See kõige üldisem, mida uurida saab, on liikumine, kehade vahelised mõjujõud ning mitmest kehast koosnevate süsteemide (n. Päikesesüsteem, kristall, aatom) ehitus ehk struktuur. ________________________________________________________________________________ Eksaktne teadus reaalne, olemas olev loodus täpisteadus Empiiriline teadus kogemuslik Kuidas on need mõisted seotud füüsikaga ? Sellepärast et eksaktnes teaduse kirjeldamiseks kasutatakse arve ja andmetöötluseks matemaatika meetoteid. ________________________________________________________________________________ Kas poliitika on osa loodusest
See kõige üldisem, mida uurida saab, on liikumine, kehade vahelised mõjujõud ning mitmest kehast koosnevate süsteemide (n. Päikesesüsteem, kristall, aatom) ehitus ehk struktuur. ________________________________________________________________________________ Eksaktne teadus reaalne, olemas olev loodus täpisteadus Empiiriline teadus kogemuslik Kuidas on need mõisted seotud füüsikaga ? Sellepärast et eksaktnes teaduse kirjeldamiseks kasutatakse arve ja andmetöötluseks matemaatika meetoteid. ________________________________________________________________________________
.....2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne................................................................................ 5 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand..................................................................................................6 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.......................................................................... 7 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand...............................................................................................7 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid................................................ 7 1
ÕIGUSTEABE AS. Tallinn, 2004. Lk 17-18.) Esimese fundamentaalse tasemena on selles süsteemis eristatav nn elutu looduse valdkond. See on valdkond, kus toimuvad protsessid ei põhine juhuslikkusel, vaid on seotud kindlate seaduspärasuste ja seadustega. Jutt on loodusseadustest, millel on teiste korrasüsteemidega võrreldes üldisem tähendus. Neid ei saa muuta, nendega tuleb arvestada. Selle esimese tasemega seonduvalt saame tõdeda, et korra tähistamine elutus looduses on küllaltki eksaktne ja ulatuslikult formaliseeritud. Teine fundamentaalne tase on orgaaniline eluvaldkond, mis ei ole matemaatilis-füüsikaliselt formaliseeritud, kuid siingi esineb reeglipärasus. Nii saab iga elu kord alguse, kasvab, vananeb ja lõpuks sureb. Reeglid, mida inimene on tahtnud ja tahab näha või kehtestada, peavad neid loomulikke mittemuudetavaid asjaolusid silmas pidama. Ja seda tehaksegi. Nii põhinevad näiteks õiguslikud reeglid füüsilise isiku (inimese) teovõimest inimese looduslikul
Kui = 0 või = 1 , siis
on tegi L võrrandiga. Seega eeldame et 0, 1 Toome ya sulgude ette, siis
- 1-
y y y `+ p( x ) y - f ( x) = 0 ning , kui a>0, siis y=0 on üheks lahendiks. Kui
teeme sulus muutujavahetuse z=y1-a ja saame z-i suhtes lineaarse võrrandi
z`+(1+a)p(x)z=(1-a)f(x)
Riccat- võrrand y`+p(x)y+q(x)y2=r(x) Saame lahendada, kui teada üks
konkreetne lahend y* sellisel juhul saab asendusega u=y-y*. Riccat võrrand
teisendada Bernoulli võrrandiks.
Eksaktne DV M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nim. Eksaktseks e. täisD-ga võrrandiks,
kui leidub f-n u=u(x,y) nii, et täisD on kujul du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy st.
