Valemina, tabelina, graafiliselt, järjestatud arvupaaridena, nool diagrammidega 4. Mida nimetatakse funktsiooni null kohaks ja mida negatiivsus piirkonnaks? Funktsiooni null koht on selline x väärtus kui graafik lõikab x telge. y = null. Negatiivsuspiirkonna moodustavad need argumendi väärtused, mille korral on funktsiooni väärtus negatiivne ehk y on väiksem 0 5. Millal on funktsioon kasvav? Kui suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus 6. Mis on funktsiooni ekstreemumkoht? Argumendi väärtust, mille korral funktsioon saavutab oma suurima või vähima väärtuse, nimetatakse ekstreemumkohaks
väärtus on negatiivne. 9. Kasvamine funktsioon y=(f) on kasvav, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni väärtused (y) kasvavad. 10.Kahanemine funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
Funktsiooni ekstreemumkohad. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine Õpikust lk 61 Tunni eesmärgid Tänase tunni lõpuks Sa... ... tead mõistete "ekstreemumkoht", "kasvamisvahemik" ja "kahanemisvahemik" sisu ning graafilist tähendust. ... oskad kasutada matemaatilisi sümboleid ekstreemumkohtade ning kasvamis ja kahanemisvahemike välja kirjutamiseks graafiku põhjal. ... oskad määrata ekstreemumi liiki. Funktsiooni kasvamine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kasvavaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad. Kui x1 < x2, siis ka f(x1) < f(x2) Funktsiooni kahanemine Funktsiooni y = f(x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni va...
Ekstreemumkoht on argumendi väärtus, mille korral on funkts. Suurim vi vähim väärtus Ekstreemumpunkt On graafiku punkt, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Kasvamispk nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funkts. Väärtus (selles piirkonnas on funkts. Graafik tõusev) Kahanemispk on argumendi väärtuste hulk, mille korral suuremale väärtusele vastab väiksem funkts. Väärtus (graafik langev) Käänupkt- punkt, millest läbiminekul joon muutub kumerast või nõgusast kumeraks. Kumeruspk argumendi väärtuste hulk, kus graafik on kumer Nõgususpk - argumendi väärtuste hulk, kus graafik on nõgus Paarisfunk graafik on sümeetriline y-telje suhtes Paaritufunk graafik on sümeetriline kordinaatide alguspunkti suhtes Funktsioon-eeskiri, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuvamuutuja üks kindel väärtus. Funk määrpk- sõltumatu muutuja väärtuste hulk...
EKSTREEMUMÜLESANDE LAHENDAMINE 1.) Ülesandes toodud maksimaalse või minimaalse suuruse jaoks koostada funktsioon, kus argumendiks on soovitavalt üks otsitav. Kõik teised suurused avaldada selle kaudu. Võib kasutada argumendiks x-i ja funktsiooniks y-i. Võib kasutada ka muid tähistusi. 2.) leida funktsiooni tuletis argumendi järgi. 3.) Leida ekstreemumkohad 4.) Kontrollida, kas saadud ekstreemumkoht (kohad on maksimum- või miinimumkoht teise tuletise järgi. Näide: Olemasolevast materjalist saab valmistada tara pikkusega 16 meetrit. Kolmest küljest on vaja tarastada ristkülikukujuline maatükk laohoone ees. Missuguste mõõtmete korral on tarastatud maatüki pindala suurim? Olgu üks külg x meetrit, ja teine 16-2x meetrit. X x 16-2x Koostan pindala funktsiooni. S= a*b
Matemaatika ,,Funktsioon" test Võrdeline seos muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 I & III a<0 II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni posit...
kus funktsiooni väärtused on positiivsed f(x)>0 Negatiivsuspiirkond - muutuja x väärtuste hulk, kus funktsiooni väärtused on negatiivsed f(x)<0 X + = {x| f(x) > 0} X - = {x| f(x) < 0} Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine läheb x suurenedes kohal xe kahanemiseks või funktsiooni y = f(x) kahanemine läheb x suurenedes kohal xe kasvamiseks, siis on koht xe selle funktsiooni ekstreemumkoht f '(x) = 0 Xmax maksimumkoht, kui f ''(x)<0 Xmin miinimumkoht, kui f ''(x)>0 Xe = {x| f '(x) = 0} Funktsioon kasvab, kui x1 < x2 f(x1) < f(x2) f '(x)>0 Funktsioon kahaneb, kui x1 < x2 f(x1) > f(x2) f '(x)<0 X = {x| f '(x)>0} X = {x| f '(x)<0} Kohad, kus joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks
Negatiivsuspiirkond (X-) need x väärtused, mille korral y on negatiivne; tuleb lahendad f(x)<0. Kasvamispiirkond (X) need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes ka y väärtused suurenevad. Kahanemispiirkond (X) need x väärtused, mille korral x väärtuste suurenedes y väärtused vähenevad. Ekstreemumkoht (Xe) need x väärtused, mille korral y omab oma suurima või vähima väärtuse; ekstreemumkoht x väärtus, ekstreemum y väärtus, ekstreemum punkt (x;y). Paarisfunktsioon f(x)=f(-x) Paaritu funktsioon f(-x)=-f(x) Aritmeetlise jada üldliikme valem: an=a1+(n-1)d an jada viimane liige; n näitab, mitmes liige see on a1 aritmeetilise jada esimene liige (a10=a1+9d) n näitab, palju on jadas liikmeid d jada vahe Aritmeetilise jada esimese n liikme summa: Sn=(a1+an)/2*n | Sn=[2a1+(n-1)d]/2*n
