Lihtne on sirgetevahelist nurka leida tõusunurkade vahena. Olgu ühe sirge tõus (joonis 7) k1 ja seega tõusunurk = arctan k1 ning teise sirge tõus k2 ja tõusunurk = arctan k 2 , siis nurk sirgete vahel on = - . Lihtne ja töötab alati. Sirgetevahelise nurga leidmiseks võib kasutada ka nende sihivektoreid või normaalvektoreid koos skalaarkorrutisega. Oluline on õpilastele näidata, kuidas sirge võrrandist sihivektorite koordinaate lugeda. Joonis 7 Normaalvektori mõisteni jõutakse laia matemaatika 12. kursuses ,,Geomeetria I". Tasandi võrrandi koostamisel lähtutakse normaalvektori (tasandiga risti oleva vektori) ja tasandil asetseva vektori ristseisust (skalaarkorrutis on võrdne nulliga). Nüüd võib näidata, et ka tasandil paikneva sirge võrrandit võib koostada sirgega risti oleva vektori (normaalvektori) ja sirgel asuva vektori ristseisust lähtudes. Miks see hea on? Kui sirge on antud võrrandiga
Vektori pikkus Punkti P(x0 ; y0 ; z0) kaugus tasandist Vektorkorrutis Segakorrutis t: Ax+By+Cz+D=0 Vektori a projektsioon vektori b suunal. b0 on vektori b ühivektor, on nurk vektorite b ja c vahel ning mis saadakse b koordinaatide on nurk vektorite a ja vahel Tasandi võrrand punkti ja normaalvektori jagamisel tema pikkusega. kaudu TÕENÄOSUS JA STATISTIKA Täistõenäosus Bayesi valem Bernoulli valem Keskväärtus: Geomeetriline jaotus Binoomjaotus Dispersioon: Standardhälve:
3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 . Kahe sirge lõikepunkti saab vastavate võrranditega moodustatud lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisega. Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. Risti olevate sirgete tõusude korrutis on -1. Nurk kahe sirge vahel on arvutatav valemiga . On antud kaks punkti A(-2; 6) ja B(4; -3) Kirjuta nende punktidega määratud sirge võrrand .........................
Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega
Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks. Kui sellest võrrandist õnnestub tundmatu y avaldada x kaudu, nim seda ilmutatud jooneks. Kahe sirge vastastikused asendid Ühtivad sirged s=t Paralleelsed sirged s||t Lõikuvad sirged st={L} Kiivsirged s Nurk sirgete vahel Tasandi üldvõrrand Ax+By+Cz+D=0 Tundmatute x, y, z kordajad on tasandi normaalvektori koordinaadid. Tasandi normaalvektoriks nim iga vektorit, mis on risti tasandiga. Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0
Puutujatasandi võrrand punktis P0: Fx ( P0 )( x - x0 ) + Fy ( P0 )( y - y 0 ) + Fz ( P0 )( z - z 0 ) = 0 . n = ( Fx ( P0 ); Fy ( P0 ); Fz ( P0 ) ) . Puutujatasandi normaal punktis P0: Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole). Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A .
