koonduv ∞ Tingimisi koonduv rida- Kui rida ∑ un koondub, aga tema n=1 absoluutväärtusest moodustatud rida hajub, siis nimetatakse rida ∞ ∑ un tingimisi kooduvaks. n=1 32.Funktsionaalrida(definitsioon) Rida, mille liikmed on funktsioonid nimetatakse funktsionaalreaks ∞ ∑ f k ( x) k=1 33.Taylori ja Maclaureni read(definitsioon, leidmine) f (k )(a) Astmerida, mille kordajad on antud valemiga ck= , nimetatakse k! Taylori reaks ∞ f (k )( 0) k
Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak∈ R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (X≠tühihulk) Fikseerides argumendi X0 ϵ X väärtuse saame arvrea Uk(X0) ϵ R Σ UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0ϵX, kui koondub arvrida Σ UK(x0) Kui arvrida Σ UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 ϵ X.
Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või või -. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida UK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi
Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks summaks. Koonduvat arvrida k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval real k , ak R leidub selline ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt etteantud arv või või -. 7. Funktsionaalread. Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus. Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus. Funktsionaalreaks nimetatakse rida UK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kN on funktsioonid UK:XkYk Funktsionaalrea punktiviisi koonduvus Olgu meil antud funktsionaalrida (Xtühihulk) Fikseerides argumendi X0 X väärtuse saame arvrea Uk(X0) R UK(x0) Definitsioon 3 Öeldakse, et funktsionaalrida koondub punktis x0X, kui koondub arvrida UK(x0) Kui arvrida UK(x0) hajub, siis öeldakse, et funktsionaalrida hajub punktis X0 X. koonduvus normi järgi
f(x)dx hajub, siis hajub ka rida s. Märgime, et funtsiooni f(x) nim. monotoonselt kahanevaks, kui iga x1 ja x2 korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib mitterange võrratus f(x1) ¸ f(x2). 33. Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond. Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x). Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea. Üldiselt on see arvrida erinevate x-de korral erinev. Seega võib ta ühtede x väärtuste korral koonduda ja teiste x väärtuste korral hajuda. Muutuja x nende väärtuste
..+un+... koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+ ...+un+... hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17. Funktsionaalrida, selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid. Rida u1+ u2+...+un+... nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid. Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
Näited: järgmises punktis. 3. Milline rida on absoluutselt koonduv, tingimisi koonduv? Esitada 1 näide kummagi juhu kohta! Absoluutne koonduvus on rea koonduvus, mille puhul koondub ka rea liikmete absoluutväärtuste rida. Tingimisi koonduvus on rea koonduvus, mille puhul ei koondu rea liikmete absoluutväärtuste rida. koondub koondub absoluutselt koonduv tingimisi koonduv 4. Mis on funktsionaalrida? Esitada näide! Rida, mille liikmed on funktsioonid, nimetatakse funktsionaalreaks. 5. Mis on astmerida? Esitada näide! a xi i Funktsionaal rea tähtis erijuhtub on astmerida i = 0 , kus a0 ,a1 , a2, ... , an , .... on konstandid. 6. Mis on koonduvusraadius ja koonduvusvahemik? Esitada näide! Koonduvusraadius on raadius, kus rida koondub. Koonduvusvahemik on vahemik, kus rida koondub.
Dirichlet' teoreem: absoluutselt koonduva rea iga ümberjärjestus koondub samaks summaks S. Def: koonduvat rida (U), mille (U ) rida hajub, nim tingimisi koonduvaks. Riemanni teoreem: tingimisi koonduval real leidub alati niisugune ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt ette antud arv S, mis võib olla ka või - Funktsionaalrida ja tema koonduvuspiirkond DEF: Rida, mille liikmed on mingi argumendi funktsioonid: n =1 un(x)= u1(x)+ u2(x)+ ...+un(x)+... nimetame funktsionaalreaks (u(x)). un(x)- funktsionaalrea üldliige. Olgu liikmed un(x) määratud piirkonnas X on reaalarvude hulk. Iga xo puhul piirkonnas X saame arvrea: n =1 un(xo)= u1(xo)+ u2(xo)+ ...+un(xo)+... Koonduvusküsimused: 1.Kui rida koondub lim S n ( x0 ) = S ( x0 ) DEF: Kõigi nende argumendi väärtuste hulka, mille puhul funktsionaal reale vastav arvrida (u(xo)) on koonduv nimetatakse vaadeldava funktsionaal rea koonduvus piirkonnaks. (See on alamhulk)
𝑑𝑥 (𝑘𝜖𝑁0 ). Fourier' siinusrida: Funktsioon 𝑘 Funktsionaalreaks nimetatakse rida ΣUK(x)+u1(x)+u2(x)+...+uk(x)+... mille liikmed uk kϵN on funktsioonid ΣUK:Xk→Yk. 𝑘𝜋𝑥
E x + Q y + R z )dxdydz . kus pindintegraal on võetud üle pinna väliskülje. 24 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §6. FUNKTSIONAALREAD 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida.
u1 + u2 + . . . + uk + . . . = uk (8.1) k=1 Liidetavaid selles summas nimetatakse rea liikmeteks ja liiget uk rea u ¨ ¨ldliikmeks. Uldliikmest saame indeksile k v¨a¨artusi andes konkreetsed liik- med. Kui rea liikmed on reaalarvud, nimetatakse rida arvreaks. Kui aga liikmed on muutuja x funktsioonid, st uk = uk (x), k = 1, 2, . . ., nimetatakse rida funktsionaalreaks. Esmalt vaatleme arvridu. Tuntumad arvread on geomeetriline rida a1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q k + . . . = a1 q k (8.2) k=0 ja harmooniline rida 1 1 1 1
Nagu näha, vahele võetakse alati üks negatiivne liige. 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus Olgu funktsioonid fk , kus k ∈ N, määratud mingis mittetühjas hulgas D ⊆ R. Avaldist ∞ X fk = f1 + f2 + . . . + fn + . . . k=1 nimetatakse hulgas D määratud funktsionaalreaks. ∞ Definitsioon. Öeldakse, et funktsionaalrida fk koondub hulgas D P k=1 ∞ 1) punktiviisi, kui arvrida fk (x) koondub iga x ∈ D korral, P k=1 ∞
annaabi.ee 
