Kodeeritud tehted (matemaatilised reebused) TÜ kursus (0)

Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I



Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 1    Kodeeritud tehted  Koostanud M. Ivanov, E. Abel      Mis on matemaatiline reebus?  Matemaatiline  reebus  kujutab  endast  ühte  aritmeetilistest  tehetest  (liitmine,  lahutamine, 
korrutamine  ja  jagamine),  kus  kas  mõned  või  koguni  kõik  numbrid  on  asendatud  mingite 
sümbolitega  (punktid,  tähekesed,  tähed,  mõned  geomeetrilised  kujundid  jne).  Matemaatilised 
reebused on kodeeritud (šifreeritud, krüpteeritud) tekstide üks liikidest.  Kui kõik numbrid vaadeldavas tehtes on asendatud sümbolitega, siis kõneldakse täielikult kodeeritud 
tehtest, kui vaid mõned numbrid on asendatud, siis osaliselt kodeeritut tehtest.   Kui kõik numbrid on kodeeritud ainult tähestiku tähtedega, siis kõneldakse ka tähelisest reebusest e 
tähereebusest,  kus  iga  number  on  asendatud  ühe  kindla  tähega,  kusjuures  erinevad  numbrid  on 
kodeeritud  erinevate  tähtedega  ning  samad  numbrid  samade  tähtedega.  Klassikalise  tähereebuse 
liitmistehtele                                  𝑆𝐸𝑁𝐷 + 𝑀𝑂𝑅𝐸 = 𝑀𝑂𝑁𝐸𝑌  mõtles  välja  inglane  Henry  Ernest  Dudeney.  Esmakordselt  ilmus  see  reebus 
ajakirja  „The  Strand  Magazine“  juulikuu  numbris  aastal  1924.  Huvitav  on,  et 
Dudeney reebusel on ka oma tähendus (tõlkes „Saada rohkem raha“). See on 
lühike  telegrammistiilis  fraas,  mida  kasutavad  sageli  rahahädas  tudengid 
kirjades oma vanematele või lunaraha taotlejad. Krüptoaritmeetika veebilehel 
(vt link vihiku lõpus) on ka selle eestikeelne analoog                               𝑆𝐴𝐴𝐷𝐴 + 𝑉𝐸𝐸𝐿 = 𝑃𝐴𝑃𝑃𝐼.  Mõlemal  tähereebusel  on  üks  ainuke  lahend.  Enne  kui  otsite  nii  Dudeney  reebuse  kui  ka  selle 
analoogi lahendeid vihiku lõpust, tutvuge vihikus antud materjaliga ja proovige need ise lahendada.    Kuidas lahendada matemaatilisi reebuseid?  Matemaatilise reebuse lahendamine tähendab kodeeritud tehte dekodeerimist, st selles esinevate 
kõikide  sümbolite  asendamist  sobivate  numbritega,  kasutades  selleks  loogilist  arutelu  ja  arvude 
vahelisi matemaatilisi seoseid. Sageli tuleb koostada ka võrrandeid ja neid lahendada.  Käesolevas  vihikus  piirdume  liitmistehtega  seotud  tähereebuste  lahendamisega  ja  eeldame,  et 
kasutatud  on  vaid  kümnendsüsteemi.  Teistsuguste  kodeeritud  tehete näiteid  ja  ülesandeid  võivad 
huvilised leida näiteks vihiku lõpus loetletud allikatest. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 2    Kuigi  matemaatilise  tähereebuse  lahendamise  täpsed  eeskirjad  puuduvad,  saab  siiski  anda 
mõningaid kasulikke näpunäiteid nende huvitavate ülesannete lahendamise hõlbustamiseks.    Tähereebustes on iga tähega kodeeritud üks kindel number, kusjuures ühesugused numbrid  kodeeritakse ühe ja sama tähega ning erinevad numbrid erinevate tähtedega.    Enne lahendamist veenduge, et reebuses ei oleks enam kui kümme erinevat tähte. Vastasel  juhul ei ole reebus lahenduv.    Lahendamist  alustage  reeglist,  et  mitmekohaline  täisarv  ei  alga  numbriga  0.  Seega  kõik  tähed,  mis  on  täisarvudes  vasakult  poolt  esimesed,  ei  saa  olla  numbri  0  tähiseks.  Oleme 
kitsendanud võimalike numbrite hulka.    Lähtuge  aritmeetiliste  tehete  põhireeglitest.  Näiteks,  kui  kahe  liidetava  viimasel  kohal  seisavad  vastavalt  tähed  𝐴  ja 𝐵  ning  nende  summa viimasel kohal  on  täht  𝐴,  siis  tähele  𝐵 
saab vastata vaid number 0.     Sageli koosneb liitmise korral reebus kahest liidetavast arvust. Kui sellise liitmise korral on  summas rohkem kohti kui liidetavates, siis algab summa kindlasti numbriga 1. Kui liidetavaid 
on aga kolm ja summas on rohkem kohti kui liidetavates, siis võib summa esimene number 
olla kas 1 või 2.    Ärge kartke teha vigu. Võib-olla aitavad just need leida õige lahendustee.    Ärge  peljake  erinevate  võimaluste  läbivaatamist.  Mõned  reebused  nõuavad  mitmete  erinevate  olukordade  kannatlikku  uurimist  ja  võimalik,  et  reebusel  ongi  mitu  erinevat 
lahendit.  Tasuks  saate  õige  vastuse  ja  tubli  treeningu  oma  nutikuse  ja  leidlikkuse 
arendamiseks.     Mida leiab sellest vihikust?  Vihikus tutvustatakse näiteülesannete varal matemaatiliste tähereebuste lahendamisvõtteid. Sageli 
võib ühte ülesannet lahendada mitmel moel. Seetõttu on lahendaja võimete ja oskuste arendamise 
huvides alati kasulik enne püüda ise lahendada antud ülesanne ja alles siis tutvuda vihiku koostaja 
pakutud  lahendusskeemiga.  Isegi  kui  saite  kohe  õige  vastuse,  võib  lisatud  lahendusskeemist  leida 
midagi õpetlikku ja kasulikku järgmiste ülesannete lahendamiseks.  Tähereebustes võib kasutada kas väike- või suurtähti.  Vaatluse  all  on  kümnendsüsteemi  arvud,  mille  tähistamiseks  kasutatakse  levinud  sümboolikat. 
