Leidsid 19 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika - konspekt". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
loog, muutuja, loogika, karnaugh, disjunktsioon, inversioon, kontuur, konjunktsioon, onna, intervall, loogikafunktsioon, lausearvutus, tehe, avaldise, samaselt, predikaat, ühisosa, arvusüsteem, implikant, tehted, kvantor, algebra, argumentvektor, lauset, loogikatehe, osalise, arvusüsteemi, boole, algterm, lihtimplikant, loogikafunktsiooni, asendadalingvistilise keele abita ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃
• Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0). N: ilmutatud f-nid: y = 2x+1, ilmutamata kujul: x2 + y2 = 1 4. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Funktsiooni y = f(x) graafikuks nimetatakse kõigi niisuguste punktide (x, f(x)) hulka, kus x ∈ X. Lühidalt, Funktsiooni graafik = { (X, f(x)) : x ∈ X } 5
ruumala, mis pealt on piiratud funktsiooni z=f(x,y) graafikuga, alt funktsiooni z=g(x,y) graafikuga ja küljelt Definitsioon 2. Öeldakse, et kahe muutuja funktsioonil on punktis P2(x2, y2) lokaalne miinimum, kui sellel ∭∆ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜌𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul
esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada. Kahendvektori pikkus on tema 2ndjärkude arv. 2. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul? Erinevalt kahendarvudest pole kahendvektoritel järgukaale. 3. Millised kahendvektorid on lähisvektorid? Lähisvektorid on kahendvektorid, mis erinevad teineteisest ühes kahendjärgus. 4. Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulised kahendvektoril? N-järgulisel kahendvektoril on n lähisvektorit. 5. Mis on intervall? Intervall on võrdse pikkusega kahendvektorite hulk võimsusega , milles iga hulgaelemendi jaoks leidub n lähisvektorit. 6. Millised järgud on intervalli olulised järgud? Vektorite need järgud, mille väärtus kõikidel vektoritel on intervalli ulatses konstantne. 7. Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga? Kui intervalli võimsus on , siis n on mitteoluliste järgkude arv. 8. Millest koosneb intervalli vektoresitus? Kuidas ta moodustatakse
Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad: Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused
Kahe muutuja loogikafunktsioonid,Karnaugh,McCluskey Mitu erinevat 1muutuja loogikafunktsiooni on olemas? 4 erinevat. Tabel lk 174 Milline on ainus oluline 1muutuja loogikafunktsioon? Inversioon Kuidas võib nimetada 0 muutuja loogikafunktsiooni? Konstant 1 või konstant 0 Mitu erinevat 2muutuja loogikafunktsiooni on olemas? 16, tabel lk 175-176 Millised 2muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast oma muutujast? F1,f2,f4,f6,f7,f8,f9,f11,f13,f14 Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil? Implikatsioonil on x1-x2 seos, pöördimplikatsioonil vastupidi, x2-x1 Mis on Pierce´i nool? F8, on disjunktsiooni inversioon ja esitatakse märgiga pierci nool. Vt lk 177 Mis on Shefferi kriips?
Vali üks: hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON Vastus 3 ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Vastus 1
Loogikaalgebra, Põhiseosed, loogikafunktsioonid Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole algebra lihtsaim erijuht, kus alushulgaks on kõigest kaheelemendiline hulk {0,1}. Millest loogikaalgebra koosneb? Koosneb loogikaväärtustest 0 ja 1 ning võretehetest konjuktsioon ja disjunktsioon. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada väärtusi ainult hulgast {0,1} Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Nimetatakse konstant 1 ja konstant 0 Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon loogikaavaldis on loogikamuutuja xi, konstante 0 1 ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema muutujate xi väärtustamisel omandab samuti loogikaväärtuse 0 või 1 definitsiooni vaata lk 154
vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p). Kas selliselt kirjeldatud algabra on rühm? A={1,2,3,4}. Ehitada kõikvõimalike tükelduste võre. MATEMAATILINE LOOGIKA Vaatleme loogikafunktsioone f(x1 ,x2 ,...xn), kus nii argumendid kui funktsiooni väärtus kuuluvad hulka {0,1}.Iga loogikafunktsiooni võib esitada tõeväärtustabelina. Näide Hääletusseade. Komisjon, mis koosneb 3 inimesest, hääletab teatava otsuse vastuvõtmise küsimuses. Otsus võetakse vastu lihthäälteenamusega. x1 x2 x3 f(x1, x2, x3 ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
üksühene vastavus nii, et : (M1 S1 ) ( M2 S2 ), kus fi (mj1 ,....,mjk-1)=mjk (fi )((mj1 ),....,((mjk-1 )) = (mjk), mjl M1 , (mjl) M2 , fi S1 , (fi ) S2 . Cantori algebra ja loogikaalgebra on isomorfsed. Ülesanded. · A={0,1,...,p-1}. Operatsioonid : +(mod p) ja x(mod p) (s.o. liitmine ja korrutamine mooduliga p). Kas selliselt kirjeldatud algabra on rühm? · A={1,2,3,4}. Ehitada kõikvõimalike tükelduste võre. MATEMAATILINE LOOGIKA Vaatleme loogikafunktsioone f(x1 ,x2 ,...xn), kus nii argumendid kui funktsiooni väärtus kuuluvad hulka {0,1}.Iga loogikafunktsiooni võib esitada tõeväärtustabelina. 8 Näide Hääletusseade. Komisjon, mis koosneb 3 inimesest, hääletab teatava otsuse vastuvõtmise küsimuses. Otsus võetakse vastu lihthäälteenamusega. x1 x2 x3 f(x1, x2, x3 ) 0 0 0 0
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat Samaselt tõene predikaat: predikaat, mis kehtib kogu määramispiirkonnas Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas
Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted.
väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B. o Disjunktsioon (märk ∨) väljendab seost „või“. Näiteks „Helen laulab või Mart laulab“ on valemkujul A ∨ B. Sidesõna „või“ kasutatakse siin mittevälistavas tähenduses: „Kas A või B või mõlemad“. Igapäevases keeles on käibel ka välistav „või“: „Kas A või B, 1
......................................................................................................... 18 4.1 Dioodelement JA......................................................................................................... 18 4.2 Transistorelement EI ehk inverter................................................................................ 19 4.3 TTL (transistor-transistor loogika) JA-EI...................................................................... 19 4.4 MOP loogika................................................................................................................ 20 4.5 n-MOP loogika............................................................................................................. 20 4.6 Komplementaarne MOP loogika.................................................................................. 20 5 Kombinatsioonseadmete süntees...................................................................................... 22
teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid Paljudes matemaatika lausetes esinevad sõnad ,,kõik," ,,iga," ,,leidub," ,,eksisteerib," ,,on olemas," ,,vähemalt üks.". Osa neist lausetest on tõesed, osa väärad. Selliste lausete kirjutamisel kasutatakse loogikas kahte märki. Üks neist on olemasolu kvantor (loetakse ka ,,leidub"), teine üldisuse kvantor (loetakse ka ,,iga"). Kvantori märgi taha tuleb alati kirjutada muutuja, millele see kvantor rakendub. Näide: x, x3 - 27 = 0 tähendab, et leidub x, mille korral x3 - 27 = 0. Üldisel kujul: ,,Leidub x, mille korral kehtib P(x)" ehk ,,vähemalt ühel objektil x on omadus P(x)" ,,Leiduma" = leidub vähemalt üks objekt (s.t võib leiduda ka mitu), mis rahuldab antud tingimust. Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks, !x , 2x - 4 = 0.
nt {0n1n | n>0 } vt üleval. Lõpliku magasinmäluga automaadi poolt aktsepteeritav keel on kontekstivaba. KV keelte hulk ongi see hulk keeli, mida pinuautomaadid aktsepteerivad. 12 Ühe olekuga pinuautomaatide ja Greibachi mõttes normaliseeritud KV-grammatikate ekvivalentsus. Teoreem: Iga pinuautomaadi M jaoks leidub ühe olekuga M′, nii et nad aktsepteerivad samu keeli. T: teeme palindroome (aiassadassaia) aktsepteeriva automaadi, kogu olekute loogika on asendatud magasini panemise ja sealt võtmise loogikaga. Teoreem: Ühe olekuga pinuautomaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L(M)=L(G). DEF: KV grammatika on Greibachi normaalkujul, kui tema produktsioonid on kujul A→aA1A2…An või A→a (muu on tühi sõne) või kujul S → ε, kui keelde L (G) peab kuuluma ka tühi sõne. Iga KV grammatika on teisendatav Greibachi normaalkujule. T: 1) grammatika peab olema Chomsky nk-l. 2) mitteterminaalid nimetatakse ümber A1-ks, A2-ks jne
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; • mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; • teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada;
Loogilist liitmist nimetatakse ka disjunktsiooniks. Loogiline eitus (EI). EI-funktsioonil on argumendi vastandväärtus. Kui argument on 1, siis funktsioon võrdub 0 ning vastupidi. EI-tehet tähistatakse kriipsuga sümboli peal, näiteks argumendi x eitus on x . Loogilist eitust nimetatakse ka inversiooniks. Loetletud kolm loogikatehet moodustavad loogiliselt täieliku süsteemi, mida rakendades saab realiseerida mis tahes loogikafunktsiooni. Kõiki kolme loogika põhifunktsiooni on loogikaalgbra reeglite alusel võimalik realiseerida ainult üht tüüpi loogikaelementide kas NING-EI või VÕI-EI abil. Järelikult võib NING-EI- ja VÕI-EI-elemente ning tehteid nendega nimetada universaalseteks loogikaelementideks ja -teheteks. Lisaks põhifunktsioonidele leiavad kasutamist mitmed loogika tüüpfunktsioonid, nagu alternatiiv, ekvivalentsus, implikatsioon jt. Niisuguste funktsioonide ja elementide olemasolu lihtsustab loogikalülituste sünteesi
Tallinna Polütehnikum Energeetika õppesuund Rein Kask ELEKTRIAJAMITE JUHTIMINE Õppevahend TPT energeetika õppesuuna õpilastele Tallinn, 2007 Saateks Erialaainete õpikute ja muude õppevahendite krooniline puudus on juba palju aastaid raskendanud kutsehariduskoolide õpilastel omandada erialaseid teadmisi. Käesolev kirjatöö püüab mingilgi määral leevendada seda olukorda Tallinna Polütehnikumi energeetika õppesuuna õpilastele sellise õppeaine kui ,,Elektriajamite juhtimine" õppimisel. Elektriajamid on üheks põhiliseks elektritarvitite liigiks ja neid kasutatakse laialdaselt kõikides eluvaldkondades. On selge, et tulevased elektriala spetsialistid peavad neid hästi tundma ja oskama neid ka juhtida. Elektriajamite juhtimine ongi valdkonnaks, mida käsitleb käesolev õppevahend. Selle koostamisel on autor lähtunud põhimõttest selgitada probleeme nii põhjalikult kui vajalik ja nii napilt kui võimalik siit ka õppe-
annaabi.ee 