u ( x, y ) u ( x, y)
= M ( x, y ) = N ( x, y)
x , y Eksaktse DV lahendamine taandub sobival
kujul f-i u määramisele. Eelame, et M(x,y) ja N(x,y) ning nende osatuletised on
pidevad piirkonnas D=((x,y)/a
(6.3) matemaatiline mudel. Radioaktiivseid aineid iseloomustatakse pooldumisajaga T, pärast mida on järel vaid pool esialgsest ainest. , siit (6.4) 7. Bernouille võrrand Def 7.1 bernouille võrrandiks nim võrrandit, mis omab kuju: (7.1) , kus , . Jagades võrrandi mõlemad pooled yk, saame: Võtame , siis , seega . Asendame (7.2), saame lineaarse võrrandi z suhtes: (8.3) . Praktiliselt lahendatakse Bernouille nii nagu lineaarne võttes . 8. Eksaktne võrrand Def 8.1 Esimest järku dif-võr (8.1) On eksaktne kui on täidetud tingimus: (8.2) Teoreem 8.1 Tingimus (8.2) on piisav ja tarvilik, et leiduks selline funktsioon , et (8.3) . Võrrandi (8.1) vasak pool omandab kuju: (8.4) du=0, mille üldlahendiks on (8.5) . Tuletame meelde joonintegraali potentsiaali mõiste. Vaatleme joonintegraali: (8.6) , kus vektorväli Teoreem 8.2 Joonintegraal (8
parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y’ = f (x; y) integraalkõver. Definitsioon Võrrandi y’= f (x; y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x; C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0; y0) ϵ D korral leidub konstandi C selline väärtus C0, et lahend y = y (x; C0) rahuldab algtingimust y(x0) = y0. Definitsioon Võrrandi y’ = f (x; y) erilahendiks nimetatakse lahendit, mis saadakse üldlahendist konstandi C fikseerimisega. 8.Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega funktsioonide ühelisidusas määramispiirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi: M, N, , Є C(D) Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause:
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on
yh=Ce-p(x)dx 2)Leitakse ühe lin mitte hom. DV konkreetne lahend y*=C(x) e-p(x)dx, kus C(x) on tundmatu suurus,
sõltub x-st. Lagrange´i meetod:y* on konkreetne lahend y'+p(x)y=q(x) võrrandile. * y*'+p(x)y*=q(x). * C´(x) e-
p(x)dx
+C(x) e-p(x)dx(-p(x))+p(x)C(x) e-p(x)dx=q(x). *C´(x) e-p(x)dx=q(x) C(x)=q(x) ep(x)dxdx + C1, valime C1=0 *C(x)
)=q(x) ep(x)dxdx y*=)=q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx * 3)Kirjutatakse üldlahend: y=yh+y*=C e-p(x)dx+q(x) ep(x)dxdx e-p(x)dx.
8. Eksaktne DV. Definitsioon: DV-d M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 nimetatakse eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga
võrrandiks, kui leidub funktsioon u=u(x) nii, et tema täisdiferentsiaal on kujul du(x,y)= M(x,y)dx+ N(x,y)dy *
D= {(x,y):a
1u+b 2 v+ b 3=0 Bernoulli Bernoulli diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul y'+P(x)y=Q(x)y a, diferentsiaalvõrrandi kus P ja Q on teadaolevad argumendi x funktsioonid, mis on pidevad üldkuju vahemikus (c,d), ning a on mingi reaalarv (a!=0, a!=1) Bernoulli võrrandi 1) jagame võrrandit suurusega ya teisendamine 2) muutuja vahetus z=y1-a, z'=(1-a)y-ay' lineaarseks Eksaktne Diferentsiaalvõrrandit kujul M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nimetatakse eksaktseks, kui diferentsiaalvõrrand leidub kahe muutuja funktsioon u(x,y) nii, et võrrandi vasak pool on võrdne selle funktsiooni täisdirefentsiaaliga Eksaktsuse tingimus Kui teadaolevad funktsioonid M ja N ning nende osatuletised M' y ja N'x on pidevad muutujate x,y mingis piirkonnas D, siis iga (x,y)D korral M'y=N'x
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1)
