Eksponentfunktsioon Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=ax a>0 a0 1. Vaatleme juhtu kui a>0 x y=2 x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2| 3 | y |1/8|1/4|1/2| 1 | 2 | 4 | 8 | Funktsiooni uurimine 1. Määramispiirkond X=R 2. Nullkohad X0 3. Positiivsus X+=R Negatiivsus X-=Ø 4. Ekstreemum kohad Xe= Ø 5. Kasvamine ja kahanemine X=R 6. Käänukohad Xk= Ø 7. Kumeruspiirkond X= Ø Nõgussuspiirkond X=R 8. Väärtuste hulk e. muutumis piirkond Y=(0;) 9. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti 0 ja 1 (0;1) ...
Liitfunktsioon: y=f[g(x)] f välimine [g(x)] sisemine ____________________________________________________________________________________________ Liitprotsendiline kasvamine ja kahanemine. Kasvamine a algsumma | p intressimäär | n aastaarv Kahanemine ____________________________________________________________________________________________ Eksponentfunktsiooniks nim. funktsiooni , c kuulub hulka R, a > 0, a 1 x kuulub hulka R Kasvamisvahemikuks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral iga x2 > x1 korral f(x2) > f(x1). Kahanemisvahemikuks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral iga x2 > x1 korral f(x2) < f(x1) Funktsiooni ekstreemumkohtadeks nim. argumendi väärtust, mille korra funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi.
Kondensaatori täislaadimiseks kulub aega praktiliselt viis ajakonstanti: t = 5 see on viis ajakonstanti. Esimese ajakonstandi lõpuks on kondensaatori pinge saavutanud 63% toitepingest. Samamoodi kulgeb tühjakslaadimine. Esimese ajakonstandi lõpuks langeb pinge 63% võrra ehk teisiti öeldes omab väärtuse 37% sellest, mis tal oli täislaetuna. Niisugust pinge muutumise protsessi ajas nimetatakse eksponentsiaalseks ja seda kirjeldavat matemaatilist funktsiooni eksponentfunktsiooniks ja kõverat eksponendiks. Ettekujutuseks: Kui kondensaatori mahtuvus C = 10 µF, siis pinge saavutab 63% väärtuse 10 sekundiga kui takistus R = 1 M, 1 sekundiga kui takistus R = 100 k, 0,1 sekundiga kui takistus R = 10 k. Täispinge saavutatakse siis vastavalt umbes 50, 5 või 0,5 sekundiga. Sama kaua kestab ka tühjakslaadimine. 68 5.7 Elektrivälja energia Kondensaatori laadimisel muundub toiteallikast saadavast energiast osa takistis R soojuseks, osa
y x 1 n 1 y ' = yn = x n = nx n -1. x x ( x n )' = nx n -1 Valem kehtib ka siis, kui x < 0, kui vaid xn omab mõtet. Ülesanne (kodus): Kasutades logaritmimisvõtet leida eksponentfunktsiooni tuletis. 16 Astme-eksponentfunktsioonide tuletis y = xx y = (sin x) x Funktsiooni kujul y = u ( x) v ( x ) , u ( x) > 0 nimetatakse astme-eksponentfunktsiooniks. Astme-eksponentfunktsiooni korral osutub logaritmilise diferentseerimise võte vältimatuks, sest diferentseerimise põhivalemite hulgas ei ole valemit juhuks, kus astme alus ja astendaja korraga muutuvad. 17 Tabel Näide Ülesanne Leida funktsiooni y = (sin x)x tuletis. Lahendus: Funktsioon on määratud, kui sin x > 0, seega y > 0.
Kondensaatori täislaadimiseks kulub aega praktiliselt viis ajakonstanti: t = 5τ see on viis ajakonstanti. Esimese ajakonstandi lõpuks on kondensaatori pinge saavutanud 63% toitepingest. Samamoodi kulgeb tühjakslaadimine. Esimese ajakonstandi lõpuks langeb pinge 63% võrra ehk teisiti öeldes omab väärtuse 37% sellest, mis tal oli täislaetuna. Niisugust pinge muutumise protsessi ajas nimetatakse eksponentsiaalseks ja seda kirjeldavat matemaatilist funktsiooni eksponentfunktsiooniks ja kõverat eksponendiks. Ettekujutuseks: Kui kondensaatori mahtuvus C = 10 µF, siis pinge saavutab 63% väärtuse 10 sekundiga kui takistus R = 1 MΩ, 1 sekundiga kui takistus R = 100 kΩ, 0,1 sekundiga kui takistus R = 10 kΩ. Täispinge saavutatakse siis vastavalt umbes 50, 5 või 0,5 sekundiga. Sama kaua kestab ka tühjakslaadimine. 68 5.7 Elektrivälja energia Kondensaatori laadimisel muundub toiteallikast saadavast energiast osa takistis R soojuseks, osa
Kui teisenduse tulemusena kumbki funktsioon siis pole funktsioon ei paaris ega paaritu. Pöördfunktsioon Pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse antud funktsioonist, kui vahetada x ja y kohad ning seejärel uuesti avaldada y. Pöördfunktsiooni graafikud on summeetrilised sirge y=x suhtes. Eksponentfunktsioon x Funktsioon kujus y=a , kus a>0 ja a ei võrdu 1 ning x on mistahes reaalarv nimetatakse eksponentfunktsiooniks. Negatiivsed arvud puuduvad. Eksponentgraafik ei lõiku x-teljega! Kõik eksponentgraafikud läbivad y-telge punktis 1 a>1 0< a<1 X=R X=R X=R X= Ø Y=(0;) X=Ø Y=(0;) X=R + +
Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) > f (x2). 12. Mis on astmefunktsioon? (lk 7) Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul y = x α, kus α on nullist erinev reaalarv (e astendaja). Näiteks funktsioonid y = x −1 , y = √ x ja y = x 2020 on astmefunktsioonid. 13. Mis on eksponentfunktsioon? Esitada eksponentfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud. (lk 7, 13) Üldiseks eksponentfunktsiooniks ¨ nimetatakse funktsiooni kujul y = ax , kus reaalarv a täidab tingimusi a ei võrdu 1 ja a > 0. Erijuhul, kui a = e = 2,71828182845904523536028747135... (e on nn. Euleri arv), nimetatakse funktsiooni y = ex eksponentfunktsiooniks. NB! Kui 0 < a < 1, siis funktsioon on y = a x on kahanev hulgal R ja kui a > 1, siis funktsioon y = a x on kasvav hulgal R. Eksponentfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk on järgmised: X = R ja Y = (0, ∞) 14
a q n 1
Sn 1 .
