tipuga, mille aste on 2. Kuid parempoolses graafis pole tipud astmega 3 omavahel servaga ühendatud ning mõlemad tipud astmega 3 on ühendatud kolme tipuga, mille aste on 2. Seega olen leidnud sellised tipud, mis on vasakpoolses graafis naabrid, kuid parempoolses graafis ei ole(need on 2 tippu, mille aste on 3). See aga tähendab, et nende kahe graafi tipuhulkade vahel ei leidu sellist bijektsiooni, et need kaks graafi oleksid isomorfsed. Seega ei ole need graafid isomorfsed. Vastus: Need graafid ei ole isomorfsed. ÜLESANNE 4. Graafi G sidususkomponentideks nimetatakse tema maksimaalseid sidusaid alamgraafe. Vähim võimalik graafi sidususkomponent on seega üksik tipp, mille aste on 0(ehk selline tipp, mis pole teistega ühendatud). Väide kehtib vaid juhul kui n m, sest graafil ei saa olla negatiivne arv sidususkomponente ning juhul n = m on tal 0 sidususkomponenti ehk tegemist on tühja graafiga, mis on lubatud olukord. Tõestan väite induktsiooniga.
4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n . 8 4 Materjal õpikus. Lk 3640 (teist järku rekurrentsete võrrandite lahenda- mine). Ülesanne 3. Teha kindlaks, kas järgmiste naabrusmaatriksitega antud graa- fid on isomorfsed. Jaatava vastuse korral kirjutada välja isomorfism, eitava vastuse korral põhjendada. 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 G= 0 1 1 0 0 1 H= 1 1 0 0 0 1
Kaks erinevat loogikaavaldist on võrdväärsed ehk võrdset, kui nad mõlemad omandavad muutujate samade väärtuskombinatsioonide korral sama loogikaväärtuse 1 või 0 Kuidas saadakse mingi loogikaavaldise jaoks tema duaalne kuju? Konjuktsioon disjunktsiooniks, disjunktsioon konjuktsiooniks, konstandid 0 konstandiks 1 ja konstandid 1 konstandiks 0. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed, kõik hulgaalgebra seadused kehtivad ka loogikaalgebras, tehes järgnevad asendused: ühend disjunktsiooniks, ühisosa konjuktsiooni,s tühi hulk konstandiks 0 ja universaalhulk konstandiks 1 Vaata põhiseoseid ja õpi selgeks lk 156-157 Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistel tehetel on nad olemas? Et asendada mitteelementaarseid loogikatehteid elementaarsete loogikatehete kaudu. Nad on olemas tehetel implikatsioon,ekvivalents ja moodul summast 2-ga.
Kaks loogikaavaldist on võrdsed, kui nad arvutavad muutujate väärtustamisel samad väärtused. 9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga, konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0. 10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon
algustipus. Euleri graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Euleri tsüklit. Euleri kontuur: suletud lihttee Euleri tsükkel: suletud lihtahel Hamiltoni graaf: (orienteerimata) graaf, mis omab Hamiltoni tsüklit Hamiltoni kontuur: läbib täpselt 1 kord kõik orienteeritud graafi tipud ja lõpeb oma algustipus Hamiltoni tsükkel: läbib täpselt 1 kord kõik orienteerimata graafi tipud ja lõpeb oma algustipus Isomorfsus: 2 graafi on isomorfsed, kui neil on sama tippude ja kaarte arv ning need on seatavad üks-ühesesse vastavusse nii, et mõlemas graafis seovad vastavad kaared vastavaid tippe. (Isomorfsetes graafides võib olla erinev tippude/kaarte tähistus/paigutus.) Jääkgraaf: saadakse graafist osade kaarte ärajätmisega, kusjuues kõik tipud säilivad Kahealuseline graaf: graaf on kahealuseline, kui kõik tema tipud jagunevad kaheks mittelõikuvaks osahulgaks nii, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise
erinevustest koosnev süsteem ning parole on inimese kõne, üksikud lausungid, üksik kõneakt. Surnud keelt ei ole olemas, selles keeles puudub lihtsalt parole. Keeles on märgid, kõnes on nende märkide realisatsioonid. Isomorfism on struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Esimese süsteemi igale elemendile vastab ainult üks teise süsteemi element ja ühe süsteemi igale seosele ainult üks seos teises - ja vastupidi. nt. kaks graafi on isomorfsed, st. omavad ühesugust struktuuri vaatamata erinevale välimusele. Homomorfism on kujutus ühest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad seosed. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks. Invariantsed on näiteks liikumisseadused elementaarosakeste teooriates, klassikalises mehaanikas. Kui teisendus ei muuda ühtki objekti omadust, siis on tegu invariantide süsteemiga ja see on täielik invariant. Nt.
