kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r
koordinaatideks. 1 y a ay j x axi Vektor ja tema koordinaadid kahemõõtmelisel juhul. Vektori pikkus arvutatakse järgmise valemi järgi: a = a x2 + a y2 + a z2 Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit, mille alguspunkt asub koordinaatide alguspunktis ja lõpp-punkt meid huvitavas punktis. Kui lõpp- punkti koordinaadid on x, y, z, avaldub kohavektor komponentides järgmiselt: r = xi + y j + z k 2. Vektorite liitmine, lahutamine ja korrutamine skalaariga Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c .
Kinemaatika ja dünaamika — Punktmass. - Keha mille mõõtmed on lihtsuse mõttes jäetud arvestamata — Taustsüsteem. - Taustsüsteemi moodustavad taustkeha ja temaga seotud koordinaatteljed — Keha asukoht. - Keha asukohta ruumis saab määrata teades keha liikumisseadust — Nihkevektor. - r Sirgjoonelise liikumise korral on punkti kohavektoriks tema nihe — Kiirus. - Kiirus on vektoriaalne suurus. Sirgjoonelise liikumise korral võrdub keskmine kiirus nihke ja selle sooritamiseks kulunud aja suhtega — Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine. Sellist liikumist, mille kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguse väärtuse võrra, nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks. Selline liikumine mille kiirus ei muutu on ühtlane kiirus — Kiirendus
Liikumist uurides määratakse alati kindlaks aja lugemise algus. Punkti liikumisseaduseks nimetatakse niisugust võrrandit mis võimaldab mistahes ajahetkel üheselt määrata selle punkti asukoha antud taustsüsteemi suhtes. Punkti asukoha määramiseks piisab punkti kohavektori teadmisest. Sellist vektorit, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist 0 kuni vaadeldava punktini P, nimetatakse punkti P kohavektoriks antud taustsüsteemis. Tähis r Sirgjoonelise liikumise korral on punkti kohavektoriks tema nihe (nihkevektor) r s . Teades punkti algasukohta ja nihet saame määrata punkti asukohta . Sirgjooneline liikumine Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral saab nihet arvutada valemiga s v t ja punkti
Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast. Sellist vektorit, mille algus punktid on koordinaatide alguspunktis nim kohavektoriks. Kohavektori koordinaadid on samad, mis vektori lõpp koordinaadid. Sellist vektorit, mille pikkus on 0 ühikut, nim nullvektoriks. Sellist vektorit, mis on 1 ühik pikk nim ühikvektoriks.
kandela - (cd) valgustugevus Ainepunkt (punktmass) Ainepunktiks nimetatakse keha, mille mõõtmed ja kuju võib jätta arvestamata tema liikumise kirjeldamisel. Punktmass on füüsikalise keha mudel, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti. Taustsüsteem Taustsüsteem on targalt valitud keha, mille suhtes on otsustatud määrata keha asendit ruumis, ja millega on seotud koordinaadistik, ja ajamõõtmise viis. Kohavektor Kohavektoriks või raadiusvektoriks nimetatakse sellist vektorit, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist 0 kuni vaadeldava ainepunktini A. Nihkevektor Osakese asendi muutumist punktist A1 (algpunkt) punkti A2 (lõpp punkt) ajavahemiku (t) jooksul nimetatakse nihkeks (nihkevektoriks) Liikumisseadus Kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas. Valem: r = f (t) Kiirus ja kiirendus
vektorite summa projektsioon mingile teljele võrdub liidetavate vektorite projektsioonide summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega, pra a cos . Olgu meil antud koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis. Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede
· distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid Iga koordinaattasandil oleva vektori v saab üheselt avaldada koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite I ja j kaudu. v=Xi+Yj (X ja Y on vektori koordinaadid) v=(X;Y) · Vektori pikkus võrdub ruutjuurega vektori koordinaatide ruutude summast. · Vektorit OM, mille alguspunkt on koordinaatide alguspunktis, nimetatakse punkti M kohavektoriks. Kui M(a;b), siis OM=(a;b) · i=(1;0) ja j=(0;1) · Kui e on ühikvektor ja see moodustab x-telje positiivse suunaga teravnurga a, siis e=(cos a; sin a) ehk e=cos a·i+sin a·j · Nullvektori koordinaadid on nullid 0=(0;0) 6.8 Koordinaatidega antud vektorite võrdsus ja lineaartehted Linaarteheteks vektoritega nimetatakse vektorite liitmist, lahutamist ja arvuga korrutamist. · Kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende samanimelised koordinaadid.
Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +...+ umvm) · Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis.
Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +...+ umvm) · Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis.
kirjeldamisel. 1 3.Taustsüsteem (+ joonis) Taustsüsteem on targalt valitud keha, mille suhtes on otsustatud määrata keha asendit ruumis, ja millega on seotud koordinaadistik, ja ajamõõtmise viismilles kehtib inertsiseadus, inertsiaalseteks taustsüsteemideks ehk inertsiaalsüsteemideks. 4.Kohavektor(+joonis) Kohavektoriks või raadiusvektoriks nimetatakse sellist vektorit, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist 0 kuni vaadeldava ainepunktini A. 5. Nihkevektor (+joonis) Osakese asendi muutumist punktist A1 (algpunkt) punkti A2 (lõpp punkt) ajavahemiku (Δt) jooksul nimetatakse nihkeks (nihkevektoriks) 6. Liikumisseadus (+valem) kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas: x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t). 3.KULGLIIKUMISE KINEMAATIKA 1.Kiirus (+ valem)
toimub kellaosuti liikumisele vastupidises suunas (kellaosuti liikumise suunas) Parema (vasaku) käe reeper Vektorruumi E2 reeperit {O, e1 , e2 } nimetame parema käe (vasaku käe) reeperiks, kui temasse kuuluv baas {e1 , e2 } on parema käe (vasaku käe) baas. Punkti kohavektor - Vektorit OX nim. punkti X kohavektoriks reeperi {O, e1 , e2 , e3 } suhtes. Vektori ristkoordinaadid vektori koordinaadid ristbaasi suhtes Punkti ristkoordinaadid punkti koordinaadid ristreeperi suhtes Vektori parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Vektori koordinaadid parema käe (vasaku käe) baasi suhtes. Punkti parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Punkti koordinaate parema käe (vasaku käe) reeperi suhtes nimetatakse punkti parema käe (vasaku käe) koordinaatideks.
xm = (bm - am )t , t [0, 1] . -- Tegemist on vektoriga OM , mille l~opp-punkt on M = (b1 - a1 , b2 - a2 , . . . , bm - am ), kuna s¨ usteemist (6.5) saame t = 1 korral xi = bi - ai . Koordinaatide -- alguspunktist l¨ahtuv vektor OM on u ¨heselt m¨a¨ aratud oma l~opp-punkti M ko- ordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. . Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) l¨abivaks vektori u = (u1 , u2 , . . . , um ) suunaliseks sirgeks loetakse sirget, mis saadakse vektoriga u samav¨ a¨arse punk- tist A l¨ahtuva vektori pikendamisel m~olemast otsast l~opmatuseni. Taolise sirge parameetrilised v~orrandid on x1 = a1 + u1 t x2 = a2 + u2 t ...
osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? Liikugu punkt M mingi taustsüsteemi xyz suhtes. Selle punkti asukohta mistahes ajahetkel võib määrata, andes vektori r, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist O punkti M. Vektorit r nim punkti M kohavektoriks. Punkti M liikumisel muutub vektor r aja vältel nii moodulilt kui ka suunalt. Järelikult on r muutuv vektor (vektorfunktsioon), mis sõltub argumendist t : r = r (t) Võrdus määrabki punkti kõverjoonelise liikumise seaduse vektoriaalsel viisil, sest ta lubab joonestada mistahes ajahetkel t vastava vektori r ja leida liikuva punkti asukoha. 90. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? 91
osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? Liikugu punkt M mingi taustsüsteemi xyz suhtes. Selle punkti asukohta mistahes ajahetkel võib määrata, andes vektori r, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist O punkti M. Vektorit r nim punkti M kohavektoriks. Punkti M liikumisel muutub vektor r aja vältel nii moodulilt kui ka suunalt. Järelikult on r muutuv vektor (vektorfunktsioon), mis sõltub argumendist t : r = r (t) Võrdus määrabki punkti kõverjoonelise liikumise seaduse vektoriaalsel viisil, sest ta lubab joonestada mistahes ajahetkel t vastava vektori r ja leida liikuva punkti asukoha. 90. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? 91
kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik).
kus X x2 x1 , Y y2 y1 , Z z2 z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i 1; 0; 0 , j 0; 1; 0 , k 0; 0;1 . Nende r uuu r kaudu avaldub vektor v AB X ; Y ; Z järgmiselt: r uuu r r r r v AB Xi Yj Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 0; 0; 0 . uuur uuu r Vastandvektor: kui AB X ; Y ; Z , siis BA X ; Y ; Z . r uuu r Vektori pikkus: v AB X Y Z . 2 2 2 r r
pra x = (13.1) -|P ra x|, kui P ra x a. 13.4 Kohavektorid Märgime ruumis E (ruum, tasand või sirge) koordinaatide alguspunkti tähega O. Antud ruumis on loomulikul moel antud ristkoordinaatide süs- teem, s.t. iga punkti X E korral on määratud selle punkti asukoht ja koordinaadid. Definitsioon 13.22 Mistahes punkti X E kohavektoriks nimetatakse vektorit OX E. 119 PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Märkus 13.8 Igal punktil X on olemas kohavektor ja seejuures ainult üks. Lisaks sellele iga vektor x E määrab sellise punkti X, millele ta on koha- vektoriks. Rakendades vektori x punktist O, tekib üheselt määratud punkt X nii, et OX = x
annaabi.ee 