Näiteks,  sümbol  𝐴𝐵𝐶  tähistab  kolmekohalist  naturaalarvu,  mille  kõik  numbrid  on  erinevad              
(𝐶  üheliste  number,  𝐵 kümneliste  number,  𝐴  sajaliste  number)  ja  kõrgema  järgu  (antud  juhul 
sajaliste) number 𝐴 selles arvus on nullist erinev. Sellise arvu võib esitada ka järguühikute kordsete 
summana   𝐴𝐵𝐶 = 100𝐴 + 10𝐵 + 𝐶,  kus 100𝐴 = 100 ∙ 𝐴 ja 10𝐵 = 10 ∙ 𝐵 (edaspidi kümnendesituse korral korrutusmärki ei kasuta). 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 3    Arv  𝑎𝑏𝑏𝑐  on  neljakohaline  naturaalarv,  milles  on  kasutatud  kolme  erinevat  numbrit  𝑎, 𝑏 ja 𝑐  ning 
mille  esimene  (tuhandeliste)  number  𝑎 ≠ 0,  keskmised  (kümneliste  ja  sajaliste)  numbrid  on  aga 
võrdsed. Näiteks arvule 𝑎𝑏𝑏𝑐 võib vastata arv 2005 (sel juhul 𝑎 = 2, 𝑏 = 𝑐 = 0, 𝑐 = 5) või näiteks 
arv 9224 (𝑎 = 9, 𝑏 = 𝑐 = 2, 𝑐 = 4). Vajadusel võib selle arvu esitada ka kujul   𝑎𝑏𝑏𝑐 = 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑏 + 𝑐 = 1000𝑎 + 110𝑏 + 𝑐.  Kui olete vihiku materjaliga tutvunud, siis püüdke kõigepealt lahendada kontrolltöö ülesanded ja siis 
alustage testi tegemist.  Näiteülesanded  Näide 1. Leidke vähim ja suurim naturaalarv, mille kuju on 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎.  Lahendus.  Antud  arv  𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎  on  kuuekohaline,  kasutatud  on  kolme  erinevat  numbrit  𝑎,  𝑏  ja  𝑐, 
kusjuures 𝑎 ≠ 0.   Vähima  naturaalarvu  saamiseks  peab  kõrgeima  järgu  number  olema  võimalikest  vähim.  Seega 
𝑎 = 1, sest 𝑎 ≠ 0. Tähele 𝑏 vastava numbri valikuks on üheksa võimalust (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Et 
otsime vähimat arvu, siis 𝑏 = 0. Numbri 𝑐 valikuks jääb kaheksa võimalust (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Et 
otsitav arv oleks vähim võimalik, peab 𝑐 = 2. Seega vähim võimalik arv kujul 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎 on 100221.  Suurima  naturaalarvu  saamiseks  peab  kõrgeima  järgu  number  olema  võimalikest  suurim.  Seega 
𝑎 = 9. Numbri 𝑏 valime numbritest 0 kuni 8. Et otsime suurimat arvu, siis ilmselt 𝑏 = 8 ja samadel 
kaalutlustel saame, et 𝑐 = 7. Seega suurim võimalik kuuekohaline arv kujul 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎 on 988779.  Vastus. Vähim arv on 100221, suurim arv on 988779.  Näide 2. Leidke summa  𝑇𝐸𝑅𝐸 + 𝑇𝑈𝐿𝐸𝑀𝐴𝑆𝑇 + 𝐾𝑈𝑅𝑆𝑈𝑆𝐸𝐿𝐸  vähim võimalik väärtus.  Lahendus.  Antud  summas  on  üheksa  erinevat  tähte  𝐴,  𝐸,  𝐾,  𝐿,  𝑀,  𝑅,  𝑆,  𝑇  ja  𝑈.  Seega  ülesanne 
lahendub. Esitame summa kujul    Mida  väiksemad  on  suuremate  järkude  numbrid  liidetavates,  seda  väiksem  on  summa.  Teame,  et 
esimesed numbrid on nullist erinevad, seega  𝑇 ≠ 0 ja 𝐾 ≠ 0. Number  𝐾 kui kõige kõrgema järgu 
number liidetavates peab olema võimalikest vähim. Järelikult 𝐾 = 1.  Otsime  numbrite  𝑇  ja  𝑈  väärtused.  Kõige  väiksemad  numbrid,  mis  võivad  nendele  tähtedele 
vastata, on 0 ja 2. Et 𝑇 ≠ 0, siis 𝑈 = 0 ja 𝑇 = 2. Saame   


