Nende leidmise algoritm. Funktsioonil f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub niisugune punkti a ümbrus (a − δ, a + δ), kus f(x) ≤ f(a). Funktsioonil f(x) on kohal a lokaalne miinimum, kui leidub niisugune punkti a ümbrus (a − δ, a + δ), kus f(x) ≥ f(a). Neid ekstreemumeid nimetatakse lokaalseteks ekstreemumiteks, aga kui otsime maksimum- ja miinimumväärtusi kogu lõigu [a, b] ulatuses, siis räägime globaalsetest ekstreemumitest. Eesmärgiks on tuletise kasutamine funktsiooni graafiku kuju uurimisel ning maksimum- ja miinimumpunktide leidmisel. Praktilistes ülesannetes optimaalse lahenduse leidmine. Näited: Plekkpurgi optimaalne kuju vähendamaks tema toomiskulusid; kosmosesüstiku maksimaalne kiirendus, millele ka kosmonaudid vastu peaksid; hingetoru raadius köhimise ajal, mis annaks õhule kõige kiirema väljaliikumise võimaluse; millise nurga
Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M > m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ teoreemi põhjal saame f ′(c) = 0. Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile
Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekreeemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Saame . Teoreem on tõestatud. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni graafik sile joon, mille otspunktid asuvad x-
Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f(x) peab v¨ahemalt u¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on u¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f'(c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu.
Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. 11. Caucy teoreem (tõestusega). Teoreem. Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b) diferentseeruvad
Tõestus Kuna on pidev lõigul [a,b] siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse just sellel lõigul. Olgu M suurim ja m vähim väärtus. Kui M=m siis on funktsioon lõigul konstantne, mis tähendab, et tema tuletis Kui siis võib funktsioon oma ekstreemumi saavutada lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Kui ekstreemumid saavutatakse otspunktides siis on x-i väärtus ühes otspunktis M ja teises m, mis läheb vastuollu tingimusega . Funktsioon peab saavutama vähemalt ühe oma ekstreemumitest vahemikus (a,b). Vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum omab funktsioon lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on funktsioon diferentseeruv selles punktis, mistõttu fermat'lemma põhjal saamegi Geomeetrliline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni sile joon, mille otspunktid asuvad x telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral
Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine
Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti vahemikus (a, b). ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne. vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c
või vahemikus (a,b). Oletame, et mõlemad ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises m ning võrratusest Mm tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad, kuid me eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed. Järelikult polnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Saame f(c)=0. Teoreem on tõestatud Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni y=f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A=(a,f(a)) ja B=(b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel
Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu ots- punktides a ja b, ˜oige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ lemma põhjal saame f’(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu.
a ja b. Siis on f(x) v.a.artus .uhes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M = m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b, õige. Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine
(a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f′ (c) = 0. Eeldame, et f on lõigus [a, b] pidev ning vahemikus (a, b) diferentseeruv funktsioon omadusega f (a) = f (b). Selge, et väide kehtib, kui f on seejuures konstantne funktsioon, siis f ′ (x) = 0 iga x ∈ (a, b) puhul. Olgu f mittekonstantne funktsioon. Kuna ta on lõigus [a, b] pidev, siis Weierstrassi teoreemi põhjal on tal selles lõigus nii minimaalne kui ka maksimaalne väärtus. Seejuures vähemalt ühe neist globaalsetest ekstreemumitest, mis sel juhul on ka lokaalne ekstreemum, saavutab funktsioon vahemikus (a, b), olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 6.1 kohaselt f′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahemikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku otspunkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbiv lõikaja on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel vähemalt üks selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on selle lõikajaga paralleelne
¨ hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt
¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M = m tuleneb, et f (x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu otspunktides on v~ordsed (vt tingimus f (a) = f (b) teoreemi s~onastuses!). Tekib vastuolu. J¨arelikult ei olnud oletus, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu ots- punktides a ja b, ~oige. Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt
on diferentseeruv. Kui f (a) = f (b), siis leidub selline c ∈ (a, b), et f ′ (c) = 0. Tõestus. Kui f on seejuures konstantne funktsioon, siis f ′ (x) = 0 iga x ∈ (a, b) pu- hul. Mittekonstantse funktsiooni f korral märgime kõigepealt seda, et Weierstrassi teoreemi kohaselt (vt. teoreem 3.16) on funktsioonil f lõigus [a, b] nii globaalne maksimum kui ka miinimum. Kuna f ei ole konstantne, siis peab vähemalt üks neist ekstreemumitest olema vahemikus (a, b) (selgitada!)z, olgu see punktis c ∈ (a, b) . Lause 4.9 põhjal f ′ (c) = 0. Geomeetriliselt tähendab Rolle’i teoreemi väide seda, et kui lõigus [a, b] pideva ja vahe- mikus (a, b) diferentseeruva funktsiooni f graafiku punkte (a, f (a)) ja (b, f (b)) läbib selline lõikaja, mis on x-teljega paralleelne, siis on nende vahel selline graafiku punkt (c, f (c)) , milles võetud puutuja on x-teljega paralleelne. 4.2
annaabi.ee 
