4x2 = 0 | : 4 Jagada x2 kordajaga x2 = 0 Võrrandil on kaks võrdset lahendit x1 = x2 = 0 Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x2 + px + q = 0 Lahendivalem: 2 p p x=- ± -q 2 2 Lahendamine: Teisendada normaalkujule 2 x + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x = - ± - 7 = -4 ± 9 = -4 ± 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete'i teoreemiga Viete'i teoreem: x1 + x2 = -p x1 · x2 = q b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: - b ± b 2 - 4ac x= 2a Lahendamine: Teisendada normaalkujule 3x2 8x 3 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit
ax 2 bx c 0 , kus a 0. Siin a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2 x1 = -1 x2 = -7 Lahendite õigsust saab kontrollida Viete’i teoreemiga Viete`i teoreem: Võrrandi x px q 0 korral x1 x 2 p ja x1 x 2 q . 2 b) täielik taandamata ruutvõrrand Üldkuju: ax2 + bx + c = 0 Lahendivalem: b b 2 4ac x 2a
x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30. Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... Saime tundmatu x määramiseks ruutvõrrandi, mille lahendamiseks teisendame ta esmalt sobivale kujule: x (11 - x) = 30 11x - x = 30 11x - x - 30 = 0 2 2 x 2 - 11x + 30 = 0. Kasutame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit: 11 112 11 121 11 121 - 120 x= ± - 30 = ± - 30 = ± = 2 4 2 4 2 4 11 1 11 1 11 1 12 11 1 10 = ± = ± x1 = + = = 6, x2 = - = = 5. 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... Tundmatule x leidsime 2 väärtust. Tundmatu y väärtuste leidmiseks kasutame teist võrrandit: x + y = 11
x + xc - b - bc = a a + xc - - bc = a x x x ab cx - - bc = 0. x Korrutame viimase võrrandi läbi suurusega x 0 ja saame tulemuseks ruutvõrrandi x suhtes: cx 2 - bcx - ab = 0. Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... cx 2 - bcx - ab = 0. Rakendame taandamata ruutvõrrandi lahendivalemit: bc ± (bc) 2 + 4cab bc ± bc(bc + 4a ) x= = 2c 2c Näitame, et kui valida ruutjuure ette miinusmärk, siis saame negatiivse lahendi (seega algse ülesande suhtes võõrlahendi). Ülesande seadest järeldub, et parameetrid a, b ja c on kõik positiivsed. Seega on ka murru nimetaja 2c > 0. bc - bc(bc + 4a ) = bc - (bc) 2 + 4abc < bc - (bc) 2 = bc - | bc |= 0
2 2 a b a b c) Ruutkolmliikme lahutamine teguriteks ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2), milles x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid. 2 Näide: Tegurdame ruutkolmliikme 4x² - 17x + 4. Lahendame ruutvõrrandi 4x² - 17x + 4 = 0, milleks kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit b b 2 4ac x1,2 = . 2a 17 17 2 4 4 4 17 225 17 15 x1, 2 24 8 8 x1 4 x 2 0,25 Võime leida lahendid ka nii, et esmalt kontrollime kas võrrandil on üldse lahendeid, st. leiame ruutvõrrandi diskriminandi D. Avaldist b2-4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks ning ruutvõrrandil
Need arvud, mille summa on 7 ja korrutis on 10, on 5 ja 2. Seega x1 = 5 ja x2 =2. Sama tulemuseni jõuame ka lahendivalemi abil: x =3,5 ± 12, 25 -10 =3,5 ± 2,25 =3,5 ±1,5 Seega x1 = 3,5 + 1,5 = 5 ja x2 = 3,5 1,5 = 2. Ruutvõrrandeid, milles puudub lineaarliige või vabaliige, nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks. Neid on kasulik lahendada lihtsamalt (lahendivalemit kasutamata). Näide 10. 2x2 4,5 = 0, on mittetäielik ruutvõrrand, milles puudub lineaarliige. Võrrandi lahendamiseks avaldame kõigepealt x2, siis x. 2x2 4,5 = 0 : 2 x2 - 2,25 = 0 x2 = 2,25 x = ± 2,25 x = ± 1,5 x1 = 1,5 ja x2 = -1,5 Näide11. 2x2 3x = 0 on mittetaäelik ruutvõrrand, milles puudub vabaliige. Võrrandi lahendamiseks esitame vasaku poole korrutisena.
