lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+ i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22). Trigonom. Kompleksarvu argumendi jaoks kehtivad võrdused cosfi = a/r;
Kuid ka nurga 180°+53°7' = 233°7' Kui kompleksarve kujutavate lõikude otspunktid on tangens võrdub 1,333-ga. Et kompleksarvu 3 + 4i esitav punkt (3; 4) kuulub koordinaatide alguspunktist ühel kaugusel, siis nende 2 komplekstasandil esimesse veerandisse, siis nurk 233°7' arvesse ei tule. arvude moodulid on võrdsed (vt joonist). 1 Kompleksarvu 3 + 4i trigonomeetriline kuju on seega -2 -1 O 1 2 3 + 4i = 5(cos 53°7' + i sin 53°7').
NB! i 2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+ i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22). Trigonom. Kompleksarvu argumendi jaoks kehtivad võrdused cosfi = a/r; sinfi = b/r; ehk a = rcos fi, b
Seoses sagedusjuhtimise üha laiema levikuga elektriajamites ning kolmefaasiliste elektrimasinate tööpõhimõttega (kolmefaasiline toitepinge tekitab ruumiliselt sümmeetrilises staatorimähiste süsteemis pöörleva magnetvälja), on rakendatakse ajamites vektorjuhtimise põhimõtet. Sisuliselt tähendab see seda, et vaheldi juhtimise eesmärgiks pole mitte kolme sümmeetrilise faasipinge tekitamine, vaid niisuguse pingesüsteemi loomine, mille pinge kompleksvektor pöörleb ühtlaselt komplekstasandil. Vaheldi niisugust juhtimist nimetatakse pingevektori juhtimiseks. Kolmefaasiline sümmeetriline siinuspingete süsteem, mille faasid on komplekstasandil 120° võrra nihutatud, tagab pingevektori ühtlase pöörlemise. Vaheldi puhul jõutakse sama tulemuseni kahel viisil. Esiteks, tekitatakse kolmes faasis omavahel sümmeetriliselt nihutatud, sama kuju ja võrdse amplituudiga faasipingete süsteem ning toidetakse selle pingega kolmefaasilist elektrimasinat. Teiseks, valitakse vaheldi
arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu algebraline kuju Definitsioon Kompleksarvu z esitusviisi z = a + bi nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks. Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi mooduliks nimetatakse arvu |z|, mis leitakse j¨argmise seosega: |z| = a2 + b2 . Moodul |z| ≥ 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z¯ = a − bi. Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨
määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2. Kompleksarvude lahutamine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i vaheks nimetatakse niisugust kompleksarvu, mille liitmisel arvuga z2 saadakse summa, mis võrdub arvuga z1 : z1 - z2 = ( a1 + b1i ) - ( a2 + b2i ) = ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) i . (2) Kahe kompleksarvu vahe moodul võrdub neid arve komplekstasandil kujutavate punktide vahelise kaugusega: ( a1 - a2 ) + ( b1 - b2 ) . 2 2 z1 - z2 = 3. Kompleksarvude korrutamine. z1 z2 = ( a1a2 - b1b2 ) + ( b1a2 + a1b2 ) i Kui kompleksarvud on kirjutatud trigonomeetrilisel kujul: z1 = r1 ( cos 1 + i sin 1 ) ja z2 = r2 ( cos 2 + i sin 2 )
8 V. Kompleksarvud 6 Moodul 6.1 Mooduli m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi moodul |z| defineeritakse valemiga |z| := a2 + b2 Moodul on ilmselt mittenegatiivne reaalarv. N¨ aide |2 - 3i| = 22 + (-3)2 = 13 jne. 6.2 T~ olgendusi Geomeetriliselt on moodul kompleksarvu (polaar)kaugus koordi- naatide alguspunktist komplekstasandil. Maatriksesituses |z| = det z. 6.3 Ruutude summa valem (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, arvuta- me (a + bi)(a - bi) = aa - abi + bia - bibi = a2 - abi + bai - b2 i2 = a2 + b2 6.4 Mooduli omadusi 1) zz = |z|2 = z z 2) |z1 z2 | = |z1 ||z2 | T~ oestus. Esimene valem on ruutude summa valem. Teine valem
(2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i: Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame võrdust 1: Enne kompleksarvude jagatise defineerimist defineerime kaaskompleksarvu mõiste. Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu . Kaaskompleksarvude omadused: Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse nimetaja kaaskompleksarvuga: Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x-telg on reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse () punkti A(a, b) ning kohavektori = (a, b) ; s.t. z = a + bi , = (a, b). Niisiis geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt: Sellist tasandit, millel on kujutatud kompleksarvud, nimetatakse komplekstasandiks. Vaatleme, kuidas saab geomeetirliselt tõlgendada kaaskompleksarvu mõiste ning
Läheme tagasi muutuva amplituudiga signaali juurde. Seda võib kujutada kui signaali, kus signaali faas infot ei kanna (nagu näiteks AM signaali detekteerimisel, kus kasutatakse mõlemat külgriba ning kus väljundsignaali amplituud sõltub AM indeksi m sügavusest, mitte faasist). Enamus tänapäevaseid modulatsioone eeldavad aga ka signaalikomponentide faasieristusi. Selleks on mõistlik kasutada kvadratuur- detektorit. Tuletagem meelde kompleksarvu kujutamist reaal- ja imaginaarosana komplekstasandil. Antud juhul siis vektor mt pöörleb kiirusega 2f s ; selle suurus ja nurk on määratavad teatavasti alljärgnevate valemitega: m t=(I2t+Q2t) ja t=tg-1(Qt /It ). 6.3. Signaal kui infokandja 6.3.1. Signaalide liigid- Signaale liigitame: Tekke järgi ·Determineeritud ·Juhuslikud. Muutuse kiiruse järgi: ·Analoog ·Digitaalsed. Spektri järgi ·Kitsaribalised ·Laiaribalised. Determineeritud signaalid võivad olla kas perioodilised perioodiga T või üksikvõnkumised
algebraliseks (ka Descartes'i) kujuks. 138 15.5. Kompleksarvud Definitsioon 15.5 Kompleksarvu z = a + b i mooduliks nimetatakse reaalarvu |z|, mis leitakse järgmise seosega: |z| = a 2 + b2 . (15.2) Märkus 15.2 Moodul |z| 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Definitsioon 15.6 Kompleksarvu z = a + b i kaaskompleksarvuks (kaaskompleksiks) ni- metatakse kompleksarvu z¯ = a - b i. (15.3) Märkus 15.3 Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist võrdsel kaugusel ning z ja z¯ on sümmeetrilised reaaltelje suhtes. On kerge kontrollida, et 1. |z| = |¯ z |, 2. z · z¯ = (a + b i) · (a - b · i) = a2 + b2 = |z|2 . 15
nullpunktist vasemal läbival arvteljega ristuval teljel Peeti absurdseks 18. sajandini Tänapäevani Lihtne korrutamise Arvuga –1: 1 –1; 1; –1; ... Arvuga i: 1; i; –1; –i; 1; i; ... näide ja visuaalne Arvupunkti peegelda- Arvupunkti pööramine tõlgendus mine nullpunktist 90o komplekstasandil „Suurus” Kaugus nullpunktist Kaugus nullpunktist Tuleb esile Võlad, vastassuunas Kvantmehhaanika, liikumine, külmakraadid signaalianalüüs Tehted kompleksarvudega Selgub, et kompleksarvud on väga toredad ja nendega saab teha kõike, mida reaalarvudega, ja veel rohkematki. Liitmine ja lahutamine
annaabi.ee 
