Impulss See artikkel räägib mehaanika mõistest; närviimpulsi kohta vaata artiklit Närviimpulss; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Impulss (täpsustus) Impulss ehk liikumishulk on füüsikaline suurus, mis võrdub keha massi ja kiiruse korrutisega. Kehtib ka liikumishulga jäävuse seadus, mis ütleb: suletud süsteemi kuuluvate kehade liikumishulkade geomeetriline summa on nende kehade igasuguse vastasmõju korral jääv. Suletud süsteem tähendab siin süsteemi, mis ei ole vastastikuses mõjutuses süsteemiväliste kehadega. Impulsi valem on: m = keha mass 0v = keha kiirus Ühik: kilogramm-meeter sekundi kohta (kg*m/s). Impulsi jäävuse seadus Artikkel vajab täiendamist, et anda teemast piisavat ülevaadet. Märkuse lisamise konkreetseid põhjusi vaata artikli muudatuste ajaloost või artikli arutelust. Impulsi jäävuse seadus on üks olulisemaid jäävusseaduseid füüsikas. See väidab, et igasuguse kehade süsteemi imp...
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi:
e alternatiivist. P Q t " P ja Q " t i Lausearvutuslauseteks võivad olla: u Järeldumine : v " 19 on algarv " " Kui P , siis Q " r " popcorn on hea " "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P Q A " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " Samaväärsus ( ekvivalents ) :
9. Implikatsiooni avaldis konjukstiooni ja disjunktsiooni kaudu a. FG(F&G) FGFvG 10. Konjuktsiooni ja disjunktsiooni avaldis omplikatiooni kaudu a. F&G=(FG) FvG=FG 11. Ekvivalentsi avaldis teiste tehete kaudu a. FGF&GvF&G FG(FG)&(GF) Järeldumine on olukord, kus mingi lause loetakse tõeseks, viidates mingite teiste lausete tõesusele. Järeldumine võib aset leida mitmel põhjusel. Def. Ütleme, et valemitest F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeid esinevate muutujate väärtustel, millel F1, F2, ..., Fn on tõesed, on ka G tõene. Asjaolu, et valemist F1, F2, ..., Fn järeldub valem G, tähistatakse F1, F2, ..., Fn |= G Järeldumise kontrollimine tõeväärtustabeli abil: valime tõeväärtustabelist välja read, milles valemid F1, F2, ..., Fn on kõik tõesed, ja selgitame, kas nendes ridades on ka valem G tõene.
Sissejuhatus,lausearvutus,loogikaseadused Milliste matemaatikavaldkondadega Diskreetne Matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele pideva matemaatika valdkondadega, ehk nendega, kus tegeletakse pidevate funktsioonidega. Näiteks matemaatiline analüüs, integraal- ja differentsiaalaarvutused. Milliste arvudega diskreetne matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega. Mis on verbaalne esitus? Mistahes info esitamine lingvistilise keele abil, nii suulisel kui kirjalikul kujul. Näiteks ajaloo ja filosoofia puhul on tegemsit aladega, kus kogu info on verbaalsel kujul. Mis on formaalne esitus? Mistahes info esitamine, reeglina kirjalik info,ilma lingvistilise keele abita, ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Näiteks matemaatika, füüsika, keemia, kus infot esitakse nii formaalselt kui verbaalselt. Milline omadus peab olema formaalsetel esitlustel? Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav...
( ); ¬, &, , , sulud; loogiliste tehete sümbolid prioriteedijärjestuses alates kõrgemast: eitus, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents t tõeväärtuse tõene sümbol v tõeväärtuse väär sümbol järeldumine x, y, x1, x2... y1, y2... üksikobjektide muutujad P, Q... P1, Q1... , 1, 2 predikaatide sümbolid a, b, c... a1, b1, c1... konstantsete üksikobjektide sümbolid üldistuskvantor (loetakse: iga, kõik) eksistentsikvantor (loetakse: leidub, mõni) Tabel nr 2. Loogiliste tehete tõeväärtused. Eitus p ¬p t v
samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. Peamised kujud, millele teisendatakse, on: ○ esitused kahe tehte kaudu ○ nn normaalkujud Teoreem piisavatest tehete komplektidest Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke kui: ○ ¬, & ○ ¬, ∨ ○ ¬, → Tõestus: kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu 5. Järeldumine. Teoreemid järeldumise ja samaväärsuse taandamisest ühe valemi omaduste kontrollimisele. [1] Järeldumine o DEF: Ütleme, et valemitest F1 , F2 , . . . , Fn järeldub valem G, kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel F1 , F2 , . . . , Fn on tõesed, on ka G tõene. o Teoreem järeldumise kohta: Valemitest F 1 , F 2 , . . . , F n järeldub valem G parajasti siis, kui valem F 1 & F 2 & . . . & F n → G on samaselt tõene. Tõestus
· lausemuutujate sümbolid: A, B, C, B2, ... (suurtähed); (väiketähed: p, q, ... tähistavad metamuutujaid); · loogilised konstandid: tõene ja väär ; · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , (prioriteedi langemise järjekorras); · kirjavahemärgid: (), [ ] ; Tarvis on veel metasümboleid: · võrdusmärk ehk objektideevahelise võrduse seos: =; selle asemel võib (ja on mõnikord täpsemgi) kasutada samasuse sümbolit: ; · lausete vastastikune järeldumine ehk seos ,,siis ja ainult siis kui": · lause järeldumine teisest lausest ehk seos ,,kui ... siis ..." : Lausearvutuse valemid saame kirjutades laused üles sümbolkujul. Laused on asendatavad oma tõeväärtusega, seega võime laused ise kõrvale jätta ja kasutada ainult valemeid. Lausearvutuse süntaks (induktiivne definitsioon): Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: 1. Iga lausemuutuja ja loogiline konstant on lausearvutuse valem.