Nagu näha, mõlemad lahendid sobivad. Seega on esialgse võrrandi lahendi- teks kaaskompleksarvud -4i ja 4i. Analoogiliselt toimub korrutamine ka kolme või enama teguri korral. Kahe kompleksarvu summa, vahe või korrutis võivad olla reaalarvud. Näiteks 2) Võrrandi x2 - 2x + 10 = 0 lahendame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit teineteise kaaskompleksarvude (a+bi) ja (a-bi) korrutis on reaalarv a2 + b2. Kontrolli kasutades: seda! x1;2 = 1 ± 1 - 10 = 1 ± -9 = 1 ± 3i. Siit x1 = 1 + 3i ja x2 = 1 - 3i.
1 4 y 2 − 37 y + 9 = 0 , mille lahendid on y1 = 9 ja y2 = . 4 Paigutades y väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = 9 , millest x1 = 3 , x2 = −3 ; 1 1 1 2) x 2 = , millest x3 = , x4 = − . 4 2 2 Biruutvõrrandi võib lahendada ka ilma abitundmatuta, kasutades vaid ruutvõrrandi lahendivalemit tundmatu ruudu leidmiseks. 1 1 Vastus. x1 = 3 , x2 = −3 , x3 = , x4 = − . 2 2 Näide 8. Lahutada ruutkolmliige 15 x 2 − 8 x + 1 teguriteks. Lahendus. Moodustame ruutvõrrandi 15 x 2 − 8 x + 1 = 0 ja lahendame selle. 8 ± 82 − 4 ⋅ 15 ⋅ 1 8 ± 2 1 1 x= = ; x1 = ; x2 = . 2 ⋅ 15 30 3 5
2 liita mõlemale poolele b 2 2 2 3)2(ax) +2 2ax b+b =b -4ac ehk 2 2 (2ax+b) =b -4ac leida ruutjuur Vastus. Lahendid on x1=1 või x2=2 4) ; ; |:2a NB vaja pähe õppida ja osata une pealt 21.Täieliku taandamata ruutvõrrandi Ül.1371 2 lahendamine - kasutada lahendivalemit 3m +2m-1=0 a=3 b=2 c=-1 NB vastusesse lahendite kirjutamisel tuleb tähtsustada sõna "või" Vastus. Lahendid on x1=-1 või x2= . 2 2 22.Ruutvõrrandi diskriminant - D=b -4ac, 5x -4x+7=0 pole lahendeid kus a,b,c on ruutvõrrandi kordajad; a=5 b=-4 c=7 2
VASTUSED 3-1 25 klienti. 3-2 Mees 35 kr, naine 105 kr. 3-3 80 kr. 3-4 500. 3-5 Firmast B, kui üle 50 km. 3-6 Alla 1 milj tk variant B. 3-7 15. 3-8 a) 25 000 tk; b) 150 000 tk. 3.2 Ruutvõrrandid Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus otsitava muutuja suurim aste on 2. Ruutvõrrandi lahendamiseks tuleb kõik liikmed viia vasakule poole võrdusmärki (paremale poole jääb 0) ja kasutada ruutvõrrandi lahendivalemit. Ruutvõrrandi + + = lahendid leitakse seosest -± - = Näide 3-3 Tasuvuspunktid Olgu meil leitud ettevõtte kasumi P sõltuvus hinnast p järgmine: P(p)=-40p2+16 000p-1 200 000. a) Millise hinna korral on kasum null? b) Millise hinna korral on kasum 300 000 kr? Lahendus (a):
Teisel juhul valime a = 3, b = 6 ja vastus on = 3 ning kolmandal juhul annab a = 9, b = 14 valik lahendi = 5. Loomulikult võiksime tundmatu võrrandis tähistada ka tähega ning kordajaid hoopis tähtedega ja . Sel juhul peaksime aga iga kord võrrandi juures hoolikalt täpsustama, mis on tundmatuks. Kokkulepe, et just peaks enamasti olema tund- matu rollis, teeb matemaatika lugemise lihtsalt kergemaks ja kiiremaks. Kui meel- div on näiteks lugeda järgmises kujus ruutvõrrandit ja tema lahendivalemit? Kuna selline tähistus hirmutab ja tekitab parasjagu segadust, üritame raamatus kõike tähistada võimalikult levinud sümbolitega. Muutuja ja funktsioonid Muutujad tulevad esile ka funktsioonidest rääkides. Funktsiooni peatükis kirjeldame, et funktsioonist võib mõelda kui teatud masinast, mis võtab muutuja ning teeb temaga mingi operatsiooni või teisenduse. Vahel kut- sutakse teda ka funktsiooni argumendiks [lk 64].
annaabi.ee 
