pikki radiaalset, silindri teljega risti olevat sirget, väljatugevuse suurus võib oleneda ainult silindri telje kaugusest r. Kujutleme laetud pinnaga koaksiaalset kinnist silindrilist pinda raadiusega r ja kõrgusega h. Selle silindri põhjade jaoks En=0, külgpinna jaoks En = E(r). Järelikult E- joonte voog läbi kinnise pinna on E( r)2rh. o Kui r>R, siis siis satub pinna sisemusse laeng q=h, kus on joontihedus. Gaussi teoreemi kasutades, saame , millest . o Kui r < R, siis vaadeldav kinnine pind laenguid ei sisalda, E ( r)=0. Lõpmata pika laetud silindrilise pinna sisemuses väli puudub. Väljatugevus väljaspool pinda on määratud üksnes laengu joontihedusega ja kaugusega silindri teljest r. Negatiivselt laetud silindri väli erineb positiivselt laetud silindri väljast ainult vektori E suuna poolest. · Laetud sfäärilise pinna väli.
Punktlaengute süsteemi 4 0 r 2 r elektrivälja tugevus on võrdne üksikute laengute elektrivälja tugevuste vektorsummaga r r (superpositsiooni printsiip): E = Ei . i Laengute pideva jaotuse korral kasutatakse laengutiheduse mõistet: ruumtihedus dq dq dq = , pindtihedus = , joontihedus = . Kui laeng on jaotunud ruumiosas V dV dS dl r r r 1 r dV tihedusega , siis kohavektoriga r määratud punktis on E = . 4 0 V r 3 r
14. I liiki ja II liiki joonintegraali rakendusi: joone pikkus, mass ja masskese, silinderpinna pindala, parameetrilisel kujul antud tasandilise kujundi pindala, muutuva jõu poolt tehtud töö näiteid Joone pikkus: kui xyz-ruumis antud joon AB on sirgestuv, siis avaldub tema pikkus sAB valemiga sAB =ʃABds. Silinderpinna pindala: I joonintegraali geomeetriline tõlgendus: sABCD =ʃABf(x,y)ds Joone mass: Kui joone AB joontihedus p=p(x,y,z) on pidev funktsioon, siis joone mass mAB=ʃABp(x,y,z)ds Joone masskese: C(xC,yC,zC) xC=(1/mAB)ʃABxp(x,y,z)ds yC=(1/mAB)ʃAByp(x,y,z)ds zC=(1/mAB)ʃABzp(x,y,z)ds Tasandilise kujundi pindala: Kui piirkond D on märgitud joonega L, mis antud võrrnditega x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga
karakteristikuks 1 q Punktlaengu elektriväljatugevus - E = e 4 r 2 n Punktlaengute süsteemi elektriväljatugevus - E = i =1 E i - superpositsiooni printsiip dq dq dq Ruumtihedus - = ; pindtihedus - = ; joontihedus - = dV dS dl 1 r dV E= 4 V r 3 Vektori E voog arvuliselt võrdne välja joonte arvuga läbi selle pinna = ES Elementaarvoog d = EdS cos 1.4. Gaussi teoreem 1 1
Silinderpinna pindala. Olgu funktsioon z=f(x,y)0 pidev xy-tasandil asetseval joonel AB. Vertikaalse silinderpinna pindala avaldub valemiga . Joone mass. Kui joonel AB funktsioon z=f(x,y,z)0, siis on funktsioon z=f(x,y,z) tõlgendatav aine joontihedusena punktis P(x;y;z). Sellisel juhul korrutis on ligikaudu k-nda osakaare mass. Ligikaudu sellepärast, et tihedus f(x,y;z) on osakaarel muutuv suurus, siin aga on joontihedus osakaarel loetud võrdseks joontihedusega ühes osakaarel välja valitud punktis . Integraalsumma tähendab sel juhul joone AB ligikaudset massi ja see summa iseloomustab joone massi seda täpsemalt, mida lühemad on osakaared ehk mida suuremaks hulgaks osakaarteks on joon AB jaotatud. Esimest liiki joonintegraal annab meile funktsiooni f(x;y;z) mainitud tõlgenduse korral joone AB täpse massi. 9