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 4    Järgmine kõrgema järgu number on 𝑅. Järelikult 𝑅 = 3.  On selge, et tähtedele 𝐿 ja 𝑆 vastavad suuruselt järgmised numbrid 4 ja 5. Kuna järgmine täht 𝑆 on 
kõrgemas järgus kui järgmine täht 𝐿, siis 𝑆 = 4 ja 𝐿 = 5. Saame     Analoogiliste  põhjendustega  leiame,  et  𝐸 = 6,  𝑀 = 7  ja  𝐴 = 8.  Seega  tehe  on  dekodeeritud 
nõutud tingimustel ja jääb leida summa    Vastus. Vähim võimalik summa on 123975134.  Ülesanne. Leidke summa 𝑇𝐸𝑅𝐸 + 𝑇𝑈𝐿𝐸𝑀𝐴𝑆𝑇 + 𝐾𝑈𝑅𝑆𝑈𝑆𝐸𝐿𝐸 suurim võimalik väärtus. Ülesande 
vastuse leiate vihiku lõpus.  Näide 3. Leidke numbrite 𝑇 ja 𝐾 väärtused, et kehtiks võrdus                                                  𝐾𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝑇𝐾,  mis on inspireeritud lausest „KaheTäheline Kodeeritud Tehe TeadusKoolist“.  Lahendus.  Anname  sellele  ülesandele  kaks  lahendust:  kirjaliku  liitmise  ja 
kümnendesituse abil.  I lahendus. Et arvud 𝐾𝑇 ja 𝑇𝐾 on kahekohalised, siis 𝑇 ≠ 0 ja 𝐾 ≠ 0. Esitame tehte kujul    Lähtume ühelistele vastavate numbrite summast 𝑇 + 𝐾 + 𝑇, mis lõppeb numbriga 𝐾. Kuna kolme 
numbri summa ei ületa arvu 9 ∙ 3 = 27, siis kümneliste järku viiakse mitte rohkem kui kaks ühikut. 
Järelikult  tuleb  läbi  vaadata  kolm  võimalust:  a)  𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾,  b)  𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾 + 10  ja               
c) 𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾 + 20. Uurime saadud võrrandeid.  a)  𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾  2 ∙ 𝑇 = 0  𝑇 = 0  vastuolu, sest 𝑇 ≠ 0  b)  𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾 + 10  2 ∙ 𝑇 = 10  𝑇 = 5  sobib  c)  𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 𝐾 + 20  2 ∙ 𝑇 = 20  𝑇 = 10  vastuolu, sest 𝑇 on number  Järelikult ainus sobiv võimalus on 𝑇 = 5 ja kümneliste järku viiakse üle 1 ühik. Kümneliste liitmisel 
saame nüüd 𝐾 + 1 = 𝑇, millest 𝐾 = 𝑇 − 1 = 5 − 1 = 4. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 5    Lõpuks kontrollime saadud lahendi õigsust:  vp:  𝐾𝑇 + 𝐾 + 𝑇 = 45 + 4 + 5 = 54          ja          pp:  𝑇𝐾 = 54.  II  lahendus.  Kasutame  antud  arvude  kümnendesitusi  ja  saame  antud  võrdusest  numbrite  𝐾  ja  𝑇 
suhtes võrduse. Kuna 𝐾𝑇 = 10𝐾 + 𝑇 ja 𝑇𝐾 = 10𝑇 + 𝐾, siis kehtib võrdus  (10𝐾 + 𝑇) + 𝐾 + 𝑇 = (10𝑇 + 𝐾)  10𝐾 = 8𝑇     | (: 4)  5𝐾 = 4𝑇.  Kuna  võrduse  vasak  pool  on  arvu  5  kordne  (st  jagub  5-ga),  siis  peab  ka  selle  võrduse  parem  pool 
olema arvu 5 kordne (jaguma 5-ga). Et arv 4 ei jagu arvuga 5, peab 5-ga jaguma number 𝑇. Kuna 
𝑇 ≠ 0, siis ainus võimalus, et 𝑇 = 5. Saadud võrdusest leiame ka numbri 𝐾 väärtuse  𝐾 = 4𝑇 5 = 4 ∙ 5 5 = 4.  Vastus. 𝐾 = 4, 𝑇 = 5.  Ülesanne. Leidke numbrite 𝑎 ja 𝑏 väärtused, et kehtiks võrdus  𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑎 = 𝑎𝑏.  Ülesande vastuse leiate vihiku lõpus.  Näide 4. Lahendage tähereebus   𝐴𝐶𝐶 + 𝐵𝐶𝐶 = 𝐶𝐴𝐵.  Lahendus. Paneme tähele, et kõik sajaliste numbrid on nullist erinevad, st 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 ja 𝐶 ≠ 0. 
