Sulgude avamisel kasutatakse korrutamise jaotuvuse seadust. Miinus märk sulu ees muudab märgi sulu sees. Sarnaste liidetavate koondamine Sarnased liidetavad erinevad üksteisest kordaja poolest või ei erine üldse Sarnaste liidetavate liitmist nimetatakse koondamiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus Võrrand on võrdlus mis sisaldab tundmatut Võrrandi lahendiks on kõik tundmatu väärtuse mille korral võrdus muutub tõeseks Kõik lahendid kokku moodustavad võrrandi lahendihulga Lahendihulga leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks Kaht võrrandit mis sisaldavad samu tundmatuid nimetatakse sama väärseteks kui nende lahendi hulgad on võrdsed
Ruutvõrratuse lahendamine 1. Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0. 2. Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c. 3. Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Näide1. Lahendame võrratuse 2x2 + 7x + 3 > 0. 2x2 + 7x +3 = 0 - 7 ± 49 - 4 2 3 - 7 ± 49 - 24 - 7 ± 25 - 7 ± 5 x= = = = 22 4 4 4 -7+5 -2 - 7 - 5 - 12 x1 = = = -0,5 ja x2 = = = -3 4 4 4 4
Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahendeid, siis öeldakse, et võrrand on lahenduv. Kui võrrandil lahendid puuduvad, siis on võrrand mittelahenduv. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit. Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand
2.1" R.eaa-narvud.f a avmldfised FOhiteadmised FohioskuserJ an uirLllga"ei N, Z, Q ja R, nende omadused; vdrrandi j a- i6rratuse lahendihulga, funktsiooni arvtetrje vahemik, iOik _ia poolldigud; meiilramis-, muuturnis-, positiivsus- j a arvu absoiuuiv:ilirtus; nega{iivsuspiirkondadc ning kasvamis-.ja ratslonaanar"ruiise acfeilda.iaga aste; kallanemisvahemike kuj utanaine
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a= - a, kui a < 0
1) logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne: 5 x - 10 > 0; 2) ruutjuurealune avaldis ei või olla negatiivne: 6 - 2 x 0; Näide 2 (2) Saadud kaks võrratust moodustavad lineaarvõrratuste süsteemi, mille lahendihulk annabki funktsiooni määramispiirkonna: 5 x - 10 > 0, 6 - 2 x 0 Leiame esimese võrratuse lahendihulga: 5 x - 10 > 0 5 x > 10 x > 2. Teise võrratuse lahendihulk: 6 - 2x 0 6 2x x 3 Lahendiks on leitud arvuhulkade ühisosa: Vastus: Määramispiirkonnaks on poollõik 2 < x 3.
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0
Ruutvõrratuse lahendi leidmiseks skitseerime funktsiooni v = u 2 - 20u +125 graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk. Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale: u = 5 x > 5 = 51 Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav, seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega x > 1, mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x > 1}.
Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4
Võrratuse mõlemale poole võib liita või temast lahutada ühe ja sama arvu. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui see arv on positiivne, siis jääb võrratuse märk samaks, kui negatiivne, siis muutub vastupidiseks. Võrratuse lahenditeks on muutuja need väärtused, mille korral võrratus on tõene. Võrratuse kõik lahendid kokku moodustavad võrratuse lahendihulga. Samu muutujaid sisaldavaid võrratusi nimetatakse samaväärseteks, kui neil on üks ja sama lahendihulk. Võrratuse lahendihulga kirjeldame alati nii graafiliselt kui ka piirkonnana. Ruutvõrratuse lahendamisel leiame kõigepealt ruutvõrrandi nullkohad, siis skitseerime parabooli ja siis leiame graafikult lahendipiirkonna. Determinant 4
<, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk Kaks võrratust on samaväärsed, kui nende lahendihulgad ühtivad. 4y -16 < 8 ja 4y < 24 on samaväärsed Võrratuse põhiomadused Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlema poolega liita või lahutada sama arv. 2x + 4 < 5x – 9 → 2x + 4 – 4 < 5x – 9 – 4 → 2x < 5x – 13 Järeldus: Võrratusmärk ei muutu, kui liidetavaid (liikmeid) viia ühelt poolelt teisele, muutes liidetava märgi vastupidiseks.
