vastava statistilise testi statistiku, valimi suuruse ja usaldustenosusega (niteks: Wilcoxoni test; Z12 = 2,45; p = 0,045) vi viidata tabelile vi joonisele, kus vastavad arvud kirjas. Joonised ja tabelid olgu selged ja phjalikud, kik kasutatud smbolid ja lhendid olgu lahti seletatud joonisel vi selle allkirjas ning tabeli all vi pealkirjas. Graafiku telgede thendus olgu sinna kirjutatud koos vastavate mthikutega. Joonised olgu varustatud allkirjaga, tabelid pealkirjaga. Kehtigu jooniste ja tabelite tekstist sltumatuse printsiip: need peavad ldiselt arusaadavad olema ka ilma, et teksti peaks lugema. Samas peavad kik phitulemused olema lhidalt ja arusaadavalt olema ra toodud ka tulemuste osa tekstis. Joonistel/tabelites esitatud detaile, arve ega vea hinnanguid tekstis ei korrata. Joonised ja tabelid on nummerdatud eraldi. Iga joonis paigutatakse selle tekstiosa jrele, kus teda esmakordselt mainitakse. Tulemustes ei kirjutata millestki muust, kui ainult konkreetsetest
Puu servade arv: igal n-tipulisel puul on n-1 serva o Tõestus 1: Kui -tipulisel graafil on vähem kui - 1 serva, siis see graaf on mittesidus (sidususteoreem) Igas graafis, milles on servi vähemalt sama palju kui tippe, leidub tsükkel o Tõestus 2: Induktsiooniga tippude arvu järgi Baas: kui n=1, siis väide kehtib. Ühetipulisel puul on 0 serva Samm: kehtigu väide kõikide puude korral, millel on k tippu. Vaatleme mingit k+1 tipuga puud. Kustutame ühe lehe koos temaga intsidentse servaga. Järele jääb k-tipuline puu, tema servade arv on induktsiooni eelduse põhjal k-1. Seega on esialgse graafi servade arv k. Tarvilikud ja piisavad tingimused, et graaf G oleks puu: o G on sidus, kuid ükskõik millise serva kustutamisel muutub mittesidusaks
ainult muutujaid A ja B sisaldavate valemite hulk. Selgitasime välja, et hulk X jaguneb 16 ekvivalentsiklassiks. c. Teoreem hulga jaotumisest ekvivalentsiklassideks: Kui R on hulgal X defineeritud ekvivalentsirelatsioon, siis kehtib: i. Kui kehtib xRy, siis [x]R = [y]R, ii. Kui xRy ei kehti, siis [x]R [y]R = , iii. Ekvivalentsiklasside ühend on hulk X. Tõestus. 1) Kehtigu xRy. Vastavate ekvivalentsiklasside võrduse näitamiseks näitame, et kumbki on teise alamhulk. Olgu z [x]R. Näitame, et siis ka z [y]R. Ekvivalentsiklassi definitsioonist saame z kohta xRz. Relatsiooni R sümmeetrilisuse tõttu saame väite 1) eeldusest yRx. Relatsioon R transitiivsus annab nüüd yRz, seega z [y]R. Analoogiliselt saab tõestada vastupidise kuulumise.
kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat jada nimetatakse hajuvaks. Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (x n), kus xn = a iga n ∈ N korral, 1/x Hajuv jada: , Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3) Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus) lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b Vaja näidata, et a = b a – b = 0 [Fakt Iga ε > 0 |x| < ε x = 0] Näitame, et iga ε > 0 |a - b| < ε Fikseerime ε > 0 Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N1 : Iga n (n ≥ N1 => xn = |xn – a | < ε/2) Kuna lim xn = b, siis (võttes (*) e = ε/2) ∃ N2 : Iga n (n ≥ N2 => xn = |xn – b | < ε/2) Nüüd |a - b| = |a – xn + xn - b| ≤ |-(xn - a)| + |xn - b| = |xn - a| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 =ε
Otto ringprotsess, väikseim kasutegur aga Dieseli ringprotsessil. Võrrelda sisepõlemismootorite ringprotsesse võrdse surveastme juures ei ole siiski õige, sest diiselmootori surveaste on tunduvalt kõrgem kui kütuse isohoorse põlemisega ottomootoril. eeltingimuseks gaasi võrdse temperatuuri pärast soojuse viimist protsessi (põlemisprotsessi lõpul), ringprotsesside surveaste on aga erinev. Sel juhul on punkt 3 joonisel ühine. Kehtigu ka siin eeldus, et kõigist ringprotsessidest lahkub väliskeskkonda võrdne soojushulk q2.Võrdlus näitab, et nüüd on suurim termiline kasutegur diiselmootoril, madalaim aga ottomootoril. 27. soojuse transformatsioon Soojustransformatsiooniks nimetatakse soojuse ülekandumist madalama temperatuuriga kehalt kõrgema temperatuuriga kehale. . Nende töö põhineb pöördringprotsessidel. Viimastest kõige täiuslikum on Carnot’ pöördringprotsess
Egiptusest. 5.9. raamat Kreeka-Pärsia sõdadest. Hist. 1.1: teos on kirjutatud selleks, et ,,aja jooksul ei tuhmuks mälestuses inimeste teod ega jääks kuulsusetult unustusse suured ja imetlusväärsed vägiteod, mida on korda saatnud niihästi hellenid kui barbarid, eriti aga põhjus, miks nad sõdisid teineteisega." Hist. 7.152: ,,Ma pean rääkima asju, mida räägitakse, aga ma ei pea neid sugugi uskuma (ja see kehtigu kogu mu teose kohta)" 37. Millist ajaperioodi ja geograafilist piirkonda hõlmab Herodotose ,,Historiai"? Keskmes Euroopa-Aasia konfikt: idapoolsete impeeriumide ekspansioon (esmalt Lüüdia, seejärel Pärsia) 5. sajandil eKr. Loo haripunktiks on Kreeka-Pärsia sõda (5. saj lõpp eKr). 38. Miks on nimetatud Herodotost nii ajaloo isaks kui ka valede isaks? Ta liialdas sündmuste kirjeldamisel ja lisas sinna tihti väljamõeldud fakte, samuti on
absoluutselt. See tulemus on aga vastuolus meie eeldusega. Lause: Fourier’ rida saab keskmiselt koonduda ainult üheks funktsiooniks. Tõestus: Kehtigu vastuväiteliselt mingi Rea ∑∞ ∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 umberjärjestuseks nimetatakse rida ∑𝑘=1 𝑎𝑛 𝑘 = 𝑎𝑛 1 + 𝑎𝑛 2 + . . . + 𝑎𝑛 𝑘 + . . . Lause: (Dirichlet teoreem)
o Teoreem . Igal n-tipulisel puul on n - 1 serva. o Tõestus. Üldisest teooriast graafide kohta teame: • Kui n-tipulisel graafil on vähem kui n - 1 serva, siis see graaf on mittesidus. • Igas graafis, milles on servi vähemalt sama palju kui tippe, leidub tsükkel. o Teoreem. Igal n-tipulisel puul on n - 1 serva. • Baas. Kui n = 1, siis väide kehtib. Ühetipulisel puul on 0 serva. • Samm. Kehtigu väide kõikide puude korral, millel on k tippu. Vaatleme mingit k + 1 tipuga puud. • Kustutame ühe lehe (miks alati leidub?) koos temaga intsidentse servaga. • Järele jääb k-tipuline puu (miks puu?), tema servade arv on induktsiooni eelduse põhjal k - 1. Seega on esialgse graafi servade arv k. • Järeldus. Tõestuses kirjeldatud sammude abil (lehte koos temaga intsidentse