P 1 P 2 - P 1 · P2 = P 1 . · Boole'i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja · ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja · on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x · x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra. · Kaks algebrat on isomorfsed ( A1 = < M1 ,S1 > A2 = < M2 ,S2 > ), kui eksisteerib üksühene vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. · A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p). Kas selliselt kirjeldatud algabra on rühm? · A={1,2,3,4}. Ehitada kõikvõimalike tükelduste võre.
Boole’i algebraks nimetatakse algebrat, mille signatuur koosneb 2 binaarsest operatsioonist + ja ning ühest unaarsest operatsioonist , kusjuures + ja on kommutatiivsed, assotsiatiivsed, idempotentsed ning teineteise suhtes distributiivsed ning eksisteerivad elemendid 0 ja 1, nii et x x = 0 ning x + x = 1. Näited. {2A ,,, } - Cantori algebra. { (0,1) n ,&,V, } - loogikaalgebra. Kaks algebrat on isomorfsed ( A1 = < M1 ,S1 > A2 = < M2 ,S2 > ), kui eksisteerib üksühene vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p). Kas selliselt kirjeldatud algabra on rühm?
. Elementaarrakk kristallaine väikseim osakene, mille n-kordne moodustab suurema monokristalli. Elementaarrakud võivad kasvada ruumis igas suunas, kui kasvamine ei ole kuubilise kristalli korral üheski suunas, saadakse kuubikujuline monokristall. Mõõtmed võivad olla mõni sentimeetrit kuni kümme sentimeetrit. Kui monokristalli kasvamine on mõnes suunas takistatud, siis võib saada mistahes kujuga kristalli. Isomorfsed ained erinev elementkoostis, kuid ühesugune struktuur Polümorfsed ained samasugune elementkoostis, kuid erinev struktuur Röntgenfaasi analüüs Difraktogramm peegeldunud röntgenkiirte üleskirjutus Röntgenanalüüs annab teada: 1. kas aine on kristalne või amorfne, 2. kui on kristalne aine, siis annab identifitseerida, millise ainega on tegemist, ainete segudest annab identifitseerida maksimaalselt 6-7 ainet, 3
. Elementaarrakk kristallaine väikseim osakene, mille n-kordne moodustab suurema monokristalli. Elementaarrakud võivad kasvada ruumis igas suunas, kui kasvamine ei ole kuubilise kristalli korral üheski suunas, saadakse kuubikujuline monokristall. Mõõtmed võivad olla mõni sentimeetrit kuni kümme sentimeetrit. Kui monokristalli kasvamine on mõnes suunas takistatud, siis võib saada mistahes kujuga kristalli. Isomorfsed ained erinev elementkoostis, kuid ühesugune struktuur Polümorfsed ained samasugune elementkoostis, kuid erinev struktuur Röntgenfaasi analüüs Difraktogramm peegeldunud röntgenkiirte üleskirjutus Röntgenanalüüs annab teada: 1. kas aine on kristalne või amorfne, 2. kui on kristalne aine, siis annab identifitseerida, millise ainega on tegemist, ainete segudest annab identifitseerida maksimaalselt 6-7 ainet, 3
graaf on mittesidus (n-k )(n-k +1) o Järeldus: kui n-tipulisel graafil on rohkem kui 2 serva, siis see graaf on sidus Graafe G=(V,E) ja G1=(V1, E1) nimetatakse isomorfseteks, kui leidub bijektsioon f: V->V1 nii, et graafis G on serv tippude u ja v vahel parajasti siis, kui graafis G1 on serv tippude f(u) ja f(v) vahel o Näitamaks, et kaks graafi ei ole isomorfsed: näitame, et kas tippude arv, servade arv, tipuastmete järjend, lühima tsükli pikkus või erinevate lihtahelate arv kahe tipu vahel on erinevad o Neid suurusi nimetatakse invariantideks Tsüklit, mis sisaldab kõiki graafi tippe ja läbib graafi kõik servad täpselt üks kord, nimetatakse Euleri tsükliks Graafi, kus leidub Euleri tsükkel, nimetatakse Euleri graafiks (nt ümbriku joonistamine ühe joonega)
Graaf on kahealuseline, kui tema tipud jagunevad kaheks mittelõikuvaks osahulgaks selliselt, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise osahulga mingi tipuga. Graaf on tasandiline, kui ta on paigutatav tasandile selliselt, et ta kaared ei lõiku. Orienteeritud graafi baas B on selline minimaalne tippude osahulk BcT, kus hulga B tippudest leidub tee selle graafi mistahes teise tipuni (graafi iga tipp on baasist saavutatav). 2 graafi on isomorfsed, kui neil on samapalju tippe, samapalju kaari ning tipud ja kaared on seatavad üks-ühesesse vastavusse nii, et mõlemas tipud/kaared samad. Orienteerimata graafi G pöördgraaf on samade tippudega orienteerimata graaf, mis sisaldab kaari nende tippude vahel, kus graafis G kaari pole ja vastupidi. Puu on sidus tsükliteta orienteerimata graaf. Kui puul on n tippu, siis tal on (n-1) kaart. Kui puult eemaldada kaar, pole ta enam sidus (pole puu)
inimese kõne, üksikud lausungid, üksik kõneakt. Surnud keelt ei ole olemas, selles keeles puudub lihtsalt parole. Keeles on märgid, kõnes on nende märkide realisatsioonid. Iso- ja homoformism iseloomustab vastavust objektide struktuuride vahel. Isomorfism on struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Esimese süsteemi igale elemendile vastab ainult üks teise süsteemi element ja ühe süsteemi igale seosele ainult üks seos teises - ja vastupidi. nt. kaks graafi on isomorfsed, st. omavad ühesugust struktuuri vaatamata erinevale välimusele. Parim näide on keemia isomeerid. Isomorfismist saab rääkida ainult selliste objektide puhul, mille on struktuur – st on määratletud komponendid ja nende vahelised seosed. Homomorfism on kujutus ühest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad seosed. Isomorfism on üks homoformismi vorm. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks.
grammatilise üksuse struktuuri baasiks. Endotsentrilises konstruktsioonis on ainult ühe moodustaja distributsioon (st võimalus esineda lauses) samasugune kui kogu konstruktsioonil. Eksotsentrilises konstruktsioonis (neksus) ei käitu kumbki moodustaja nii nagu kogu konstruktsioon, vaid osad on terviku võrdsed komponendid. Lauses lahus paiknevad konstruktsioonid on diskontinuatiivsed e katkestatud. Isomorfsed - vastavad üksteisele ja saab vastastikku üksteiseks muuta. Lause hierarhiline struktuur jaotab lause osadeks ning aitab seda paremini meelde jätta. (sama mis nt tel nr meelde jätmine; jaotatakse mingiteks osadeks) 30. Sõnaliigid ja fraasid. Tavalisemates hargmikes on lisaks sõnadele kolme tüüpi nimelisi sõlmi: sõnaliik e kategooria, fraasid ja lause (tähistus S). Ka sõlmede vahel on struktuurisuhted, neist olulisim on domineerimissuhe. (Ülevalpool asuvad
