f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. Asendusvõte. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni
kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi
ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil - LIISI KINK 13 MATEMAATILINE ANALÜÜS I koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad -telje sihilise paralleellükke abil. 27) Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 5 4, kuna 4 1 ' 6,7 ' 6,7 '6 2. 5 ( 4, kus 1, kuna : ; 1 (
algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C. Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C
f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Geomeetriline sisu Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib ka tõlgendada kui üheste funtksioonide parve y = F(x) + C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonide parve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, millel jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 30. Integraalide tabel 31. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks Vaatleme määramata integraali (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
ja vektori leitakse üheselt . Üldlahendiks saame: (17.18) 18. Autonoomsed võrrandisüsteemid ja nende iseärased punktid. Def 18.1 Normaalkujul esitatud võrrandisüsteem ( tuletised on avaldatud funktsioonide kaudu) on autonoomne kui võrrandite paremad pooled ei sisalda sõltumatut muutujat t. (18.1) Süsteemi (18.1) üldlahendiks on funktsioonide parv: kus C1 ja C2 on suvalised konstandid. Seega on süsteemi (18.1) üldlahendiks kaheparameetriline joonte parv xy- tasandil. Joonteparve kvalitatiivne käitumine on määratud x ja y käitumisega t kasvades. Def 18.2 n-järku dif.võr faasiruumiks nim n-mõõtmelist ruumi, mille punktid on määratud funktsiooni ja tema tuletisega. Kui võrrand kirjeldab mingit süsteemi, siis lahendi punkt faasiruumis kirjeldab süsteemi olekut muutuja x teatud väärtuse korral. Muutuja x kasvamise korral moodustavad punktid faasijoone ehk trajektoori või orbiidi. Def 18.2' n-esimest järku dif.võr süsteemi
määramata integraaliks ja tähistatakse Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy- koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused( sh omadus 3 koos tõestusega). a. Integraalide tabel a.1. a.2. =+1+1+, -1 a.3. a.4. a.5. a.6. a.7. a.8. a.9. a.10
F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide u¨ldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C.
d. Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e e. Geomeetriline sisu: Määramata integraal ei ole ühene funktsioon - tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükke abil. 12. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega) a. Määramata integraali omadused: b. 3. omaduse tõestus: b.i. Kasutades leiame seose = 13. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldmisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks. a
Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 34. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Määramata integraali omadused: 1. 2. 3. Tõestus Kasutades leiame seose 35. Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2
määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx f ( x ) dx=F ( x ) +C Iga x korral on määramata integraalil palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitad konstandist C. Teisest küljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y=F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax =ln |x|+C 4. a x dx = +C , kus a> 0, a 1 5. sinxdx=-cosx+C x lna dx dx 6
Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ʃf(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ʃ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil 34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10
integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant . Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest k.uljest võib määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil (joonis 5.1). 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C) = 1. 2. x^a dx = {(x^a +1)/ a+1} + C, kus a = -1, kuna ({x^a+1/ a+1 }+ C) = (a + 1) *(x^a)/(a+1) = x^a. 3. dx/x = ln |x| + C. 4. a^x dx = {a^x/ ln a} + C , kus a > 0, a = 1, kuna ({a^x/ ln a} + C) ={ a^x/ ln a}* ln a = ax. Erijuht: exdx = ex + C. 5. sin xdx = -cos x + C. 6. cos xdx = sin x + C. 7. dx/Cos^2 x = tan x + C. 8
aramata integraal ei ole u ¨hene funktsioon. Iga x korral on tal l~opmatult palju erinevaid v¨a¨ artusi, mis s~oltuvad valitud konstandist C. Teisest k¨uljest v~oib m¨a¨ aramata integraali t~olgendada kui u ¨heste funktsioonide parve y = F (x) + C, kus konstandi C igale v¨a¨artusele vastab u ¨ks u ¨hene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u ¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleell¨ ukke abil (joonis 5.1). yy y = F (x) + C y = F (x) + 1 y = F (x) y = F (x) - 2 1-
Iga x korral on tal l~opmatult palju erinevaid v¨a¨artusi, mis s~oltuvad valitud konstandist C. Teisest k¨ uljest v~oib m¨a¨aramata integraali t~olgendada kui u ¨heste funktsioonide parve y = F (x) + C, kus konstandi C igale v¨a¨artusele vastab u ¨ks u ¨hene funktsioon. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u ¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleell¨ ukke abil (joonis 5.1). yy y = F (x) + C y = F (x) + 1 y = F (x) y = F (x) - 2 1-
annaabi.ee 
