Louvre-i muuseum on üks tuntumatest muuseumitest maailmas. Seal asub Leonardo da Vinci `'Mona Lisa'', mis on 77 cm kõrgune. Seda maali üritab pildistada üks tüdruk, kes on maalist 90 cm kaugusel. Kahjuks on ta sellele liiga lähedal ja tema fotoaparaat ei suuda õiget fookust kätte saada. Mitu sentimeetrit peab ta tagasi liikuma, et pildistada maali 20 kraadise nurga alt ja mitme kraadise nurga alt üritas ta maali alguses pildistada? Tekkinud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk. Antud : a = 90 cm b = 77 cm Leida : (uus)a - ? - ? Leiame kõigepealt algse nurga : = = = 4032´ Nüüd võime leida uue kauguse tüdruku ja maali vahel, et saada 20: = = (uus)a = = 212 (cm) Sellega leidsime uue kauguse tüdruku ja maali vahel, kuid on vaja leida mitu cm tüdruk peab maalist kaugemale liikuma, seega : 212 90 = 122 (cm) Ülesande tingimused on täidetud. Vastus : Tüdruku ja maali vahel oli alguses 4032´ ja ta pidi liikuma maalist 122 cm kaugemale, et saada fotoaparaadile õige fo
1. Uurisin, mitu patja inimestel voodis on. 2. Uurisin antud küsimust internetiküsitluse teel. 3. Statistiline rida: 3,5,2,1,1,2,3,2,2,4,3,1,2,2,3,1,1,1,1,4,3,0,3,2,1,2,2,1,1,2,2,3,1,4,1,2,2,3,1,1,2,3,3,4,1, 1,3,2,1,1,1,2,3,4,4,3,2,4,1,2,2,1,1,3,1,1,2,3,2,1,2,3,2,3,1,4,5,1,2,1 4. Kogumi maht: 80 5. Variatsiooni rida: 0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, 2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5 6. Variatsiooni ulatus: 5 7. Sagedusjaotustabel, hälve x f w X=0 1 1,25% -2,1125 X=1 28 35% -1,1125 X=2 24 30% -0,1125 X=3 17 21,25% 0,8875 X=4 8 10% 1,8875 X=5 2 2,5% 2,8875 8. Mood: M= 1 9. Mediaan:
MATEMAATIKA EKSAM. 1. Muutuvad suurused (üldiselt). 1)konstantsed suurused 2)muutuvad suurused NT: ühtlase liikumise korral on kiirus konstante suurus, teepikkus aga muutuv suurus. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). Funktsiooni esitusviise (piltlik, valemiga, tabelina, nooldiagrammina, sõnadega jne). Ühesed, paaris- ja paaritud, perioodilised, kasvavad ja kahanevad funktsioonid (definitsioonidega). Definitsioon: muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui suuruse x igale väärtusele on vastav y üks väärtus Tähistused: argument(muutuja) x; argument(muutuja) y; määramispiirkond X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Definitsioon: funktsiooni kujul
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva
Seosed Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade ja vahel nimetatakse otsekorrutise × mistahes osahulka. Seega, seos hulkade ja vahel on järjestatud paaride (,) hulk, kus ja . Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk ×. Paari (,)× korral öeldakse, et elemendid ja on seoses ning tähistatakse ka . Mõnikord öeldakse osahulga kohta, et see on seose graafik. Kui =, ehk kui ×, siis räägitakse seosest hulgal . Näide 1. Olgu ={2,3} ja ={1,2,3,4,5,6}. Siis 1={(2,2),(2,3),(3,1), (3,5)} on binaarne seos hulkade ja vahel. Samade hulkade ja korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid, näiteks seost 2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (,), millede korral jagub arvuga . Siis 2={(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)}. Näide 2. Olgu hulgaks kõigi naturaalarvude hulk ning seoseks osahulk hulgas ×, mis koosneb kõikidest paaridest (,), mille korral arv on arvu jagaja. Seega ={(,) ,, | }.
1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga kül
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 3y 7x = 3y x = 7 3y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 7 91 = 27 y - 14 y 13 y = 91 :13 y=7 3 7 x= 7 x=3 K: v1 = 13 + 2 7 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21 p2 = 3 7 = 21 v2 = p2 x=3 V: y=7 Liitmisvõte 3x = 2 y + 1 3 2x = 3y + 4 (-2) 9x = 6 y + 3 -4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V: y = -2 Graafiline lahendamine x -1 x - 2y =1 y = 2 y - x = 1 y = x +1 y = x +1 x 0 2 y 1 3 y = 0,5 x - 0,5 x 3 5 y 1 2 x = -3 y = -2 K: v1 = -3 - 2 (-2) = 1 p1 = 1 v1 = p1 v2 = -2 - (-3) = 1 p2
Tekstiülesanne Juku ja Tiina istusid Londonist lennuki peale, Tiina tund aega hiljem kui Juku. Juku lennuk suundus Berliini, Tiina lennuk aga Pariisi. Pariisi kaugus Londonist on ümardatult 340,5 km, Londoni kaugus Berliinist aga 930 km. Nurk Berliini ja Pariisi vahel Londoni suhtes on 81,42. Lennuki keskmine kiirus on 800 km/h. Kui palju hiljem jõudis Juku sihtkohta ja kui kaugel oli ta siis Tiinast? Andmed: =81,42 a=340,5 km b=930 km v=800 km/h Lahendus: Kui kaua sõitis Juku lennukis? Kui kaua sõitis Tiina lennukis? Mitu kilomeetrit on Berliini ja Pariisi vahel? Kui palju hiljem jõudis Juku sihtkohta? Vastus: Juku jõudis sihtkohta 2 min hiljem ja nendevaheline kaugus oli 941,5 km.
Kõik kommentaarid