Joonis1 U g = I g Rg kus Rg on galvanomeetri sisetakistus (antud juhul Rg = 7100). Ig=500A ja I=10mA Arvutame sundi takistuse: Rs=(1/n-1)* Rg Rs=(1/10-3-1)*7100=373 n=I/ Ig 4. Töö käik 1. Arvutati juhendaja poolt antud suuruste alusel eeltakisti väärtus Rs 2. Leiti kalibreeritava galvanomeetri 10-le erinevale skaalajaotisele vastavad etalonampermeetri näidud kahel korral: voolu monotoonsel kasvamisel 0-st I- ni (I2) ja voolu monotoonsel kahanemisel I-st 0-ni (I1). Jälgiti, et galvanomeetri osuti liiguks valitud jaotisele ühelt poolt. Mõõtmistulemused kanti tabelisse. Katse nr. Galvanomeetri jaotised I1, mA kahanedes I2, mA kasvades Iv=I1-I2 ,mA 1 5 1,125 1,128 -0,003 2 10 2,110 2,113 -0,001
c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5. Funktsioon y= f(x) on diferentseeruv kohal x parajasti siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f' (x). Def3
tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Ehk Tõestus. Leian funktsiooni N. Leian mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt. Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul Kusjuures on diferentseeruvad vahemikus ja on lõigul rangelt monotoonne ning Tõestus. Leian tuletise N. näiteks lahenda see sama asi kus x=asin(t) ja y=bcos(t) (o>t>2pii) vastuseks on ellips 0,pii
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) '
Δ→0− Δx 5.Liitfunktsioon: Kui funktsioonidel u=f(x) ja y=g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil y=g(f(x)) on lõplik tuletis kohtadel x, kusjuures g´(f(x))*f´(x) 6. Pöördfunktsiooni tuletis: Kui lõigul [a;b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures dx 1 1 dy = dy dx 7. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis:
· Teiseks karakteritüübiks võiks pidada masinaid. Seda tüüpi looduse vahendajad käituvad nagu grammofoniplaadid. Publikule on tavaliselt selge, et giid on sama ekskursiooni läbi viinud palju kordi täpselt samal viisil. On juba alguses aru saada, et inimene on õppinud pähe teatud teksti ning esitab seda iga kord täpset samamoodi. See karakteritüüp ei leia loodusest tegelikult mitte midagi imetlusväärset. Nad räägivad rahvale monotoonsel häälel kogu jutu, mida ülemus neil käsib rääkida. Neil ei ole omalt poolt midagi lisada. Suhtlemine toimub ainult ühes suunas ning ,,masina" hästiharjutatud stiilist kõrvalekaldeid ei esine. Masinatele ei meeldi kui neid katkestatakse küsimuste või mõne muu seigaga väljastpoolt tema stsenaariumi. · Kolmandaks inimeste tüübiks võiks pidada inimesi, kes teavad enda arust kõike ehk lühidalt kõiketeadjad
= = 3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine. LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures LAUSE: Kui lõigul pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis -1 pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX), siis Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide . 4
Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja LAUSE: Kui lõigul [a,b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x tähistatakse dy või df , dy= df = f’(x)Δx nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Võttes y=x , saame dy=dx=x’ * Δx = Δx dx– argumendi diferentsiaal dy=f’(x)dx↔f’(x) = dy/dx
lim ∗ lim = ∗ = 𝑔´(𝑓(𝑥)) ∗ 𝑓´(𝑥). LAUSE: Kui lõigul [𝑎, 𝑏]pideval ja rangelt ∆𝑢→0 ∆𝑢 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f - L(x): = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎
Monotoonselt kasvavaid ja monotoonselt kahanevaid funktsiooni kokku nimetatakse monotoonseteks. Funktsiooni nimetatakse monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas monotoonselt kasvav või monotoonselt kahanev selles piirkonnas. Funktsiooni nimetatakse rangelt monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas rangelt kasvav või rangelt kahanev selles piirkonnas. Monotoonse funktsiooni pöördfunktsioon O M A D U S : Piirkonnas X rangel monotoonsel funktsioonil on olemas pöördfunktsioon, mis on sama tüüpi rangelt monotoonne. Tõestus: Kas funktsioonil f, mis on rangelt kasvav piirkonnas X, leidub pöördfunktsioon g, mis on rangelt kasvav piirkonnas f ( X ) ? Funktsioon f on rangelt kasvav, s.t. x1 < x 2 f ( x1 ) < f ( x 2 ) Defineerimne funktsiooni g : f ( X ) X g ( y ) = x , kus f ( x ) = y Oletame, et g ei ole pöördfunktsioon, s.t. y f ( X ) nii, et g ( y ) = x1 g ( y ) = x 2 , kus x1 x 2
traditsioonide ja järjepidevuse tähtsusesse o Karismaatiline võim mis tuleneb konkreetse liidri isikupärastest omadustest 7. Uusklassikaline (inimsuhete) koolkond juhtimisõpetuses. Klassikaline juhtimiskorralduses on inimene kui masin või asi kellel ei ole sotsiaalseid ega füsioloogilisi vajadusi. Tema tööd saab normeerida ning liigutusi juhendades töö viljakust parandada ilma, et peaks pöörama tähelepanu töölise vaimsele pingele monotoonsel tööl. U.k. teke ja areng on tihedalt seotud sotsiaalpsühholoogia väljakujunemisega. U.k teoorias kuulub keskne koht inimesele, kellest tuleneb kõik muu. (inimene on sotsiaalpsühholoogiline olend). Suur osa u.k.teooriast hõlmab k.t. põhiseisukohtade ja tugisammaste arvustamisele. U.k.t. järgi muudab tööjaotus ja sellest tulenev kitsapiiriline eripärastumine töö ebaisikupäraseks. Põhjustab org.
= lim · lim = · = g (f (x))·f (x). ¨ jareldub pidevus u0 u x0 x du dx ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 15 / 25 Funktsiooni tuletis Reaalmuutuja funktsioon Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis Lause ~ Kui loigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y = f (x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis po¨ ordfunktsioonil ¨ x = f -1 (y ) leidub tuletis kohal f (x), kusjuures df -1 (y ) 1 = dy f (x) ehk dx 1 = . dy dy
annaabi.ee 