Kui A1=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega 86.Tasandi võrrandid – Kolmemõõtmelises eukleidililses ruumis R3 on tasandi võrrand viidav alati kujule ax+ by+ cz+ d =0, kus D= - Ax0- By0 – Cz0 87.Tasandi riht- Riht on eukleidilises ja afiinses geomeetrias tasandite paralleelsust iseloomustav mõiste: kahel tasandil on sama riht, kui nad on paralleelsed 88.Normaalvektor - Tasandi võrrand on normaalvektori abil esitatav r⃗ −⃗ r0 kujul, ⃗n ∙¿ )=0, kus on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui
3y 6 0 y 2 22 z 2 0 z 2 4 6 B 0, 2, 6 Kokku saame võrrandi: AB 2, 2, 6 x2 y z 2 2 2 6 x2 y z 1 1 3 Näide 1: Koostada tasandi võrrand, kui tasand läbib punkte A 0, 0, 3 , B 4, 2, 1 , C 1, 3, 1 . Normaalvektori saamiseks arvestame, et vektorid AB, AC asuvad tasandil, järelikult AB AC on risti tasandiga ja sobib normaalvektoriks. n AB AC AB 4, 2, 2 AC 1, 3, 4 2 2 2 4 4 2 n , , 2, 18, 14 3 4 4 1 1 3 2 x 0 18 y 0 14 z 3 0
2 2 2 Kui sfääri keskpunkt on koordinaatide alguspunktis, siis x2 + y 2 + z 2 = r 2 . 8.4 Tasand Tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz = 0 . r Selle tasandi normaalvektor (tasandiga risti olev vektor) n = ( A ; B ; C ) . r Normaalvektori n = ( A ; B ; C ) ja punktiga P1 ( x1 ; y1 ; z1 ) määratud tasand: A ( x - x1 ) + B ( y - y1 ) + C ( z - z1 ) = 0 . Kolme punktiga P1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , P2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ja P3 ( x3 ; y3 ; z3 ) määratud tasand: x - x1 y - y1 z - z1 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0 . x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 8
Kui sfääri keskpunkt on koordinaatide alguspunktis, siis x2 y 2 z 2 r 2 . 8.4 Tasand Tasandi üldvõrrand: Ax By Cz 0 . r Selle tasandi normaalvektor (tasandiga risti olev vektor) n A ; B ; C . r Normaalvektori n A ; B ; C ja punktiga P1 x1 ; y1 ; z1 määratud tasand: A x x1 B y y1 C z z1 0 . Kolme punktiga P1 x1 ; y1 ; z1 , P2 x2 ; y2 ; z2 ja P3 x3 ; y3 ; z3 määratud tasand: x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 .
Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel
Nende punktidega määratud sirge võrrand on x2 x1 y2 y1 z2 z1 Punkti ja normaalvektoriga määratud tasandi võrrand Tasand läbib punkti P(x1; y1; z1) ja on risti vektoriga n ( A; B;C ) Tasandi võrrand on (x – x1) · A + (y – y1) · B + (z – z1) · C = 0 Tasandi üldvõrrand Ax + By + Cz + D = 0, kus A, B ja C on tasandi normaalvektori koordinaadid. Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand On antud punkt P(x1; y1; z1) ja kaks mittekollineaarset vektorit a (a; b; c) ja b (d; e; f ) . Sel juhul saab tasandi võrrandi leida kolmerealise determinandi x x1 y y1 z z1 a b c 0 abil. d e f Kolme punktiga määratud tasandi võrrand On antud punktid P1(x1; y1; z1), P2(x2; y2; z2) ja P3(x3; y3; z3)
pinnaelemendi dS, mis 1) on tasapinnaline, 2) mis on piisavalt väike, et elektrivälja tugevuse võiks selle pinna ulatuses lugeda konstantseks. Tähistame sümboliga n selle pinna normaal-ühikvektori kui ühikulise pikkusega vektori, mis on selle pinnaga risti. Olgu elektrivälja tugevuse vektor selle pinna asukohas E , nurga elektrivälja tugevuse vektori ja normaalvektori vahel tähistame sümboliga . Elektrivälja tugevuse vektori elementaarseks vooks läbi pinna dS nimetatakse suurust d E (dS ) E ndS EdS cos . (10.12) Defineerides pinnaelemendi vektori dS dSn kui sellise vektori, 1) mis on risti antud pinnaelemendiga, 2) mille moodul võrdub pinnaelemendi suurusega,
14.6. 14.6 Punkti kaugus tasandini Olgu ruumis antud punkt Q E3 ja tasand , mille normaalvektor on n ja tasandil asub suvaline punkt P . Moodustame vabavektori PQ. Definitsioon 14.13 Punkti A kauguseks tasandini nimetatakse sellest punktist tasandini tõmmatud ristlõigu pikkust, mida tähistame d(A, ) abil. Märkame, et punkti Q (märgiga) kaugus tasandist on vektori PQ projekt- sioon normaalvektori n sihile. Seega | PQ, n | d(Q, ) = |prn PQ| = . |n| Omadus 14.2 Punkti A E3 kaugus tasandist E3 arvutatakse valemiga | AP, n | d(A, ) = , (14.14) |n| kus P on suvaline punkt tasandil ja n on tasandi normaalvektor.
annaabi.ee 
