võib funktsioon oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed.
Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad
4 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v.a.artus .uhes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M = m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad.
Vektorruumid 2.7 N¨ aide: l~ oigus pidevate funktsioonide ruum Olgu C[a, b] k~oigi l~ oigus [a, b] pidevate reaalarvuliste v¨ a¨artustega funktsioonide hulk. Olgu f, g C[a, b] ning R. Tehted defi- neerime j¨argmiselt: 1) (f + g)(x) := f (x) + g(x) x [a, b], 2) (f )(x) := f (x) x [a, b], 3) o(x) := 0 x [a, b] (nullfunktsioon), 4) (-f )(x) := -f (x) x [a, b] (vastandfunktsioon). ¨ Ulaltoodud tehete suhtes on C[a, b] vektorruum u ¨le R (matemaa- tilise anal¨ uu¨si teoreem). Analoogiliselt defineeritakse diferentsee- ruvate ja siledate funktsioonide ruumid. 2.8 N¨ aide: homogeense LVS-i lahendiruum Kirjutame homogeense LVS-i maatrikskujul, Ax = 0. Ilmselt null- vektor o on lahend (nn triviaalne lahend), sest Ao = o. Olgu a ja b lahendid, s.t Aa = o = Ab
vahemikus (a, b) v¨ ahemalt u¨ks punkt c nii, et f (c) = 0. T~oestus. Kuna f (x) on pidev l~oigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja artuse sellel l~oigul (vt l~oigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). v¨ahima v¨a¨ Olgu M suurim v¨a¨ artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a, b] konstantne, st k~oigi x [a, b] korral kehtib f (x) = M = m. Sellisel juhul on f (x) tuletis nullfunktsioon, st f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨ hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning
vahemikus (a, b) v¨ ahemalt u¨ks punkt c nii, et f (c) = 0. T~oestus. Kuna f (x) on pidev l~oigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul (vt l~oigul pidevate funktsioonide omadus 1 §2.11). Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a, b] konstantne, st k~oigi x [a, b] korral kehtib f (x) = M = m. Sellisel juhul on f (x) tuletis nullfunktsioon, st f (x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a, b) korral. 75 Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekst- reemumi saavutada kas l~oigu [a, b] otspunktis v~oi vahemikus (a, b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunk- tides a ja b. Siis on f (x) v¨a¨artus u ¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning
annaabi.ee 