Lahendame kahe meetodiga.  I lahendus. Lahendame kümnendesituse abil. Antud võrduse saame kujul  (100𝐴 + 10𝐶 + 𝐶) + (100𝐵 + 10𝐶 + 𝐶) = 100𝐶 + 10𝐴 + 𝐵  90𝐴 + 99𝐵 = 78𝐶     | (: 3)  30𝐴 + 33𝐵 = 26𝐶.  Märkame,  et  võrduse  vasak  pool  30𝐴 + 33𝐵 = 3(10𝐴 + 11𝐵)  jagub  arvuga  3,  seega  peab  ka 
parem pool 26𝐶 jaguma arvuga 3. Et arv 26 ei jagu 3-ga, siis peab nullist erinev number 𝐶 jaguma 
3-ga. Saame kolm võimalust: kas 𝐶 = 3, 𝐶 = 6 või 𝐶 = 9. Vaatleme neid võimalusi eraldi.  a)  Kui 𝐶 = 3, siis saame võrduse   30𝐴 + 33𝐵 = 78     | (: 3)  10𝐴 + 11𝐵 = 26.  On  selge,  et  avaldise  10𝐴 + 11𝐵  viimane  number  peab  olema  6.  Kuna  10𝐴  lõpeb  alati 
numbriga 0, siis 11𝐵 peab lõppema numbriga 6. Siit järeldub, et 𝐵 = 6, mis on võimatu, sest 
sellisel juhul 10𝐴 + 11𝐵 = 10𝐴 + 66 > 26. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 6    b) Kui 𝐶 = 6, siis saame võrduse   30𝐴 + 33𝐵 = 156     | (: 3)  10𝐴 + 11𝐵 = 52.  Kuna 10𝐴 + 11𝐵 viimane number peab ka olema 2, siis siit saame sobivad numbrid 𝐵 = 2 ja 
𝐴 = 3.  c)  Kui 𝐶 = 9, siis saame võrduse   30𝐴 + 33𝐵 = 234     | (: 3)  10𝐴 + 11𝐵 = 78.  Lähtudes taas üheliste numbrist, peaks 𝐵 = 8, mis on võimatu.  Seega  ainus  võimalus  numbrite  jaoks  on  𝐴 = 3,  𝐵 = 2  ja  𝐶 = 6,  mis  sobivad  antud  reebusesse, 
kuna 366 + 266 = 632.  II lahendus. Lahendame kirjaliku liitmise abil. Antud võrduse esitame kujul    Otsime  seoseid  numbrite  vahel.  Saame,  et    𝐶 + 𝐶 ≥ 10,  sest  vastasel  juhul  oleks  𝐴 = 𝐵,  mis  on 
lubamatu. Järelikult   o  ühelistes:  𝐶 + 𝐶 = 𝐵 + 10  (kümnelistesse viiakse üle 1 ühik);  o  kümnelistes:    𝐶 + 𝐶 + 1 = 𝐴 + 10    (ka  sajalistesse  viiakse  üle  1  ühik,  kuna  igal  juhul  10 < 𝐶 + 𝐶 + 1 < 20);  o  sajalistes:  𝐴 + 𝐵 + 1 = 𝐶.  Koostame saadud võrdustest võrrandisüsteemi -->
Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 7    Näide 5. Lahendage tähereebus                                           𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 = 𝑐𝑑𝑎𝑏.  Lahendusskeem. Lahendame kirjaliku liitmise abil.    1)  𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0. (Põhjendage!)  2)  Kuna  kahe  kolmekohalise  arvu  summa  suurim  võimalik  väärtus  on  999 + 999 = 1998,  siis  𝑐 ≤ 1, kusjuures 𝑐 ≠ 0. Seega 𝑐 = 1.  3)  Vaadates ühelisi saame, et kas 1 + 𝑑 = 𝑏 või 1 + 𝑑 = 𝑏 + 10.  Teisel juhul saame võrduse 𝑑 − 𝑏 = 9, millest järeldub, et 𝑑 = 9 ja 𝑏 = 0, mis aga on võimatu. 
(Miks?) Järelikult 1 + 𝑑 = 𝑏.  4)  Kümnelistest saame, et 𝑏 + 1 = 𝑎 või 𝑏 + 1 = 𝑎 + 10.  Teisel  juhul  saame,  et  𝑏 − 𝑎 = 9,  millest  järeldub,  et  𝑏 = 9  ja  𝑎 = 0,  mis  aga  on  võimatu. 
(Miks?) Järelikult 𝑏 + 1 = 𝑎.  5)  Sajalistest saame, et 𝑎 + 𝑏 = 𝑑 + 10.  6)  Oleme saanud kolmest võrrandist koosneva süsteemi -->
Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 8    Näide 6. Lahendage tähereebused   a)  𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑐𝑏 = 𝑐𝑏𝑎,  b)  𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑎𝑏  ja leidke puuduvad põhjendused lahendusskeemides. Neist lihtsam a) lahendage numbrite vaheliste 
seoste abil ja b) kümnendesituse abil.  Lahendusskeemid.   a) osa lahendusskeem. Esitame a) osa ülesande kujul  1)  𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0. (Põhjendage!)  2)  𝑐 + 𝑏 ≥ 10. (Põhjendage!)  3)  𝑐 + 𝑏 = 𝑎 + 10 (ühelistest). (Põhjendage!)  4)  𝑏 + 𝑐 + 1 = 𝑏 + 10 (kümnelistest), millest 𝑐 = 9. (Põhjendage!)  5)  𝑎 + 𝑎 + 1 = 𝑐 (sajalistest), millest 𝑎 = 4. (Põhjendage!)  6)  Kuna 𝑐 + 𝑏 = 𝑎 + 10, siis 𝑏 = 5. (Põhjendage!)  Kontroll. 459 + 495 = 954.  b) osa lahendusskeem.  1)  Esitame ülesande b) osas olevad arvud nende kümnendesituste abil   (100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐) + (10𝑏 + 𝑐) + (10𝑐 + 𝑐) = 100𝑏 + 10𝑎 + 𝑏,  millest saame võrduse   13𝑐 = 81𝑏 − 90𝑎,  kus 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0. (Miks?)  2)  Kuna viimase võrduse parem pool jagub arvuga 9, siis 𝑐 = 9 (Põhjendage!) ja võrdus on   117 = 81𝑏 − 90𝑎   | (: 9)  13 = 9𝑏 − 10𝑎,  millest 10𝑎 + 13 = 9𝑏.  3)  Näeme, et korrutise 9𝑏 lõpunumber peab olema 3. See saab olla võimalik vaid siis, kui 𝑏 = 7  (Põhjendage!).   4)  Leiame nüüd ka 𝑎 = 5 (Põhjendage!).  Kontroll.  579 + 79 + 99 = 757  Vastused.  a) 𝑎 = 4, 𝑏 = 5, 𝑐 = 9;  b) 𝑎 = 5, 𝑏 = 7, 𝑐 = 9.   