mälestuses inimeste teod ega jääks kuulsusetult unustusse suured ja imetlusväärsed vägiteod, mida on korda saatnud niihästi hellenid kui barbarid, eriti aga põhjus, miks nad sõdisid teineteisega." Palju kõrvalepõikeid: oraaklitekstid, õpetlikud lood, imelood, pühenduslood, kohalikud tavad ja kombed (Egiptus!) NB! Hist. 7.152: ,,Ma pean rääkima asju, mida räägitakse, aga ma ei pea neid sugugi uskuma (ja see kehtigu kogu mu teose kohta) 38. Millist ajaperioodi ja geograafilist piirkonda hõlmab Thukydidese ajalooteos? Peloponnesose sõja kirjeldus selle algusest kuni 411. aastani (sõja 21. aasta) Kronoloogiline esitus, jaotatud suvedeks ja talvedeks Teos katkeb järsult keset lõiku (põhjus ei ole teada, sest ta elas kindlasti sõja lõpuni 404) Autori poolt loodud ,,objektiivsus" (faktid on selged ning vajavad vaid kirjapanemist)
siis bi > a2i−1 a2i a1 + a2 + . . . + a2n b1 + b2 + . . . + bn p √ = > n b1 · b2 · . . . · bn > 2n a1 · a2 · . . . · a2n 2n n (kontrollida!)z. Niisiis, väide P 2k+1 kehtib. (II) Näitame, et väitest P (n) järeldub suvalise n ∈ N korral P (n − 1). Kehtigu väide P (n) ja olgu a1 , . . . , an−1 mittenegatiivsed arvud. Tähistame c1 := a1 , c2 := a2 , . . . , cn−1 := an−1 , cn := a1 +...+an−1 n−1 , eelduse P (n) järgi c1 + c2 + . . . + cn √
rida saab keskmiselt koonduda ainult üheks funktsiooniks. Tõestus: Kehtigu vastuväiteliselt mingi ortonormaalse süsteemi 1 ∞ ∞ 𝑓(𝑥)~ ∑𝑘𝜖𝑍 ∫−∞ 𝑒 𝑖𝜔𝑘 ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡𝑑𝜔
ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
Seepärast olgu nii palju kaaslust kui vajalik- mitte inimeste pärast, vaid jumalate tõttu. Jumalad sunnivad teile peale kaasluse. Nad sunnivad teid sedavõrd, kuivõrd kaaslus on vajalik. Mis üle selle, on juba kurjast. Las üks allub kaasluses teisele, sest nõnda jääb kaaslus püsima, sest teil on vajadus selle järele. Las üksiolekus üks asetab end teisest kõrgemale, et igaks jääks iseendaks ja väldiks orjastumist. Kaasluses kehtigu kasinus. Üksiolekus kehtigu pillamine. Kaaslus on sügavus. Üksiolek on kõrgus. Kaasluses õige mõõt puhastab ja säilitab. Üksiolekus õige mõõt puhastab ja täiendab. Kaaslus kingib meile soojust. Üksiolek annab meile valgust. Sermo VI Ihulisuse deemon tungib meie hinge nagu madu. Ta on poolenisti inimhing ja teda kutsutakse soovunelmaks. Vaimsuse deemon laskub meie hingesse nagu valge lind. Ta on poolenisti inimhing ja teda kutsutakse unelmsooviks.
positiivset laengut, järelikult on vektor E suunatud käesolevas näites vardast risti eemale. Teiseks, kui punkt P liigub nii, et tema kaugus vardast ei muutu, s.t. r const , siis väljatugevus ei tohi muutuda, vastasel korral oleks sümmeetria rikutud. Seda arvesse võttes kujundame varda ümber silindri raadiusega r, nii et punkt P asub selle silindri pinnal ja silindri telg ühtib vardaga. Silindri pikkus olgu l. Kehtigu l r . Silindrisse jääv kogulaeng on vastavalt laengu joontiheduse definitsioonile 16 q l . (10.21) Arvutame nüüd elektrivälja tugevuse vektori summaarse voo läbi silindri välispinna. See võrdub silindri mõlemat põhja ja silindri külgpinda läbivate voogude summaga:
annaabi.ee 