Siis läbi iga punkti Sfäärkoordinaadid: (x0,y0) C D kulgeb parajasti üks diferentsiaalvõrrandi y' = f(x,y) integraalkõver. x = cos sin y = sin sin Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. z = cos Olgu meil sümmeetrilisel kujul diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega M2(x,y) + N2(x,y) <> 0
(x, y) = 0 11. Eksaktne diferentsiaalvõrrand. Seos teist liiki joonintegraaliga. Olgu meil sümmeetrilisel kujul saavutatakse Lagrange’i funktsiooni F(x, y, λ) statsionaarsetes punktides.Järelikult tuleb punkte (x, y), kus f diferentsiaalvõrrand M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 loomuliku eeldusega
küsimuseasetus on alati küsimine õige õiguse või õige õiguse idee järele deontoloogiline küsimuseasetus (Vecchio). Küsimused ntks kunstlik viljastamine vms ja selle õiguslik sisuse õigusfilosoofiliselt ja õigusdogmaatiliselt. Objekt -> vaatlus -> protokoll -> seaduspärasus -> teooria Õigusteaduse uurimise objekt ei ole püsiv, mistõttu puudub teadusele omane invariantsus (on samas invariantsed omadused). Õigusteooria püüab olla loodusteaduslikult eksaktne teadus. 20. Sajandil pidi õigusteadus saama valitsevast positivistlikust õigusfilosoofiast, ühiskondlikke fakte loodusteadusliku täpsusega uurivaks õiguslikuks teaduseks. 7 Kaufmann õigusteooriat ja õigusfilosoofiat eristab esimese orienteeritus õiguslike nähtuste vormilistele ja ja teise suunatus nende sisulistele küsimustele. Marksistlik-leninistlik lähenemine ehk õigusfilosoofia
pikkus- laenu kestus) kalendri ajale? Tegemist on ajamarvestuse erinevate meetoditega. Arvestuse aluseks võib olla · lihtaeg - kuu päevade arvuks loetakse 30 päeva, seega aasta päevade arvuks on 30 x 12 = 360 päeva; · kalendriaeg - kuu päevade arv on võrdne kalendris olevate tegelike päevade arvuga s.o. 365 päeva (erinevus tekib liigaasta korral, kui veebruari kuus on 29 päeva); · eksaktne aeg - aasta päevade arvuks loetakse 365 päeva. Lahendus Leiame tasumisele kuuluva summa lihtaja järgi: 90 K t = K 0 (1 + 1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15745,62 krooni 360 Leiame tasumisele kuuluva summa kalendri aja järgi: 90 K t = K 0 (1 +1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15739,53 krooni 365
pikkus- laenu kestus) kalendri ajale? Tegemist on ajamarvestuse erinevate meetoditega. Arvestuse aluseks võib olla · lihtaeg - kuu päevade arvuks loetakse 30 päeva, seega aasta päevade arvuks on 30 x 12 = 360 päeva; · kalendriaeg - kuu päevade arv on võrdne kalendris olevate tegelike päevade arvuga s.o. 365 päeva (erinevus tekib liigaasta korral, kui veebruari kuus on 29 päeva); · eksaktne aeg - aasta päevade arvuks loetakse 365 päeva. Lahendus Leiame tasumisele kuuluva summa lihtaja järgi: 90 K t = K 0 (1 + 1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15745,62 krooni 360 Leiame tasumisele kuuluva summa kalendri aja järgi: 90 K t = K 0 (1 +1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15739,53 krooni 365
pikkus- laenu kestus) kalendri ajale? Tegemist on ajamarvestuse erinevate meetoditega. Arvestuse aluseks võib olla · lihtaeg - kuu päevade arvuks loetakse 30 päeva, seega aasta päevade arvuks on 30 x 12 = 360 päeva; · kalendriaeg - kuu päevade arv on võrdne kalendris olevate tegelike päevade arvuga s.o. 365 päeva (erinevus tekib liigaasta korral, kui veebruari kuus on 29 päeva); · eksaktne aeg - aasta päevade arvuks loetakse 365 päeva. Lahendus Leiame tasumisele kuuluva summa lihtaja järgi: 90 K t = K 0 (1 + 1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15745,62 krooni 360 Leiame tasumisele kuuluva summa kalendri aja järgi: 90 K t = K 0 (1 +1 × t ) = 15250(1 + 0,13 ) = 15739,53 krooni 365
annaabi.ee 