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 9    Järgmisena  lahendame  nimedega  seotud 
ülesandeid.  Näide 7. Lahendage tähereebus  𝐴𝐼𝑁 + 𝐴𝑁𝑁𝐴 = 𝑁𝐼𝑀𝐼.  Lahendus. Esitame antud summa kujul    Antud  tehtes  on  kodeeritud  neli  erinevat  tähte  𝐴,  𝐼,  𝑀  ja 𝑁,  kusjuures  numbrid 𝐴  ja  𝑁  on  nullist 
erinevad.  Vaatleme kõigepealt tuhandeliste numbreid. Et 𝐴 ≠ 𝑁, siis kindlasti sajaliste liitmisel tekib ülekanne 
tuhandelistesse. Järelikult kehtib seos 𝐴 + 1 = 𝑁.  Kuna  ühelistes  ja  sajalistes  on  täpselt  samad  numbrid,  siis  kümnelistest  sajalistesse  ülekannet  ei 
toimu. Järelikult sajalistest saame seose 𝑁 + 𝐴 = 𝐼 + 10.  Kümneliste numbreid arvestades saame veel ühe seose 𝑁 + 𝐼 + 1 = 𝑀.  Saadud kolmest võrrandist koostame võrrandisüsteemi -->
Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 10    Näide 8. Lahendage tähereebus (põhjendades lahendusskeemis toodud väiteid)  𝐸𝑅𝐼𝐾 + 𝑀𝐴𝑅𝐾 = 𝐸𝐼𝑁𝐴𝑅.  Lahendusskeem.  1)  Esiteks saame kindlaks määrata kahe numbri 𝐸 ja 𝐼 väärtused:  𝐸 = 1          ja          𝐼 = 0.             (Põhjendage!)  2)  Numbri 𝑀 väärtuseks sobib ainult kas number 8 või number 9. (Põhjendage!)  3)  Kümnelistest sajalistesse ülekannet ei teki, seega 𝐴 = 𝑅 + 1. (Põhjendage!)  4)  Ühelistest kümnelistesse tekib ülekanne, seega 2𝐾 = 𝑅 + 10. (Põhjendage!)  5)  Oletame, et 𝑀 = 8. Siis sajaliste kaudu saame võrduse 𝑅 + 𝐴 = 𝑁 + 10 (Põhjendage!), millest  eeltoodud seoseid kasutades avaldame numbri 𝑁 väärtuse:  𝑁 = 𝑅 + 𝐴 − 10 = 𝑅 + (𝑅 + 1) − 10 = 2𝑅 − 9 = 2(2𝐾 − 10) − 9 = 4𝐾 − 29.  Sellisel juhul 𝐾 = 9, 𝑁 = 7 ja 𝑅 = 8, mis on võimatu. (Põhjendage!)  6)  Järelikult 𝑀 = 9 ja sajaliste kaudu saame seose 𝑅 + 𝐴 = 𝑁, millest  𝑁 = 𝑅 + 𝐴 = 𝑅 + (𝑅 + 1) = 2𝑅 + 1 = 2(2𝐾 − 10) + 1 = 4𝐾 − 19.  Sellisel juhul saame, et ainsaks lahendiks on 𝐾 = 6, 𝑁 = 5, 𝑅 = 2 ja 𝐴 = 3. (Põhjendage!)  Kontroll. 1206 + 9326 = 10532  Vastus. 𝐴 = 3, 𝐸 = 1, 𝐼 = 0, 𝐾 = 6, 𝑀 = 9, 𝑁 = 5, 𝑅 = 2.  Ülesanded. Lahendage tähereebused tüdrukute nimedega (vastused leiate vihiku lõpus)  a)     𝑀𝐴𝐼 + 𝐴𝑁𝑁𝐼 = 𝑀𝐴𝐼𝐴,  b)     𝐸𝑉𝐴 + 𝐾𝐴𝐼𝐴 = 𝑃𝐼𝐿𝐿𝐸.  Eelnevad ülesanded olid kõik üheselt lahenduvad, st leidus ainult üks lahend. Leidub aga ka selliseid 
ülesandeid,  millel  võib  lahendeid  olla  rohkem  kui  üks,  või  lahend  hoopiski  puudub.  Esimesel  juhul 
juhib  ülesande  sõnastuses  sellele  tähelepanu  sõnaühend  „leidke  kõik  lahendid“,  teisel  juhul  aga 
väljend  „tõestage,  et  lahend  puudub“.  Nii  on  edaspidi  ka  selles  vihikus.  Üldiselt  aga  tähendab 
matemaatikas tekst: „lahendage ülesanne“, et tulebki leida kõik lahendid, kui neid leidub, ning pole 
välistatud, et lahend üldse puudub.   Näide 9. Tõestage, et tähereebusel  𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 = 𝑐𝑐𝑐  pole lahendit.  Lahendus. Kümnendesituses võrdusest  (10𝑎 + 𝑐) + (10𝑏 + 𝑐) + (10𝑐 + 𝑐) + (100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐) = 100𝑐 + 10𝑐 + 𝑐  saame, et peab kehtima võrdus  110𝑎 + 20𝑏 = 97𝑐,       kus   𝑎, 𝑏, 𝑐  ≠ 0. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 11    Kuna viimase võrduse vasak pool jagub arvuga 10, peab ka parem pool jaguma    10-ga. Seega peab 
number 𝑐 jaguma 10-ga, mis on 𝑐  ≠ 0 tõttu võimatu.   Järelikult  ei  leidu  ühtegi  sobivat  numbrit,  millega  saab  tähte  𝑐  asendada,  mis  tähendab,  et  antud 
reebusel lahend puudub.  Näide 10. Vastates lahendusskeemis toodud küsimustele tõestage, et tähereebusel  𝑎𝑐𝑏 + 𝑏𝑐𝑏 + 𝑏𝑏 = 𝑐𝑎𝑐  lahend puudub.  Lahendusskeem.  1)  Antud arvude kümnendesitusi kasutades jõuame võrduseni  113𝑏 = 81𝑐 − 90𝑎.          (Näidake!)  2)  Saadud võrdusest järeldub, et 𝑏 = 9. (Põhjendage!) 
