Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne.................................
Järelikult integraal üle piirkonna D väljendab ruumalade vahet. Tasandilise piirkonna pindala arvutamine. Koostades funktsiooni f(x,y)1 integraalsumma üle piirkonna D, saame summa, mis piirkonna iga jaotusviisi puhul võrdub selle pindalaga S: Minnes võrduse paremal poolel piirile, saame: Kui piirkond D on regulaarne, siis pindala avaldub kaksikintegraaliga Sulgudes oleva integraali arvutamisel leiame, et 4. Muutuja vahetus kahekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning valem (21.4) (valemi tuletamist pole vaja); kahekordne integraal polaarkoordinaatides (muutujavahetus, jakobiaan ning valem(22.1)). Kahekordses integraalis minnakse muutujatelt x ja y muutujatele u ja v seoste (22.1.) abil. Eeldame, et kahe muutuja funktsioonid x=(u,v) ja y=(u,v) on vaadeldavas uv-tasandi piirkonnas ühesed, pidevad ning omavad pidevaid osatuletisi mõlema muutuja järgi. Lisaks eeldame, et võrrandispsteem (22.1
integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis
funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles D D' valemis determinant I on funktsioonide (u, v) ja (u, v) nn. x x Funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan ja ta on järgmine: u v . Üleminek y y u v ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele on üks enamlevinud juhtum muutujate vahetusest kahekordses integraalis. Sel juhul u = ja v = : x = cos , y = sin . Leiame ristkoordinaatide x ja y polaarkoordinaatideks ja x x
D D Muutuja vahetus Kui x=x(u,v) ja y=y(u,v), siis kahekordses integraalis f ( x , y ) dxdy= f ( x (u , v ) , y ( u , v ) )J ( u , v )dudv , kus J(u,v) on teisenduse D D' jakobiaan J(u,v)= |xy '' uu xy'' vv| !=0 Üleminek Kui x=r*cos, y=r*sin ja teisenduse jakobiaan J(r,)=r, siis polaarkoordinaatidele r 2 () f ( x , y ) dxdy= d f ( rcos , rsin ) rdr D r 1 () Kolmekordne Piirväärtust, mis ei sõltu piirkonna V jaotusviisist ja punktide P i valikust,
x=x(t) Kui f c I(D), kus D={(x,y)|(a<=x<=b) ((x) <= y <= (x))}, siis f(P)dS = abdx(x) (x)f(x,y)dy. y=y(t) z=z(t) Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. t c [a,b], siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(X(x(t), y(t), z(t))x(t) + Y(x(t),y(t),z(t))y(y) + Z(x(t),y(t),z(t))z(t))dt. Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Ta on üksühene
On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd y = sin
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin
Võrrandi y' = f(x, y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 6. Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x statsionaarne punkt ,s.t. =0, = 0. Siis punktis 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ): 1) On funktsioonil f(x,y) lokaalne suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x, C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0, y0) ϵ D korral 𝜕𝑥 𝜕𝑦
f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv , kus D D' J (u , v ) = yu yv on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin
V: c x d, 1(x) y 2(x), 1(x,y) z 2(x,y) 16. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 1)Eeldame et P on üheselt taasatav P' põhjal 2) Olgu fun.-del x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) ja z = z(u,v,w) olemas osatuletised x u', xv', xw', yu', yv', yw', zu', zv' ja zw' terves piirkonnas V'. Kui 1 ja 2 on täidetud siis kehtib järgmine muutuja vahetuse valem. J(u,v,w) = jakobiaan 17. Silinderkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine silinderkoordinaatidesse. 18. Sfäärkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. Kolmekordse integraali teisendamine sfäärkoordinaatidesse. 19. Defineerida esimest liiki joonintegraal. 20
13 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 4. Muutujavahetus kahekordses integraalis Def. Teisendust x = x(u , v ) , y = y (u , v ) (u, v ) nimetatakse regulaarseks, kui 1. see teisendus on üks-ühene; 2. piirkonnas eksisteerivad pidevad osatuletised xu , xv , y u , y v ; xu xv 3. jakobiaan I (u , v ) = 0 piirkonnas . yu yv Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks. Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv .
25) z = (u, v, w) abil. Eeldame, et kolme muutuja u, v ja w funktsioonid x, y ja z on u ¨hesed ja v~orrandis¨ usteem (7.25) on u¨heselt lahenduv muutujate u, v ja w suhtes. Siis vastab igale piirkonna V punktile u¨ks punkt piirkonnast V ja vastupidi. Lisaks eeldame funktsioonide (7.25) kohta, et need on pidevad ja neil on pidevad osatuletised k~oigi kolme muutuja j¨argi piirkonnas V . Muutuja vahetuse jakobiaan on kolmandat j¨arku determinant xu yu zu J = xv yv zv (7.26) xw yw zw ja kolmekordne integraal u ¨le piirkonna V teisendatakse kolmekordseks integ- raaliks u ¨le piirkonna V valemi f (x, y, z)dxdydz = f ((u, v, w), (u, v, w), (u, v, w))|J|dudvdw V V
annaabi.ee 
