Algandmed algus pikkus lõpp jaotisi piir arv 0 10 10 10 2 1 Karakteristikud Abs kesk Pind Max Koht F1 5,7002492 F2 2,709888 24,449711 F3 48,192181 16,084425 6 Funktsioonide tabel 20 x F1 F2 F3 15 0 3,0153465 -2,476007 0,5393397 10 1 -1,562584 2,7507686 1,1881845 2 -3,855783 -0,679466 -4,53525 5 3 7,1674429 -6,814591 0,3528518 0 4 -1,288434 -0,695934 -1,984368 0 1 2 3 4 5 5 -8,386551 0,6765877 -7,709964 -5 6 9,2738922 6,8105332 16,084425 -10 7 1,621192...
· Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin)
x Diferentseeruva funktsiooni uurimine Nullkohtade hulk X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine Positiivsuspiirkond X : f x 0 Negatiivsuspiirkond X : f x 0 Kasvamisvahemikud X : f x 0 Kahanemisvahemikud X : f x 0 Maksimumkoht Kui f x 1 0 ja f x 1 0 , siis x1 on maksimumkoht Miinimumkoht Kui f x 2 0 ja f x 2 0 , siis x2 on miinimumkoht Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Periood f(x + T) = f(x), T periood
Missuguste mõõtmete korral on tarastatud maatüki pindala suurim? Olgu üks külg x meetrit, ja teine 16-2x meetrit. X x 16-2x Koostan pindala funktsiooni. S= a*b S= (16-2x) * x y= -2x2 + 16x Leian tuletise. Y' = -4x + 16 Leian ekstreemumkohad y'=0 -4x + 16 = 0 -4x = -16 x= 4 Määran ekstreemumkoha liigi y''= -4 y''(4) = -4 <0 Seega x=4 on maksimumkoht Ristküliku mõõtmed on: 4m 4m 16 2*4 = 8 m Vastus: Tarastatud maatüki pindala on suurim siis, kui mõõtmed on 4m, 4m ja 8m.
väärtus on negatiivne. 9. Kasvamine funktsioon y=(f) on kasvav, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni väärtused (y) kasvavad. 10.Kahanemine funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leian jooniselt need x väärtused, mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x) Funktsiooni y=f(x) nim paarisfunktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast
f(x)>0 Negatiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on negatiivsed f(x)<0 X + = {x| f(x) > 0} X - = {x| f(x) < 0} Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal xe kahanemiseks või funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal xe kasvamiseks, siis on koht xe selle funktsiooni ekstreemumkoht f '(x) = 0 Xmax maksimumkoht, kui f ''(x)<0 Xmin miinimumkoht, kui f ''(x)>0 Xe = {x| f '(x) = 0} Funktsioon kasvab, kui x1 < x2 f(x1) < f(x2) f '(x)>0 Funktsioon kahaneb, kui x1 < x2 f(x1) > f(x2) f '(x)<0 X = {x| f '(x)>0} X = {x| f '(x)<0} Kohad, kus joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks f "(x) = 0 Xk = {x| f "(x) = 0}
V ( d) = 3d 2- = ( 6d 2 ) - d 3 = 12d - d 2 . 4 4 4 Leiame ruumalafunktsiooni ekstreemumkohad: V´= 0 9 12d - d 2 = 0 - 9d 2 + 48d = 0 3d 2 - 16d = 0 d ( 3d - 16 ) = 0 4 16 d1 = 0 ei sobi ja d 2 = . 3 16 Kontrollime teise tuletise abil, kas d 2 = on maksimumkoht. V´´(d) = 12 4,5d; 3 16 16 16 V = 12 - 4,5 < 0 d = on maksimumkoht. 3 3 3 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net
Kahanemisvahemik: X : y < 0 3x 2 - 8x - 3 < 0 1 X = - ; 3 3 2) Leiame ekstreemumkohad: y´ = 0 1 3 x 2 - 8 x - 3 = 0 x1 = 3; x2 = - . 3 Määrame ekstreemumkoha liigi teise tuletise järgi. Teine tuletis oli f ( x ) = 6 x - 8 . 1 1 1 f - = 6 - - 8 = -2 - 8 = -10 < 0, siis x = - on maksimumkoht 3 3 3 f ( 3) = 6 3 - 8 = 18 - 8 = 10 > 0, siis x = 3 on miinimumkoht 1 1 ;- ( 3; Vastus: X =- ); X =- ; 3 ; miinimumkoht on 3 ja maksimumkoht on -1/3. 3 3 4. (15p) Müügil on 8 helikassetti valitud muusikaga. On teada, et 25% neist on defektiga. Maire ostis 3 kassetti.
x Diferentseeruva funktsiooni uurimine · Nullkohtade hulk X0 : f ( x) = 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine · Positiivsuspiirkond X : f ( x) > 0 + · Negatiivsuspiirkond X - : f ( x) < 0 · Kasvamisvahemikud X : f ( x ) > 0 · Kahanemisvahemikud X : f ( x ) < 0 · Maksimumkoht Kui f ( x 1 ) = 0 ja f ( x 1 ) < 0 , siis x1 on maksimumkoht · Miinimumkoht Kui f ( x 2 ) = 0 ja f ( x 2 ) > 0 , siis x2 on miinimumkoht · Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood
ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f ( x ) . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused: f ( x0 ) = 0 ja f ( x0 ) < 0 .
Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit. Funktsiooni ekstreemumkoha olemasolu ja liigi kindlakstegemisel võib kasutada ka teist tuletist f x . Kui x 0 on maksimumkoht, siis peavad olema täidetud tingimused:
Sobivad nende liigid xmin vaid need võrrandi lahendid, mille korral tuletis muudab märki. Ekstreemumkoha liik määratakse teise tuletise abil: Kui f ‘’(x) > 0, siis x on miinimumkoht, Kui f ‘’(x) < 0, siis x on maksimumkoht x on siin võrrandi f ‘(x) = 0 lahend 7 Ekstreemumid ymax Maksimumid: ymax = f(xmax), ymin Miinimumid: ymin = f(xmin) 8 Ekstreemumpunktid Pmax Funktsiooni y = f(x) graafiku punktid Pmin Pmax(xmax; ymax) ja Pmin(xmin; ymin) 9 Funktsiooni graafiku xk Lahendatakse võrrand f ‘’(x) = 0 käänukohad
B-3 Leia võrrandi tan 2 x 2 - x = 0 positiivne lahend või lahendite summa. x 4 4 x 2 - 12 x + 9 9 x 2 - 10 x + 25 45 x - 9 x 2 - 54 B-4 Leia avaldise + - väärtus. 3 - 2x 5- x 5x - 6 - x2 B-5 Funktsiooni y = f ( x ) tuletis on f ( x ) = x3 - 3x 2 - 4 x + 12 . Leia selle funktsiooni maksimumkoht või nende summa. B-6 Leia funktsiooni y = 2 cos 3 - 5sin 2 x - 4 cos x + 3 suurima ja vähima väärtuse summa. 2 cot - x 3 + 2 x 2 + 5 x - 10 + ( 32 x - 12 3x + 27 ) = 0 lahend või lahendite 4 B-7 Leia võrrandi
Funktsiooni f(x,y) tinglik ekstreemum lisatingimusel F(x,y) = 0 võib olla abifunktsiooni (x , y ; ) = f (x , y ) + F (x , y ) a. fs(P) > 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on miinimumkoht; statsionaarsetes punktides. b. fs(P) < 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on maksimumkoht; Funktsiooni f(x1, ..., xn) tinglik ekstreemum lisatingimusel F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x 1,...,xn), ..., Fn(x1,....,xn) = 0 võib olla 2. Punkt A ei ole ekstreemumkoht, kui mis tahes ümbrus U(A) sisaldab nii punkte milles tuletis fs on positiivne kui ka abifunktsiooni r (x1,...,xn;1,...,r) = f(x1,...,xn) + Sum iFi(x1,...,xn) statsionaarsetes punktides. punkte, milles see on negatiivne.
Moodustame funktsiooni S x x y S x x x ln x 2 x S x x ln x 3 x . Leiame funktsiooni S x maksimumi. 1 S x x ln x 3x x ln x x ln x 3x ln x x 3 ln x 2 x S x 0 ln x 2 0 ln x 2 x e2 Kontrollime teise tuletise abil, kas x e 2 on maksimumkoht. 1 S x ln x 2 x 1 S e2 e 2 0 x max e 2 e2 Leiame funktsiooni y x ln x 2 x väärtuse kohal x e 2 : y max y e 2 e 2 ln e 2 2e 2 2e 2 2e 2 0 . Seega punkt, mille koordinaatide summa on vähim, on P e 2 ;0 . 2) Oletame, et puutepunkt on M x0 ; y 0 . Ühelt poolt teame, et funktsiooni y f x graafiku puutuja tõus kohal x0 on võrdne
x= 2 B 10 12 14 J o o n is 6 .1 3 P in g e ja o tu s m õ õ tm e te g a 2 x 2 m v u n d a m e n d i a ll m itm e s u g u s te l k a u g u s te l v u n d a m e n d i k e s k m e s t . S u r v e t a ll a l e 1 0 0 k P a Väljapoole koormatud ala jäävate punktide all pinge maksimumkoht asub seda sügavamal, mida kaugemal asub punkt. Joonisel 6.14 on esitatud pingeepüürid erinevas sügavuses asuvates pindades. 65 -x x -6 -4 -2 0 2 4 6 0,0
annaabi.ee 