3)  Järelikult peab kehtima võrdus  9𝑐 − 10𝑎 = 113.          (Näidake!)  4)  Kuna  saadud  võrdus  ei  saa  kehtida  ühegi  numbrite  paari  (𝑎, 𝑐)  korral  (Põhjendage!),  siis  olemegi tõestanud, et antud reebusel pole lahendit.  Ülesanne. Kas tähereebusel  𝑀𝐸𝐼𝐸 + 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝑀𝐸  leidub lahend?   Näide 11. Leidke tähereebuse                                                                    𝑇𝐸𝐸 + 𝐼𝑆𝐸 = 𝐼𝐿𝑈𝑆  kõik võimalikud lahendid.   Lahendus.  Antud  ülesannet  on  mugavam  lahendada  kirjaliku 
liitmise teel.    Kõikide arvude esimesed numbrid on nullist erinevad, st 𝑇 ≠ 0 ja 𝐼 ≠ 0.   Kuna  kahe  kolmekohalise  arvu  summa  ei  ületa  arvu  999 + 999 = 1998,  siis  neljakohalise  arvu 
esimene number 𝐼 ei tohi olla suurem kui 1. Järelikult numbri 𝐼 väärtuseks sobib vaid 1.    Uurime sajalisi. Sõltuvalt sellest, kas sajalistesse viiakse üle 1 ühik või mitte, saame kaks võimalust:   a)  1 + 𝑇 + 1 = 𝐿 + 10       ja      b)  𝑇 + 1 = 𝐿 + 10.  Vaatleme neid võimalusi eraldi.


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 12    a)  Esimesel  juhul  saame,  et  peab  kehtima  võrdus 𝑇 − 𝐿 = 8. Kuna 𝐿 ≠ 1, siis 𝑇 = 8 
ja 𝐿 = 0.    b) Teisel  juhul  saame,  et  peab  kehtima  võrdus  𝑇 − 𝐿 = 9,  millest  järeldame,  et 
siis 𝑇 = 9 ja 𝐿 = 0.    Märgime  nüüd,  et  mõlemal  juhul  kui  me  teaksime  numbri  𝐸  väärtust,  siis  saaksime  arvutada  nii 
numbri 𝑆 kui ka numbri 𝑈 väärtust.   a)  Numbri  𝐸  valikuks  on seitse  võimalust (2,  3,  4,  5,  6,  7  ja 9).  Neid  kõiki  kontrollides 
saame,  et  lahendiks  sobib  ainult  𝐸 = 7, 
mille korral 𝑆 = 4 ja 𝑈 = 2.  b) Numbri  𝐸  valikuks  on seitse  võimalust (2,  3,  4,  5,  6,  7  ja 8).  Neid  kõiki  kontrollides 
saame,  et  sellisel  juhul  lahendiks  sobib 
ainult 𝐸 = 2, mille korral 𝑆 = 4 ja 𝑈 = 6.  Kontroll.  877 + 147 = 1024,  922 + 142 = 1064.  Vastus. Antud reebusel on kaks lahendit:    Näide 12. Leidke tähereebuse  𝑆𝐴𝐴𝑅 + 𝐻𝐴𝐴𝐵 = 𝐾𝑈𝑈𝑆𝐾  kõik võimalikud lahendid.  Lahendusskeem.  1)  Tähele 𝐾 vastab number 1. (Põhjendage!)  2)  Ühelistest saame, et 𝑅 + 𝐵 = 11. (Põhjendage!)  3)  Ühelistest kümnelistesse tekib ülekanne, seega kümnelistest  sajalistesse ülekannet ei teki. (Põhjendage!)  4)  Kümnelistest ja sajalistest järeldame võrdused  2𝐴 + 1 = 𝑆  ja  2𝐴 = 𝑈. (Põhjendage!)  5)  Tuhandelistest järeldame viimase seose  𝑆 + 𝐻 = 𝑈 + 10. (Põhjendage!)  6)  Kasutades tuletatud seoseid leiame, et ainsaks sobivaks võimaluseks on 𝐻 = 9, 𝐴 = 2, 𝑈 = 4  ja 𝑆 = 5. (Põhjendage!)  7)  Numbrite 𝑅 ja 𝐵 väärtuste määramiseks on nüüd kaks võimalust: kas 𝑅 = 3 ja 𝐵 = 8 või 𝑅 = 8  ja 𝐵 = 3.  Kontroll.  5223 + 9228 = 14451,  5228 + 9223 = 14451.  Vastus. Antud reebusel on kaks lahendit:    Ülesanne. Leidke tähereebuse  𝑃𝐼𝐼𝑀 + 𝑅𝐼𝐼𝑆 = 𝑃𝑈𝐷𝐸𝑅  kõik võimalikud lahendid. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 13    Kaks viimast näiteülesannet on võrreldes eelmistega natuke keerulisemad. Uurige hoolikalt järgmise 