ühesesse) mõne tuntud võimsusega hulga (näiteks naturaalarvude hulga) elementidega. 4. Graafid. Puude esitused. Programmide esitamine puuna Mittejärjestatud ja mitteorienteeritud graaf on paar G = (A,R), kus A on tippude hulk ja kaarte hulk R on seos hulgal A. Graafi saab esitada paaride hulgana (A + R analüütiliselt, või predikaadina) või joonisena. Graafide võrdsus: Graafid G1 = (A1, R1) ja G1 = (A2, R2) on võrdsed ehk isomorfsed, kui leidub selline bijektiivne kujutus f: A1 A2 nii, et aR1b = f(a)R2f(b) Kui igale tipule a G1-st leidub tipp b G2-st, millele saab vastavusse seada samade tippude kaared ja kõik G2 tipud saavad ka kaetud. Kui kaar R1 järgi on esimese graafi tippude vahel, siis on see ka samade teise graafi tippude vahel ja kui seda pole, pole kummaski. Graafi märgendus: Graafi G = (A, R) märgenduseks nimetatakse funktsioonide paari f,g, kus f: A M tippude märgendus g: R L servade märgendus
o Isomorfseid graafe võib lugeda matemaatilises mõttes samadeks Isomorfsuse näitamine ja ümberlükkamine o Teisiti öeldes tähendab isomorfsus seda, et mõlemas graafis võib tipud nummerdada nii, et samade numbritega tipud on kas mõlemas graafis servaga ühendatud või mõlemas ühendamata. Kui igale servale esimeses graafis vastab teises graafis serv samade numbritega tippude vahel ja vastupidi, siis on need graafid isomorfsed. 38. Sidusus. Sidus komponent. Sild. Eraldav tipp. Tarvilik ja piisav tingimus silla jaoks. [2] Sidusus o DEF: Graafi, milles iga kahe tipu korral leidub neid tippe ühendav (liht)ahel, nimetatakse sidusaks. Sidusaks loetakse ka ühetipulist graafi. Sidus komponent o Kui graaf ei ole sidus, siis koosneb ta eraldiseisvatest sidusatest osadest, mida nimetatakse sidusateks komponentideks. 34
Asendustardlahus (lahustuva komponendi aatomid asendavad lahustajakomponendi aatomied). Lahustuvus võib asendustardlahuste korral olla piiratud või piiramatu. Näiteks kui komponent A (lahustaja) ja komponent B (lahustunud) moodustavad piiratud tardlahuse , siis see on B komponendi tardlahus komponendis A. Piiramatud (täielikud) tardlahused tekivad metallide korral, mille aatomiraadiused ei erine rohkem kui 15% ja mis omavad üht tüüpi kristallvõresid ( on isomorfsed) ja ligilähedased füüsikalis-keemilisi omadusi. Sisendustardlahused (lahustuva komponendi aatomid paigutuvad lahustajakomponendi kristallvõre tühimikesse). Sellist lahustuvust nim. piiratud ehk mittetäielikuks. Sisendustardlahused tekivad metalli ja mittemetalli kui ka metallide vahel. Sisendustardlahused on alati piiratud lahustuvusega. Raua polümorfsed kujud -raud(Fe) ruumkesendatud kuupvõrega (K8) ja -raud (Fe) tahkkesendatud kuupvõrega (K12) (1392°C...911°C)
18 Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on loenduv. Tõestus. Iseseisvalt!z 20 1 Reaalarvud 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon Praeguseks me juba teame, et täielikke järjestatud korpusi eksisteerib. Käesolevas alapeatükis anname vastuse küsimusele, kas selline korpus on üheselt määratud. Teoreem 1.19 Suvalised kaks täielikku järjestatud korpust F1 ja F2 on isomorfsed. Tõestus. Teatavasti sisaldab iga järjestatud korpus alamkorpust, mis on isomorfne kõigi ratsionaal- arvude korpusega Q (vt. punkt 1.3.2), tähistame need korpuste F1 ja F2 puhul vastavalt Q1 ja Q2 . Olgu ϕ : Q1 → Q2 . Rõhutame, et ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q) ja ϕ(p · q) = ϕ(p) · ϕ(q) kõikide p, q ∈ Q1 korral ja võrratusest p < q korpuses Q1 järeldub ϕ(p) < ϕ(q) korpuses Q2 . Defineerime otsitava kujutuse ψ : F1 → F2 seosega
annaabi.ee 