Järelikult kasvamisvahemik on X = ( 1; ) . 3. Leiame funktsiooni ekstreemumid. Ekstreemumkoha tingimus: y´= 0 2 y = 2x - ; x 2 2 x2 - 2 2 x2 - 2 = 0 2x - =0 =0 ; x x x 0 2 x2 - 2 = 0 :2 x 2 - 1 = 0; x 2 = 1 x = 1 x1 = 1 ja x2 = -1 ei sobi määramispiirkonda Ekstreemumkoht on x = 1. Määrame ekstreemumkoha liigi 2. tuletise järgi. Saame ( f ( x) = f ( x) ) = 2x - 2x = 2 + x22 2 f ( 1) = 2 + = 4 > 0 , seega x = 1 on miinimumkoht. 12 Leiame nüüd funktsiooni miinimumi ymin = f(1) = 1 2 ln 1 + 3 = 1 0 + 3 = 4. 4. Lahendame võrrandi f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. x2 + ln2 x = x2 2 ln x + 3; ln2 x + 2 ln x 3 = 0. Lahendame ruutvõrrandi ln x-i järgi:
4 4) Leiame funktsiooni f (x) miinimumkoha vahemikus ( 0; 2) ja arvutame seejärel funktsiooni väärtuse sellel kohal. f ( x ) = cos x + sin x; f ( x ) = - sin x + cos x Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Funktsiooni ekstreemumkoht on f´(x) = 0. cos x + sin x = 0 cos x + cos ( 900 - x ) = 0 + - Kasutame valemit cos + cos = 2 cos cos 2 2 cos x + cos ( 900 - x ) = 0 x + 900 - x x - 900 + x 2 cos cos =0 2 2 2
x max = -1 ; y max (-1) = -3 (- 3) = 9 Pmax (- 1;9 ) Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti funktsiooni uurimise oskust. Põhjendamatult palju eksaminande avas nullkohtade leidmisel funktsiooni avaldises sulud. Ekstreemumkohtadeks pakuti nullkohti, aeti segamini positiivsus(või negatiivsus)piirkond ja kasvamis(või kahanemis)vahemik. Lubamatult palju eksiti ruutvõrrandite lahendamisel. Endiselt on segamini mõisted ekstreemumkoht, ekstreemum ja ekstreemumpunkt. Ei osatud määrata ekstreemumkohtade liiki. 4. (10 punkti) Kaks kiirabiautot kiirustavad sündmuskohtadele, väljudes samaaegselt haiglast ja sõites mööda maanteed vastupidistes suundades. Esimese minutiga läbivad mõlemad autod 1 1 1 km. Iga järgmise minutiga läbib esimene auto km võrra ja teine km võrra pikema
vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis üleminekul väärtusest x = x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f ( x0 ) on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt ( x0 ; f ( x0 ) ) funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit.
iga kriitiline punkt pole ekstreemum. ekstreemumi tingimused: ekstreemumite leidmine: 1) leida esimest järku osatuletised f'x ja f'y 2) lahendada nende võrranditest koosnev süsteem, vastuseks on statsionaarne punkt M(x; y) 3) leida kõik teist järku osatuletised f''xx f''yy f''xy 4) kontrollida, kas statsionaarne punkt on ekstreemum: lahendada f''xxf''yy (f''xy)2 5) leida ekstreemumkoht f (M) 33. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y = F(x) nimetatakse funktsiooni y = f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka tähistatakse f(x)dx = F(x) + C Määramata integraali omadused: a. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette:cf(x)dx = cf(x)dx b. integraal funktsioonide summast/vahest võrdub liidetavate integraalide summaga/vahega
ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f x 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y f x tuletis üleminekul väärtusest x x0 (liikudes vasakult paremale) muudab märki plussilt miinusele (või vastupidi), siis x0 on maksimumkoht (miinimumkoht), f x0 on funktsiooni maksimum (miinimum) ja punkt x0 ; f x0 funktsiooni graafiku maksimumpunkt (miinimumpunkt). Kui tuletis märki ei muuda, siis funktsioonil ei ole sellel kohal ekstreemumit.
fs(P) > 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on miinimumkoht; statsionaarsetes punktides. b. fs(P) < 0 iga P C U(A) (P <> A) korral, siis A on maksimumkoht; Funktsiooni f(x1, ..., xn) tinglik ekstreemum lisatingimusel F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x 1,...,xn), ..., Fn(x1,....,xn) = 0 võib olla 2. Punkt A ei ole ekstreemumkoht, kui mis tahes ümbrus U(A) sisaldab nii punkte milles tuletis fs on positiivne kui ka abifunktsiooni r (x1,...,xn;1,...,r) = f(x1,...,xn) + Sum iFi(x1,...,xn) statsionaarsetes punktides. punkte, milles see on negatiivne. Globaalse ekstreemumi ülesande korral on vaja leida funktsiooni f(x,y) suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