ülesande  täislahendust  ja  seejärel  leidke  viimase  ülesande  lahendusskeemis  puuduvad 
põhjendused.  Näide  13.  Järgmine  reebus  on  inspireeritud  tõdemusest,  et  enne 
pangalaenu võtmist tuleb hoolikalt oma otsust kaaluda. Leidke tähereebuse                                              𝑃𝐴𝑁𝐾 + 𝐿𝐴𝐸𝑁 = 𝐾𝐴𝐴𝐿𝑈  kõik võimalikud lahendid.   Lahendus. Lahendamisel on abiks järgmine joonis.     Kõikide arvude esimesed numbrid on nullist erinevad, st 𝑃, 𝐿, 𝐾 ≠ 0. Kuna kahe neljakohalise arvu 
summa ei ületa arvu 19998, siis 𝐾 ≤ 1. Arvestades tingimust 𝐾 ≠ 0, saame, et 𝐾 = 1.  Sajalistest saame neli võimalust sõltuvalt sellest, kas sajalistesse ja tuhandelistesse viiakse üle 1 ühik 
või mitte: a) 𝐴 + 𝐴 = 𝐴; b) 𝐴 + 𝐴 = 10 + 𝐴; c) 𝐴 + 𝐴 + 1 = 𝐴; d) 𝐴 + 𝐴 + 1 = 10 + 𝐴.  a)  esimesel juhul 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 saame, et 𝐴 = 0;  b)  teisel  juhul  𝐴 + 𝐴 = 10 + 𝐴  saame,  et  𝐴 = 10,  mis  on  võimatu,  kuna  𝐴  peab  olema  number;  c)  kolmandal juhul 𝐴 + 𝐴 + 1 = 𝐴 saame, et 𝐴 = −1, mis on ilmselt võimatu;  d)  neljandal juhul 𝐴 + 𝐴 + 1 = 10 + 𝐴 saame, et 𝐴 = 9.  Järelikult numbri 𝐴 väärtuseks on kas 0 või 9. Järgnevalt näitame, et 𝐴 ≠ 9.  Juhul  𝐴 = 9  saame  tuhandeliste  põhjal,  et  𝑃 + 𝐿 + 1 = 19  ehk  𝑃 + 𝐿 = 18,  millest  𝑃 = 𝐿 = 9 
(vastuolu tingimusega, et erinevatele tähtedele vastavad erinevad numbrid). Järelikult 𝐴 = 0.       Tuhandeliste põhjal saame nüüd, et 𝑃 + 𝐿 = 10, kus 𝑃 ja 𝐿 võimalikud väärtused on 2 kuni 8. Lisaks 
märgime, et 𝑁 ≤ 8, muidu vastasel juhul 𝑁 = 9 ja 𝑈 = 0, mis on võimatu, kuna 𝐴 = 0. Teisisõnu, 
kümnelistesse  ühikuid  üle  ei  viida.  Ka  kümnelistest  sajalistesse  ülekannet  ei  toimu.  Seega 
𝑁 + 𝐸 = 𝐿. Järelikult numbri 𝐿 vähim võimalik väärtus on 2 + 3 = 5, st 𝐿 ≥ 5.   Seega võrduse 𝑃 + 𝐿 = 10 põhjal tuleb läbi vaadata kolm võimalust:   a)  𝐿 = 6, 𝑃 = 4;      b)  𝐿 = 7, 𝑃 = 3;       c)  𝐿 = 8, 𝑃 = 2.  Uurime neid võimalusi eraldi. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 14    a)  Kui  𝐿 = 6  ja 𝑃 = 4,  siis  numbrite  𝑁,  𝐸  ja  𝑈  võimalikeks  väärtusteks  sobivad vaid numbrid 2, 3, 5, 7, 8 ja 9, kusjuures peavad kehtima seosed  1 + 𝑁 = 𝑈         ja         𝑁 + 𝐸 = 6.  Olemasolevate  numbrite  hulgast  pole  võimalik  saada  kahte  numbrit,  mille  summa  oleks  6. 