a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga
2 . Lahendus. 1 2 - x + 6 x - 18 = 0 Lahendame võrrandi 2 · (2) Korrutame võrrandi mõlemat poolt (2) ga, saame võrrandi x2 12x + 36 = 0, mille lahendid x1 = x2 = 6. Teeme joonise ja leiame lahendihulga. Vastus. L = ( ; 6) (6; ). Näide 9. Lahendame võrratuse 5x2 + 20x + 26 < 0. Lahendus. Lahendame võrrandi 5x2 + 20x + 26 = 0. Ruutvõrrandi diskriminant D = 120. Võrrandil lahendid puuduvad. Parabool avaneb ülespoole ja x telge ei puuduta ega lõika. 4 Vastus. L = Ø. Ülesanne 3. Lahenda ruutvõrratus. 1) 12x2 36x 0 2) 3x2 1200 0
Tehted astmete ja juurtega. Võrdus, võrrand, Õpilane: Tekstülesande Võrrandid ja samasus. 1) selgitab võrduse, samasuse ja d võrrandisüsteemid Võrrandite võrrandi, võrrandi lahendi, loodusteadust samaväärsus, võrrandi- ja võrratusesüsteemi est ja samaväärsusteisen lahendi ning lahendihulga mõistet; majandusest. dused. Lineaar-, 2) selgitab võrrandite ning nende ruut-, murd- ja süsteemide lahendamisel juurvõrrandid ning rakendatavaid samasusteisendusi; nendeks 3) lahendab ühe tundmatuga taanduvad lineaar-, ruut-, murd- ja lihtsamaid võrrandid. juurvõrrandeid ning nendeks
on võrratuse nullkohad, saab lahendada intervallimeetodil. Praktiliselt kujuneb võrratuse lahendamine intervallmeetodil järgmiseks: kanname võrratuse nullkohad (antud juhul x1, x2, x3 ) x teljele, eeldades, et a > 0 (vastasel juhul korrutame lähtevõrratust 1-ga), tõmbame läbi nende punktide joone, alustades paremalt ülalt, kui nullkoha järk on paaritu arv, läbime nullkohta lõigates x- telge, kui nullkoha järk on paarisarv, läbime nullkohta puudutades, võrratuse lahendihulga määrame graafikult. Näide 2 Näide Lahendame võrratuse x(x - 2)(x + 1) > 0. Lahendus Vastava funktsiooni y = x(x - 2)(x + 1) nullkohad on x = 0, x = 2, x = -1 ning kõik need on ühekordsed. Seega läbib abijoon neid punkte x- telge lõigates. alustame paremalt ülalt -1 0 2 x Antud võrratuse lahendamine tähendab funktsiooni
2. Piirsirgete kandmine joonisele 3. Lubatava pooltasandi määramine 4. Lubatavate lahendite piirkonna leidmine 5. Sihifunktsiooni samakõrgusjoone leidmine 6. Samakõrgusjoone liigutamine kindlaksmääratud suunas 7. Optimaalse lahendi leidmine 8. Optimaalse punkti koordinaatide välja arvutamine Lahendite hulk : · Üks optimaalne lahend üks tipp · Lõpmata palju lahendeid Samakõrgusjoon on paralleelne lubatava lahendihulga külje või kiirega · Puuduvad lahendid pole rahuldatud kõiki kitsendusi, piirkond on tühihulk, ülesanne on piiramata Duaalne planeerimisülesanne: Olgu antud esialgne ülesanne max-põhikujul: z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c max a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a21x1 + a22 x2 + ... + a 2 n xn b2 ... ... ... ... ... am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium RUUTVÕRRATUSED Võrratust, mis esitub kujul ax2 + bx + c > 0, kus a ≠ 0, nimetatakse ühe muutujaga ruutvõrratuseks. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, ≥ või ≤. Ruutvõrratusi on üldjuhul mõistlik lahendada järgmise skeemi järgi: a) Lahendame võrrandi ax2 + bx + c = 0 b) Skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c c) Leiame jooniselt võrratuse lahendihulga. Vaatleme mõningaid näiteid, lahendame võrratused a) x2 – 2x – 3 > 0 b) x(x + 1) ≥ 0 c) –x2 – 2x > 0 d) x2 + 2x + 3 < 0 e) x2 + 4x + 4 ≥ 0 f) x2 – 4x + 4 < 0 a) b) L ;1 3; L ;1 0; © Allar Veelmaa 2014 12 10
Võrdeline seos on lineaarse seose erijuht, mistõttu ka iga võrdelise seose graafik on sirge. Võrdelise seose korral läbib see koordinaadistiku alguspunkti. Peale selle ei saa võrdelise seose graafik olla paralleelne kummagi koordinaatteljega. Võrrand ehk võrdlus, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut. Võrrandi lahend on kõik tundmatu väärtused, mille korral võrrand osutub tõeseks võrduseks. Võrrandi lahendamine on võrrandi lahendihulga leidmine. Võrrandi põhiomadused: 1) võrrandi pooli võib vahetada 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada sama liikme või avaldise 3)võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Võrre on tõene võrdus kahe suhte vahel. Ühiskordseteks nimetakse arve, mis jaguvad iga antud arvuga. Ühiskordseid on lõpmata palju. Suurimat ühiskordset pole olemas
Kui a = 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 3.16 Lineaarne võrratussüsteem Kaks või enam ühe ja sama tundmatuga võrratust koos vaadelduna moodustavad võrratussüsteemi. Ühe tundmatuga lineaarvõrratussüsteemi lahendihulgaks on antud võrratuste lahendihulkade ühisosa. Võrratussüsteemi lahendamisel leiame iga võrratuse lahendihulga ja seejärel süsteemi lahendihulga. Võrratussüsteemi lahendamine taandub alati ühele neljast järgmisest juhust. Eeldame, et a > b . I Samapidised tõkked x > a x < a x > b x < b
annaabi.ee 