Lause: Valem on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬ ei ole samaselt tõene. TÕESTUS: Kui on kehtestatav, siis väärtustusel, kus on tõene, on valem ¬ väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Ümberpöördult, kui ¬ ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus ¬ on väär ja on järelikult tõene. 3. LOENG Järeldumine. Valemite teisendamine. TDNK Definitsioon F1 Fn Öeldakse, et valemitest , ... , järeldub valem , kui igal neis valemeis esinevate F1 Fn muutujate väärtustusel, millel , ... , on tõesed, on ka tõene. F1 Fn
Lihtsaimaid võimalikke lausearvutuslauseid nimetatakse lihtlauseteks. Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: Lihtlauseid ei saa enam jagada veelgi lihtsamateks lausearvutuslauseteks. " P ja Q " P∧Q Järeldumine : Lausearvutuslauseid tähistame formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q . . . " Kui P , siis Q " Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loogiliste "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P→Q konstruktsioonide abil liitlauseid: Samaväärsus (ekvivalents):
maailmades) Tingiv süllogism ehk hüpoteetiline süllogism (ik hypothetical syllogism) on süllogism, mille suurem eeldus on kindlasti tingiv väide ning väiksem eeldus võib olla tingiv väide. Püsimaks kooskõlas põhiõpikuga, kasutame enamasti terminit tingiv väide ning süllogismi kohta ütleme hüpoteetiline süllogism edasipidi siis, kui mõlemad eeldused on tingivad väited (ik on see: pure hypothetical syllogism). Järgnevalt vajame veel kahte sümbolit: loogiline järeldumine, nt: p eeldustest järeldub loogiliselt p; eeldustest saab tuletada, nt: p eeldustest saab tuletada p. Lausearvutuses me juba kasutasime esimest sümbolit, konditsionaalide puhul on arukas kasutada teist. 23_fl_vi-x TINGIV-KATEGOORILINE süllogism ehk hüpoteetilis-kategooriline süllogism
1. Modus ponens (MP) p → q, p ⊢ q. 2. Modus tollens (MT) p → q, ¬q ⊢ ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p → q, q → r ⊢ p → r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p ∨ q, ¬p ⊢ q; p ∨ q, ¬q, ⊢ p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p → q) & (r → s), p ∨ r ⊢ q ∨ s. 6. Neeldumine (Abs) p → q ⊢ p → (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q ⊢ p; p & q ⊢ q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q ⊢ p & q. 9. Lisamisreegel (Add) p ⊢ p ∨ q. 1 Loogiline järeldumine oli defineeritud nii, et alati kui eeldused on tõesed, peab tõene olema ka järeldus (definitsioon 7.6.5). Järeldus võib tõene olla ka siis, kui kõik eeldused ei ole tõesed, kuid see pole oluline. 4 Modus ponens’i üks eeldus väidab, et kui implikatsiooni alus p on tõene, siis on tõene ka implikatsiooni tagajärg q. Teine eeldus väidab, et alus ongi tõene. Neist kahest eeldusest saab tuletada, et implikatsiooni tagajärg q on tõene. Modus tollens’i üks eeldus väidab, et kui
2. Modus tollens (MT) p q, ¬q ¬p. 3. Hüpoteetiline süllogism (HS) p q, q r p r. 4. Disjunktiivne süllogism (DS) p q, ¬p q; p q, ¬q, p. 5. Konstruktiivne dilemma (CD) (p q) & (r s), p r q s. 6. Neeldumine (Abs) p q p (p & q). 7. Lihtsustusreegel (Simp) p & q p; p & q q. 8. Konjunktsioonireegel (Conj) p, q p & q. 9. Lisamisreegel (Add) p p q. 1 Loogiline järeldumine oli defineeritud nii, et alati kui eeldused on tõesed, peab tõene olema ka järeldus (definitsioon 7.6.5). Järeldus võib tõene olla ka siis, kui kõik eeldused ei ole tõesed, kuid see pole oluline. 4 Modus ponens'i üks eeldus väidab, et kui implikatsiooni alus p on tõene, siis on tõene ka implikatsiooni tagajärg q. Teine eeldus väidab, et alus ongi tõene. Neist kahest eeldusest saab
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksi...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