Järelikult sellisel juhul lahendit pole.  b)  Kui  𝐿 = 7  ja 𝑃 = 3,  siis  numbrite  𝑁,  𝐸  ja  𝑈  võimalikeks  väärtusteks  sobivad vaid numbrid 2, 4, 5, 6, 8 ja 9, kusjuures peavad kehtima seosed  1 + 𝑁 = 𝑈         ja         𝑁 + 𝐸 = 7.  Olemasolevaid numbreid arvestades saame, et kas 𝑁 = 2 ja 𝐸 = 5 (sellisel juhul 𝑈 = 3, mis 
on võimatu) või 𝑁 = 5 ja 𝐸 = 2 (sellisel juhul 𝑈 = 6, mis sobib lahendiks).   c)  Kui  𝐿 = 8  ja 𝑃 = 2,  siis  numbrite  𝑁,  𝐸  ja  𝑈  võimalikeks  väärtusteks  sobivad vaid numbrid 3, 4, 5, 6, 7 ja 9, kusjuures peavad kehtima seosed  1 + 𝑁 = 𝑈         ja         𝑁 + 𝐸 = 8.  Olemasolevaid numbreid arvestades saame, et kas 𝑁 = 3 ja 𝐸 = 5 (sellisel juhul 𝑈 = 4, mis 
sobib lahendiks) või 𝑁 = 5 ja 𝐸 = 3 (sellisel juhul 𝑈 = 6, mis sobib lahendiks).  Kokku oleme saanud kolm lahendit.  Kontroll.  3051 + 7025 = 10076,  2031 + 8053 = 10084,  2051 + 8035 = 10086.  Vastus. Antud tähereebusel on kolm lahendit:    Näide  14.  Viini  valsi  üheks  arendajaks  oli  Strausside  kõrval  ka  Viini  helilooja 
Joseph Lanner. Lahendage reebus                                      𝑉𝐼𝐼𝑁𝐼 + 𝑉𝐴𝐿𝑆𝑆 = 𝐿𝐴𝑁𝑁𝐸𝑅  ja leidke puuduvad põhjendused.  Lahendusskeem.   1)  Põhjendage, et 𝐿 = 1.  2)  Põhjendage, et tähele 𝐴 vastab kas number 0 või number 2.  3)  Näidake, et 𝐴 ≠ 0 ja seega 𝐴 = 2.  4)  Põhjendage, et 𝑉 = 6.  5)  Järeldage seos 𝐼 + 2 = 𝑁.  6)  Näidake, et numbrite 𝐸 ja 𝑅 jaoks kehtib kas seos 𝐸 + 8 = 𝑅 või seos 𝑅 + 3 = 𝐸. 


Täiendavaid teemasid koolimatemaatikale I    TÜ Teaduskool                        lk 15    7)  Põhjendage, et seos 𝑅 + 3 = 𝐸 on võimatu.  8)  Seosest 𝐸 + 8 = 𝑅 järeldage numbrite 𝐸 ja 𝑅 väärtused.  9)  Leidke teiste numbrite 𝐼, 𝑁 ja 𝑆 väärtused.  10)  Kontrollige vastust.    Soovitatavad allikad  Kaasik, Ü. Lihtsaid ja keerulisi. „Valgus“, Tln, 1970.  Kaasik, Ü. Lihtsaid ja keerulisi II. „Valgus“, Tln, 1975.  Tõnu Tõnso krüptoaritmeetika veebileht, http://www.mathema.ee/Kryptoaritmeetika/  Inglisekeelne krüptoaritmeetika veebileht, http://www.cryptarithmania.com/words.html    Ülesannete vastused    Dudeney reebuse  𝑆𝐸𝑁𝐷 + 𝑀𝑂𝑅𝐸 = 𝑀𝑂𝑁𝐸𝑌  vastus on  9567 + 1085 = 10652.    Reebuse  𝑆𝐴𝐴𝐷𝐴 + 𝑉𝐸𝐸𝐿 = 𝑃𝐴𝑃𝑃𝐼  vastus on  35565 + 9882 = 45447.    Summa  𝑇𝐸𝑅𝐸 + 𝑇𝑈𝐿𝐸𝑀𝐴𝑆𝑇 + 𝐾𝑈𝑅𝑆𝑈𝑆𝐸𝐿𝐸  suurim võimalik väärtus on  1065024863.    Reebuse  𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑎 = 𝑎𝑏  lahendiks on  𝑎 = 9  ja  𝑏 = 7.    Tähereebuse  𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑎𝑐 = 𝑑𝑐𝑑𝑏  vastus on  742 + 472 = 1214.    Reebuse  𝑀𝐴𝐼 + 𝐴𝑁𝑁𝐼 = 𝑀𝐴𝐼𝐴  vastuseks on  𝐴 = 4,  𝐼 = 2,  𝑀 = 5  ja  𝑁 = 8.     Reebuse  𝐸𝑉𝐴 + 𝐾𝐴𝐼𝐴 = 𝑃𝐼𝐿𝐿𝐸  vastus on  𝐴 = 8,  𝐸 = 6,  𝐼 = 0,  𝐾 = 9,  𝐿 = 4,  𝑃 = 1  ja   𝑉 = 3.    Tähereebusel  𝑀𝐸𝐼𝐸 + 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝑀𝐸  vastus  puudub,  sest  kasutades  antud  arvude  kümnendesitusi jõuame võrduseni  900𝑀 + 10𝐼 + 𝐴 = 800𝐸, millest järeldub, et  𝐴 = 0. Siis 
peab kehtima võrdus  90𝑀 + 𝐼 = 80𝐸, millest omakorda järeldub, et  𝐼 = 0, mis on võimatu.    Tähereebusel  𝑃𝐼𝐼𝑀 + 𝑅𝐼𝐼𝑆 = 𝑃𝑈𝐷𝐸𝑅  on kaks vastust: