Impulss See artikkel räägib mehaanika mõistest; närviimpulsi kohta vaata artiklit Närviimpulss; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Impulss (täpsustus) Impulss ehk liikumishulk on füüsikaline suurus, mis võrdub keha massi ja kiiruse korrutisega. Kehtib ka liikumishulga jäävuse seadus, mis ütleb: suletud süsteemi kuuluvate kehade liikumishulkade geomeetriline summa on nende kehade igasuguse vastasmõju korral jääv. Suletud süsteem tähendab siin süsteemi, mis ei ole vastastikuses mõjutuses süsteemiväliste kehadega. Impulsi valem on: m = keha mass 0v = keha kiirus Ühik: kilogramm-meeter sekundi kohta (kg*m/s). Impulsi jäävuse seadus Artikkel vajab täiendamist, et anda teemast piisavat ülevaadet. Märkuse lisamise konkreetseid põhjusi vaata artikli muudatuste ajaloost või artikli arutelust. Impulsi jäävuse seadus on üks olulisemaid jäävusseaduseid füüsikas. See väidab, et igasuguse kehade süsteemi imp...
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi:
e alternatiivist. P Q t " P ja Q " t i Lausearvutuslauseteks võivad olla: u Järeldumine : v " 19 on algarv " " Kui P , siis Q " r " popcorn on hea " "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P Q A " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " Samaväärsus ( ekvivalents ) :
a. FF 8. Liikmete elimineerimise reeglid a. F&T=F F&V=V FvT=T FvV=F 9. Implikatsiooni avaldis konjukstiooni ja disjunktsiooni kaudu a. FG(F&G) FGFvG 10. Konjuktsiooni ja disjunktsiooni avaldis omplikatiooni kaudu a. F&G=(FG) FvG=FG 11. Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu a. FGF&GvF&G FG(FG)&(GF) Järeldumine on olukord, kus mingi lause loetakse tõeseks, viidates mingite teiste lausete tõesusele. Järeldumine võib aset leida mitmel põhjusel. Def. Ütleme, et valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel, millel F1, F2, ..., Fn on tõesed, on ka G tõene. Asjaolu, et valemist F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, tähistatakse F1, F2, ..., Fn |= G
Lihtlaused seotakse liitlauseks 5 loogikatehte abil, millest 4 on binaarsed, 1 on unaarne ja selleks on eitus. Millised on lausearvutuse loogikatehted? Nende tähistused ja verbaalsed tähendused? Verbaalne esitus: Formaalne tähistus: Eitus: Mitte P, pole õige, et P. ~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus.
( ); ¬, &, , , sulud; loogiliste tehete sümbolid prioriteedijärjestuses alates kõrgemast: eitus, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents t tõeväärtuse tõene sümbol v tõeväärtuse väär sümbol järeldumine x, y, x1, x2... y1, y2... üksikobjektide muutujad P, Q... P1, Q1... , 1, 2 predikaatide sümbolid a, b, c... a1, b1, c1... konstantsete üksikobjektide sümbolid üldistuskvantor (loetakse: iga, kõik) eksistentsikvantor (loetakse: leidub, mõni) Tabel nr 2. Loogiliste tehete tõeväärtused. Eitus p ¬p t v
samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. Peamised kujud, millele teisendatakse, on: ○ esitused kahe tehte kaudu ○ nn normaalkujud Teoreem piisavatest tehete komplektidest Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke kui: ○ ¬, & ○ ¬, ∨ ○ ¬, → Tõestus: kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu 5. Järeldumine. Teoreemid järeldumise ja samaväärsuse taandamisest ühe valemi omaduste kontrollimisele. [1] Järeldumine o DEF: Ütleme, et valemitest F1 , F2 , . . . , Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel F1 , F2 , . . . , Fn on tõesed, on ka G tõene. o Teoreem järeldumise kohta: Valemitest F 1 , F 2 , . . . , F n järeldub valem G parajasti siis, kui valem F 1 & F 2 & . . . & F n → G on samaselt tõene. Tõestus
· lausemuutujate sümbolid: A, B, C, B2, ... (suurtähed); (väiketähed: p, q, ... tähistavad metamuutujaid); · loogilised konstandid: tõene ja väär ; · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , (prioriteedi langemise järjekorras); · kirjavahemärgid: (), [ ] ; Tarvis on veel metasümboleid: · võrdusmärk ehk objektideevahelise võrduse seos: =; selle asemel võib (ja on mõnikord täpsemgi) kasutada samasuse sümbolit: ; · lausete vastastikune järeldumine ehk seos ,,siis ja ainult siis kui": · lause järeldumine teisest lausest ehk seos ,,kui ... siis ..." : Lausearvutuse valemid saame kirjutades laused üles sümbolkujul. Laused on asendatavad oma tõeväärtusega, seega võime laused ise kõrvale jätta ja kasutada ainult valemeid. Lausearvutuse süntaks (induktiivne definitsioon): Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: 1. Iga lausemuutuja ja loogiline konstant on lausearvutuse valem