E ∙ ⃗S =⃗ E ∙ ⃗S ∙ cosα dΦ=E ∙ dS ∙ cosα ❑ ❑ Φ=∫ dΦ=∫ E ∙ dS= E∙ S S S Gaussi teoreem: elektrivälja voog läbi kinnise pinna on võrdeline pinna sees olevate laengutega. 42. Mida näitavad laengute joon-, pind- ja ruumtihedus. Lähtudes Gaussi teoreemist tuletada lõpmatu laetud tasandi elektriväli. q Joontihedus: λ= l q Pindtihedus: σ = S q Ruumtihedus: ρ= V Näitavad laengute tihedust ühtlase paiknemise korral. q dq σ = dΦ=2 E ∙ l∙ S= S ε ε0 dq σ E= = 2 dS ∙ ε ε 0 2 ε ε 0 43. Mis on dipool
t = t . Hetkkiirenduse saame j¨allegi piirprotsessis t 0: v(t + t) - v(t) a(t) = lim = v (t). t0 t Varda joontihedus. Olgu vaatluse all varras (v~ oi mingi muu suhteliselt u¨hem~o~otmeline ma- teriaalne keha) pikkusega l. Paiknegu varras x-telje kohal punktide 0 ja l vahel (vt juuresolev joonis). l G 0 x x+x l Joontiheduse all m~ oeldakse massi suhet pikkusesse
t = t . Hetkkiirenduse saame j¨allegi piirprotsessis t 0: v(t + t) - v(t) a(t) = lim = v (t). t0 t Varda joontihedus. Olgu vaatluse all varras (v~ oi mingi muu suhteliselt u¨ hem~ o~otmeline ma- teriaalne keha) pikkusega l. Paiknegu varras x-telje kohal punktide 0 ja l vahel (vt juuresolev joonis). l G 0 x x+x l Joontiheduse all m~
S 2 2 a cot s a sin t a cos t dt 2a 2 2 cot tdt 2a 2 sin t 2 0 2a 2 0 0 2.1.3.3 Joone mass. Kui joone AB joontihedus p p x, y, z on pidev funktsioon, siis selle joone mass m AB leitakse valemist m AB p x, y, z ds AB 2.1.3.4 Joone masskese. Eelmise punkti joone masskeskme C x C , y C , z C saame leida valemitest 1 1 1 xC m AB xp x, y, z ds yC m AB yp x, y, z ds zC m AB zp x, y, z ds.
2,417639000 12,088200000 2,417639000 2,417970000 12,089850000 2,417970000 2,418301000 12,091500000 2,418301000 2,418632000 12,093160000 2,418632000 27,9 24,33 3,57 25,8 25,8 Villa tihedus (kg/m³) 1310 21,9 21,9 18,8 18,8 Kinnituste vahe(mm) 20 28,9 28,9 22,5 22,5 28,5 28,5 28,1 28,1 25 25 15,9 15,9 Joontihedus dtex 1 22,2 2 22,2 3 22,2 4 22,2 5 22,2 6 23,3 7 23,3
18) paremale poole, silindris sisalduva laengu avaldise (10.21) sama valemi vasakule poole. Tulemuseks on 2rlE l / 0 , millest avaldamegi lõpmata pika, ühtlaselt laetud sirge varda elektrivälja tugevuse kujul E , (10.24) 2 0 r kus r on kaugus vardast ja selle varda laengu joontihedus. Kordame veel, et reaalse, s.t. lõpliku pikkusega varda jaoks on valem ligikaudne ja teda võib kasutada vaid siis, kui 1) kaugus r on palju väiksem varda pikkusest, 2) ruumipunkt, milles elektrivälja tugevust määratakse, ei asu varda otsa läheduses. 10.8d Gaussi teoreemi teine rakendus: lõpmata suure, ühtlaselt laetud tasandi poolt tekitatud elektriväli Käesolevas näites arvutame Gaussi teoreemi kasutades niisuguse elektrivälja tugevuse,
2 Loomulikult j¨a¨avad kehtima ka k~oik viis loetletud esimest liiki jooninteg- raali omadust. Kui joonel AB funktsioon f (x, y, z) 0, siis on funktsioon f (x, y, z) t~olgendatav aine joontihedusena punktis P (x, y, z). Sellisel juhul korrutis f (Qk )sk on ligikaudu k-nda osakaare mass. Ligikaudu sellep¨arast, et tihe- dus f (x, y, z) on osakaarel muutuv suurus, siin aga on joontihedus osakaarel loetud v~ordseks joontihedusega u ¨hes osakaarel v¨alja valitud punktis Qk . Integraalsumma (7.1) t¨ahendab sel juhul joone AB ligikaudset massi ja see summa iseloomustab joone massi seda t¨apsemalt, mida l¨ uhemad on osakaared ehk mida suuremaks hulgaks osakaarteks on joon AB jaotatud. Esimest liiki joonintegraal (7.2)annab meile funktsiooni f (x, y, z) mainitud t~olgenduse korral joone AB t¨apse massi. 7.2 Esimest liiki joonintegraali arvutamine
annaabi.ee 
