Tulistamismeetod (0)

Tartu Ülikool FüüsikaKeemiateaduskond Eksperimentaalfüüsika ja tehnoloogia instituut Siim Maar Tulistamismeetod
Kodutöö aines Kompuuterfüüsika Juhendaja : Alvo Aabloo Tartu 2007 Tulistamismeetod Tulistamismeetod on meetod, mida kasutatakse piirväärtuse arvutamiseks. Tulistamismeetod kasutab meetode, mida kasutatakse esmase väärtuse probleemides. Seda tehakse nii, et oletades, et algväärtused, mis on antud hariliku differentsiaal võrrandina, on esmase väärtuse probleemiks. Saavutatud piirväärtust võrreldakse tegeliku piirväärtusega. Proovitakse saada piirväärtusele nii lähedale kui võimalik.
Taust
Surveanum (Pressure vessel ) on üldmõiste, mis hõlmab mõistet balloon , torukujuline anum , survevaat, krüotehniline anum ja balloonikogum.
Surveanumi läbilõike geomeetria
Ülesanne Uurime juhtumit, kus surveanumit testitakse, et uurida tema võimeid vastuseista rõhule ning leidme esmaste oletuste kõrvalekalde tegelikkusest. Paksu surveanumi sisemine raadius on a ja välimine raadius b, differentsiaal võrrand punktnihke u jaoks pikki paksust silindrilises anumas on antud ette valemiga
d 2 u 1 du u + - = 0 dr 2 r dr r 2
Nihe u näitab, kui palju on silindrilise anuma raadius muutunud talle mõjuva rõhu tõttu. Eeldades, et sisemine raadius a = 5 tolli ja välimine raadius b = 8 tolli, surveanuma materjaliks on ASTM36 teras. Seda sorti terase tugevuspiir on 36 ksi = 3600 psi = 248211360 Pa. Tugevuspiir näitab, kui suurele rõhule antud materjal vastu peab, ilma et ta ei deformeeruks lõplikult. 36 ksi on viimane piir, millest ASTM36 teras peale rõhu eemaldamist originaalkuju taastab. Kaks koormusandurit, mis on ühendatud tangentsiaalselt sisemisele ja välimisele raadiusele mõõdavad järgmised pinged Et r =a = 0.00077462 Et r =b = 0.00038462
maksimaalsel vajalikul rõhul. Pinge näitab materjali originaal ja rõhu tagajärjel tekitatud oleku erinevust. Pingel ühikud puuduvad ja arvutatakse valemiga
kus,
on pinge on materjali algne pikkus. on materjali pikkus rõhu all.
Lahendus
Kuna nihe, pinge ja raadius on seotud valemiga
u Et = r
Siis nihe sisemisel raadiusel on
u r =a = 0.00077462 × 5 = 0.0038731' '
ja välimisel raadiusel
u r =b = 0.00038462 × 8 = 0.0030769' '
Alustame etteantud hariliku differentsiaal võrrandiga
d 2 u 1 du u + - = 0, dr 2 r dr r 2
Olgu du =w dr Siis dw 1 u + w- 2 = 0 dr r r Saame kaks esimese astme differentsiaali
du = w, dr
dw w u =- + 2 dr r r
Võtame algselt diferentsiaali väärtuseks sisemisel raadiusel
w(5) = du (5) u (8) - u (5) = -0.00026540 dr 8-5
Et üles seada esmase väärtuse probleem kasutame Euleri meetodit
= w = f1 (r , u , w) du dr
(5) = 0.0038371' ' u
= f 2 (r , u, w), dw w u =- + dr r r2
w(5) = -0.00026540
Euleri meetodit on protseduur esmase väärtuse probleemide arvutamiseks, kus iga järgneva väärtuse arvutamiseks kasutatakse eelneva arvutuse väärtust. Kasutades Euleri meetodit saame
ui +1 = ui + f1 (ri , ui , wi )h
wi +1 = wi + f 2 (ri , ui , wi )h
kus h tähistab jaotuse pikkust.
Vaatame nelja jaotust kahe raadiuse vahel. Kui r = 5 tolli ja r = 8 tolli, siis
8-5 h= = 0,75 4 Kuna raadiusel 5 tolli on nihe mõõdetud, siis arvutame nihke raadiusel 5,75 tolli i = 0, r0 = 5' ' u 0 = 0.0038371' ' w0 = -0.00026540 u1 = u0 + f1 (r0 , u0 , w0 )h = 0.0038371 + f1 (5,0.0038371,-0.00026540 )0.75 = 0.0038371 + (- 0.00026540 )0.75 = 0.0036741' '
w1 = w0 + f 2 (r0 , u 0 , w0 )h = -0.00026540 + f 2 (5,0.0038371,-0.00026540)(0.75)
- 0.00026540 0.0038371 = -0.00026540 + - + (0.75) = -0.00010940 5 52
Järgmisena leiame nihke raadiusel 6,5 tolli
i = 1, r1 = r0 + h = 5 + 0.75 = 5.75' ' , u1 = 0.0036741' ' , w1 = -0.00010940
u2 = u1 + f1 (r1 , u1 , w1 )h = 0.0036741 + f1 (5.75,0.0036741,-0.00010940 )(0.75)
= 0.0036741 + (- 0.00010940 )0.75 = 0.0035920' '
w2 = w1 + f 2 (r1 , u1 , w1 )h = -0.0001094 + f 2 (5.75,0.0036741,-0.00010940 )(0.75)
= -0.00010940 + (0.00013015)0.75 = -0.000011785
Nihke leidmine raadiusel 7,25 tolli
i=2 r2 = r1 + h = 5.75 + 0.75 = 6.5' '
u 2 = 0.0035920' ' , w2 = -0.000011785
u3 = u2 + f1 (r2 , u2 , w2 )h = 0.0035920 + f1 (6.5,0.0035920,-0.000011785)(0.75) = 0.0035920 + (- 0.000011785)0.75 = 0.0035832' '
w3 = w2 + f 2 (r2 , u2 , w2 )h = -0.000011785 + f 2 (6.5,0.0035920,-0.000011785)0.75