q 1
Hääbuva geomeetrilise jada (0
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1);
· y=f(x) ----- y=f(x-a)------- y=f(x-a)+b 4 4 4 x+2 y= y= y= + 1 so y = · x x-2 x-2 x-2 · 11. Eksponentfunktsiooni graafik, omadused- + · y = a , kus a R ja a 1 Eksponentfunktsiooniks nimetatakse x funktsiooni, mis on avalduv kujul · Vaatleme funktsioone , kus a=2 ja a=0,5 · Määramis- ja muutumispiirkond, kasvamine ja kahanemine, punktid, mida läbib, sümmeetriaomadusi · Määramispiirkond kõik reaalarvud · Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud · Graafik läbib punkti (0;1)
p= . o Jaotusfunktsioon on näiteks mõõtmistulemuste graafik, kus mõõtmiste arv läheneb lõpmatusele ning vahemike suurus nullile. Selle tulemusana muutub tulpdiagramm järjest siledamaks. · Matemaatilise ootuse ja dispersiooni avaldumine jaotusfunktsiooni kaudu. o M=. o D[x] = . · Ühtlase jaotuse matemaatiline ootus, dispersioon ja ruutkeskmine hälve. o M=. o D[x] = . o x = . · Eksponentfuktsioon. o Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = , a > 0, a = 1. EF on alati positiivne ja monotoonse käiguga (ainult kasvav või kahanev, min/max puuduvad). Kui a > 1 ja b > 1, siis on EF kasvav. Kui a < 1 ja b > 1, siis on EF kahanev. EF läbib alati punkti (0;1). · Normaalne ehk Gaussi jaotus. o Kujuneb välja siis, kui juhuslik suurus x on mõjustatud paljude asjaolude e faktorite poolt. Piisab juba 4-5 tegurist.
Internetiühendustega arvutid Vastus: Sellise kasvutempo korral oleks juuli lõpus Eestis Interneti ühendust omanud 320 000 arvutit (vt joonis 46). Funktsiooni f (x) ' 2x . Joonis 48 Joonis 47 nimetatakse eksponentfunktsiooniks alusel 2. Jooniselt 49 on näha, et < kui graafik lõikab y -telge ( x = 0), siis y(0) = 20 =1; < liikudes x-telge mööda paremale, s.t. kui x läheneb positiivses osas lõpmatusele, läheneb ka 2x lõpmatusele, s.t. kasvab piiramatult: lim 2x ' 4 . x 64 < lim 2x ' 0 , s.t. kui x läheneb negatiivses osas x 6& 4 lõpmatusele, läheneb 2x nullile. Joonis 49
b) 8.
7-4 Ctalitlus=35000/n, kus n on tööpinkide arv; 5000 kr.
7-5 C=s(a/v+bv), kus s on teepikkus, v kiirus ning a ja b konstandid.
47
Matemaatika ja statistika 2008/2009
7.2 Eksponentfunktsioon
Olgu a mingi positiivne arv, a1. Funktsiooni f kujul
() =
nimetatakse eksponentfunktsiooniks alusel a.
Eksponentfunktsiooni omadusi: y
eksponentfunktsiooni väärtus on positiivne argumendi y=(1/a)x y=ax
iga väärtuse korral;
kui a>1, on eksponenfunktsioon rangelt kasvav, kui
0
Kondensaatori täislaadimiseks kulub aega praktiliselt viis ajakonstanti: t = 5 see on viis ajakonstanti. Esimese ajakonstandi lõpuks on kondensaatori pinge saavutanud 63% toitepingest. Samamoodi kulgeb tühjakslaadimine. Esimese ajakonstandi lõpuks langeb pinge 63% võrra ehk teisiti öeldes omab väärtuse 37% sellest, mis tal oli täislaetuna. Niisugust pinge muutumise protsessi ajas nimetatakse eksponentsiaalseks ja seda kirjeldavat matemaatilist funktsiooni eksponentfunktsiooniks ja kõverat eksponendiks. Ettekujutuseks: Kui kondensaatori mahtuvus C = 10 µF, siis pinge saavutab 63% väärtuse 10 sekundiga kui takistus R = 1 M, 1 sekundiga kui takistus R = 100 k, 0,1 sekundiga kui takistus R = 10 k. Täispinge saavutatakse siis vastavalt umbes 50, 5 või 0,5 sekundiga. Sama kaua kestab ka tühjakslaadimine. 68 5.7 Elektrivälja energia Kondensaatori laadimisel muundub toiteallikast saadavast energiast osa takistis R soojuseks, osa
annaabi.ee 
