moodustamiseks? a) Sama ei saa olla. 26 27 = 702 b) Sama saab olla. 27 27 = 729 c) 9 täishäälikut, 18 kaashäälikut. 9 18 + 18 9 = 324 võimalust KOMBINATSIOONID JA VARIATSIOONID Kombinatsioonid – alamhulgad, kus järjekord ei ole tähtis Variatsioonid – alamhulgad kus järjekord on täht Variatsioon – n-elemendist (koguhulk) k-kaupa on k-elemendilised erinevad järjestused n! k nPr = V n = ( n−k ) ! r=k 24 2 V 4 = 2 = 12 Kombinatsioon – n-elemendist k-kaupa on k-elemendilised osahulgad n! k C n = k ! ( n−k ) ! SÜNDMUSTE KLASSIKALINE TÕENÄOSUS k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv 0 P(A) 1
*Tõenäosust väljendatakse sageli protsentides. Näide. Kui suur on tõenäosus, et täringut veeretades tuleb paaritu arv silmi? Täringu veeretamisel võib tulla silmade arvuks 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Seega on kõikide võimaluste arv 6. Neist paaritud arvud on 1, 3 ja 5. Seega on soodsate võimaluste arv 3. Lahendus. Vastus. Tõenäosus, et täringu veeretamisel tuleb paaritu arv silmi, on 50%. Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemendilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! loetakse - "n faktoriaalis" ja arvutatakse järgmise reegli järgi: n! = 1 · 2 · 3 ... (n - 1) · n. Jätke meelde, et 0! = 1 ja 1! = 1. Näited: 1) 1! = 1, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 ja 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 2) Neljast tähest (k, a, r, u) on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamise teel 4! = 24 erinevat sõna. 3) 13 õpilasega klassis on võimalik teha 13
korrutades siiski nii 5 kui 2ga ja seega kuulub nii hulka A kui B. 2. A ja B sümmeetriline vahe on C ja värvitud kollaseks. A ja C sümmeetriline vahe on B ning viirutatud,sest kui otsida A ja C sümmeetrilist vahet,siis A juba kuulub sellesse ja seega jääb järele ainult B. 3. väär,sest kahe hulga ühendist moodustatud 2-elemendilisi arve on rohkem,kui moodustades hulgast A ja B eraldi 2-elemendilised arvud ja need seejärel ühendiks võtta. tõene,sest ühisosa on osa,mis on olemas nii hulgas A kui B. tõene,sest alamhulgaks olevasse hulka kuuluvad kõik A ja B hulga elemendid. tõene,sest iga hulk on iseenda alamhulk. 4. 920=12157665459056928801 Vastuse sain sedasi,et naturaalarve on 10,aga esimesele kohale sobib 9 arvu,sest 0ga ei saa arvu alustada. Kuna kõrvuti ei tohi olla kaks ühesugust paari,siis ka teisele kohale
Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n ! Erinevad järjestused. 13
!! 3. Numbrite 1, 2, 3, 4, 5 abil saab moodustada 5! erinevat viiekohalist arvu (kui korduvad numbrid pole lubatud) 4. Kui klassis on 27 õpilast, siis nendest saab moodustada 27! järjekorda. Taskuarvutiga arvutades (on olemas n! või x! klahv, kasutada koos funktsiooniklahviga) leiame, et 27! = 1,08 · 1028. Kui ühe järjekorra loomiseks kuluks 15 sekundit, siis kokku kuluks nende järjekordade moodustamiseks 5,2 · 1021 aastat. 2. variatsioonid n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad (hulga elementidest valitakse välja teatud arv elemente (k elementi) ning esitatakse nende väljavalitud elementide kõikvõimalikud järjestused) Näiteks Laual on kaardid tähtedega M U A R I T E L Väikesel Maril lastakse valida 4 tähte ning asetada need üksteise järele. Kui suur on tõenäosus, et ta laob välja oma nime. Lugeda ta veel ei oska. Lähtume klassikalisest valemist. Kõikide võimaluste arv n leidmiseks arutleme järgmiselt.
· valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p(). · Võimatu sündmus sündmus on võimatu, kui tema antud tingimustel ei saa toimuda, p(V) või p(Ø). · Juhuslik sündmus sündmus nimetatakse juhuslikuks, mis antud tingimustes toimub ja võib ka mitte toimuda, p(A), p(B)...
10 ! 10 ! 6 !7 8 9 10 Erinevaid võimalusi on C10 = 4 !(10 - 4 ) ! = 4 !6 ! = 1 2 3 4 6 ! = 210 . 4 Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. n! A kn = (n - k ) ! Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel. Kombinatsioonid Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad (elementide järjestus n! ei ole oluline). C n = k k!( n - k )! Teineteist välistavate sündmuste liitmisteoreem Kahe teineteist välistava sündmuse tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, st P( A B ) = P( A ) + P ( B ) . Tõenäosuste korrutamisteoreem
2) Detaileelarv 1) Ühetegurilised eel. 2) Mitmetegurilised Ligilähedaste puhul täpsus sõltub eelkõige usaldusväärse ajaloolise väite olemasolul. Detail üksikud kulunormid. Ühetegurilisus ühe ainsa parameetri järgi ehitus maksumuse hindamist. Mitmetegurilisus arvestatakse üksikuid konstruktiivseid elemente ja liike, mida omavahel kombineeritakse. Ligilähedased ühetegurilised pindala, ruumala meetod jne. Mitmetegurilised ligilähedased elemendilised maksumusplaanid, ligilähedaste töömahtude meetod ... Lk 16 teine pool Elemendilised maksumused platsil koostatakse esialgse projektlahenduse alusel, loetletakse tähtsamad hoone osad nt maa-alune osa, maa-pealne osa (karkass, katuse konstr., siseviimistlus) Nii saab erinevatele objektidele andmeid koguda, ligilähedaselt eelarvestada. Ligilähedast töömahtude meetodit võib kasutada tellija või ehitaja. Tähtsamatele töödele
Kui mittevektorarvutis sooritatakse operatsioon vektorandmetega, näiteks A +B = C, tsüklilise operatsioonina, kus iteratiivselt liidetakse andmevektorite A ja B elemente, siis vektorarvutis sooritatakse see operatsioon ühe käsuga. Käsukood määrab läbiviidava infoteisenduse (liitmine, lahutamine, korrutamine jms). Ülejäänud väljad käsuvormingus määratlevad, kus asuvad lähteandmed (allikas 1 ja 2), kuhu salvestatakse tulem ning kui pikad (mitme elemendilised) on kasutatavad andmevektorid. Kui programmi tsüklites esineb tingimusi („if“-avaldis), siis ei saa neid programmiosi töödelda vektorrežiimis, kuna töötluse käigus tekivad juhtimissõltuvused. Tüüpilised vektorkäsud 1. Vektor-vektor operatsioon – operatsioon kahe vektormuutuja vahel, tulemiks on samuti vektor; 2. Vektor-skalaar operatsioon – operatsioon vektor- ja skalaarmuutuja vahel, tulemiks on vektor; 3
m m elemendist m elemendi kaupa tähistatakse Vn (või An ) ja arvutatakse järgmiselt: n! Vnm = = n ( n - 1) ( n - 2 ) ... n - ( m - 1) , ( n - m) ! kus n ! = 1 2 3 ... ( n - 1) n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! = 1 ja 0! = 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm = n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse Pn = 1 2 3 ... ( n - 1) n = n ! .
n! Vnm n n 1 n 2 ... n m 1 , n m ! kus n ! 1 2 3 ... n 1 n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! 1 ja 0! 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse Pn 1 2 3 ... n 1 n n ! .
annaabi.ee 