Lause: Valem on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬ ei ole samaselt tõene. TÕESTUS: Kui on kehtestatav, siis väärtustusel, kus on tõene, on valem ¬ väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Ümberpöördult, kui ¬ ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus ¬ on väär ja on järelikult tõene. 3. LOENG Järeldumine. Valemite teisendamine. TDNK Definitsioon F1 Fn Öeldakse, et valemitest , ... , järeldub valem , kui igal neis valemeis esinevate F1 Fn muutujate väärtustusel, millel , ... , on tõesed, on ka tõene. F1 Fn
Lihtsaimaid võimalikke lausearvutuslauseid nimetatakse lihtlauseteks. Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: Lihtlauseid ei saa enam jagada veelgi lihtsamateks lausearvutuslauseteks. " P ja Q " P∧Q Järeldumine : Lausearvutuslauseid tähistame formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q . . . " Kui P , siis Q " Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P→Q konstruktsioonide abil liitlauseid: Samaväärsus (ekvivalents):
maailmades) Tingiv süllogism ehk hüpoteetiline süllogism (ik hypothetical syllogism) on süllogism, mille suurem eeldus on kindlasti tingiv väide ning väiksem eeldus võib olla tingiv väide. Püsimaks kooskõlas põhiõpikuga, kasutame enamasti terminit tingiv väide ning süllogismi kohta ütleme hüpoteetiline süllogism edasipidi siis, kui mõlemad eeldused on tingivad väited (ik on see: pure hypothetical syllogism). Järgnevalt vajame veel kahte sümbolit: loogiline järeldumine, nt: p eeldustest järeldub loogiliselt p; eeldustest saab tuletada, nt: p eeldustest saab tuletada p. Lausearvutuses me juba kasutasime esimest sümbolit, konditsionaalide puhul on arukas kasutada teist. 23_fl_vi-x TINGIV-KATEGOORILINE süllogism ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism
binaarsete predikaatide aarsuse võib märkimata jätta; • indiviidimuutujad: x, y, z, x1, z2, y6, … (tähestiku viimased tähed, võivad olla alaindeksitega); • indiviidikonstantide sümbolid: a, b, c, h, a1, j6, … (tähestiku esimesed tähed, võivad olla alaindeksitega); • loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, ∨, →, ↔; • kvantorid ∀, ∃; • metasümbolid: o=; o ≡; o ∈ – kuuluvusseos (a ∈ X – element a kuulub hulka X); o ⇒ või ╞ ‒ järeldumine; o ⇔ – vastastikune järeldumine; o kirjavahemärgid: (), [ ]; • funktsionaalsümbolid, mis tähistavad baashulgal määratud funktsioone (nt naturaalarvude hulga N puhul „+” ja „–”). Traditsioonilises loogikas peab sageli arutlema väidete konteksti üle. Predikaatarvutuses on see tegevus ilmutatud ning valemite tähenduse mõistmiseks peab arvestama mitte üksnes formaalsete valemitega, vaid ka kontekstiga. Öeldakse, et predikaatarvutuse valemi tähendus 6
· indiviidimuutujad: x, y, z, x1, z2, y6, ... (tähestiku viimased tähed, võivad olla alaindeksitega); · indiviidikonstantide sümbolid: a, b, c, h, a1, j6, ... (tähestiku esimesed tähed, võivad olla alaindeksitega); · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , ; · kvantorid , ; · metasümbolid: o =; o ; o kuuluvusseos (a X element a kuulub hulka X); o või järeldumine; o vastastikune järeldumine; o kirjavahemärgid: (), [ ]; · funktsionaalsümbolid, mis tähistavad baashulgal määratud funktsioone (nt naturaalarvude hulga N puhul ,,+" ja ,,"). Traditsioonilises loogikas peab sageli arutlema väidete konteksti üle. Predikaatarvutuses on see tegevus ilmutatud ning valemite tähenduse mõistmiseks peab arvestama mitte üksnes formaalsete valemitega, vaid ka kontekstiga. Öeldakse, et predikaatarvutuse valemi tähendus
5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud C kompleksarvud n! faktoriaal 1 · 2 · · · n 2 0.2. 0.2 Kreeka tähestik alfa
annaabi.ee 
