Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2 III lõikuvad a1/a2 cos(fii)=s*t/|s|*|t| = s1*t1+s2*t2/(ruutjuur s12 + s22) + (ruutjuur t12 + t22)
Kahe sirge lõikumine Kattuvad: s t BA Sirged on paralleelsed: s t BA Sirged lõikuvad: s t D= 0 Sirged on lõikuvad ja risti: t s = 0 Kiivsirged: s t D 0 Sirged on kiivsed ja risti: t s = 0 6. On antud sirged s = ( 3; 2; 4) B(5; 1; 4) t = ( -9; 4; 0) A( -7; 3; 8) BA = ( -12; 2; 4) = 0 Sirged lõikuvad. Leian lõikepunkti koordinaadid: Lõikumise hetkel on mõlema sirge koordinaadid võrdsed. s = -1 t = -1 L( 2; -1; 8) Tasandite lõikumine A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Ühtivad: n m Paralleelsed: Lõikuvad: m n Risti: m n m n m n = 0 7. Olgu antud 2 tasandit : 2x 3y + 2z = 0 ja : 5x 2y 8z + 5 = 0 m = ( 2; -3; 2 ) n = ( 5; -2; -8) m n = 0 Tasandid lõikuvad ja on risti. Toon sisse lõikesirge muutuva punkti. P0( x; y; z ) z = t 5 I 2 II : -11y = -26t + 15 2 I 3 II : -11x = -28t + 17 z = t Punkti kaugus tasandist
Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori .
5) 3 külje ja siseringjoone raadiuse kaudu a +b +c S = pr , p = 2 6) 3 külje ja ümberringjoone abil abc A1x + B1y + C1 = 0 S= L( x 0 ; y 0 ) 4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand
cosfi S-rööpkül pindala cosfi=h/|z|=>h|Z|cosfi 2)Kolme vektori korrutise segekorrutise absväärtus on
võrdne nende vektoritele ehitatud rööpk ruumalaga V=|(x,y,z)| 3)Kolme vek segakor on võrd 0ga
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
x=3 lõikepunkt y-teljega (0;-1,2) x=0 2 0-5y=6 -5y=6 |:(-5) y=-1,2 9.Kahe tundmatuga Ül.930 lineaarvõrrandisüsteem - üldkuju Lahend tuleb leida antud jooniselt. a1x+b1y=c1 3x+y=4 a2x+b2y=c2 2x-y=1 a1,b1,c1,a2,b2,c2 antud arvud; Sirgete lõikepunkti koordinaadid on (1;1), leida võrranditele ühine lahend ehk seega võrrandisüsteemi lahend on x=1 süsteemi lahend; lahendusvõtted: y=1 1)liitmisvõte 2)asendusvõte 3)graafiliselt lahendamine NB lahendama saab hakata siis, kui süsteem on normaalkujul 10
Paralleelsed s || t Lõikuvad st={A} 36 Ristuvad Ühtivad s=t (lõikumise s t erijuht) Olgu kaks sirget võrranditega s: a1x + b1y + c1 = 0 ja t: a2x + b2y + c2 = 0. Võrrandite järgi on võimalik määrata sirgete vastastikulist asendit. a1 b1 c1 1) s || t = a2 b2 c2 Näiteks: 3x + 2y + 5 = 0 || 6x + 4y 1 = 0 a1 b1 c1 2) s=t = = Näiteks: 10x + 6y + 4 = 0 = 5x + 3y + 2 = 0 a2 b2 c2 a1 b1 3) s lõikub t-ga
0 0 pole lahendeid. a1 b1 c1 Olgu k, siis a1 = ka2, b1 = kb2 ja c1 = kc2. a2 b2 c2 479. Lahendada võrrandisüsteem. Võrrandi a1x + b1y = c1 võime nüüd esitada kujul ka2x + kb2y = kc2. ¦ x y 5 0 ¦3 x 4 y 12 ¦2 x 3y 18 a) § b) § c) § Viimasel võrrandil on samad lahendid mis võrrandil a2x + b2y = c2
Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014 6 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAARVÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDAMINE Võrrandisüsteemil a1x b1y c1 a2 x b2y c2 on üheselt määratud lahendid puuduvad, kui on lõpmata palju lahendeid, lahendipaar (x0; y0), kui a1 b c kui 1 1 a1 b1 c1 a1 b a2 b2 c2 1 a2 b2 a2 b2 c2
(xdu + udx) = x((M(1,u) + uN(1,u))dx + xN(1,u)du) = x+1(M(1,u) + uN(1,u))((dx/x) + (N(1,u)/(M(1,u) + uN(1,u))du) Kui funktsioonid x = x(u,v) ja y = y(u,v) on diferentseeruvad punktis P(u,v) ning funktsioon z = z(x,y) on diferentseeruv punktis Homogeenseks taanduv DV : Reaalarvuliste kordajatega ak, bk, ck, kus c12 + c22 <> 0 ja a1/a2 <> b1/b2, võrrand dy f((a1x + b1y + (x(P),y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P),y(P)) = z(u,v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu, zv = zxxv + zyyv. c1)/(a2x + b2y + c2))dx = 0 on võimalik taandada homogeenseks võrrandiks asendustega x = u + , y = v + . Tõestus: Me peame leidma tuletise du(t)/dt = = lim 0 ((+ )-()) / . Kuna vastavalt eeldusele u = f(x) on
1.1 qualisign 2.1 icon 3.1 rhema (adum) 1.2 sinsign 2.2 index 3.2 dicent (nending) 1.3 legisign 2.3 symbol 3.3 argument Ikoonilised märgid võivad olla ainult terminid, indeksid võivad olla terminid ja laused, sümbolid võivad olla kõik kolm. Märkide tüpoloogia IKOON Sarnasus: näib, kõlab, tundub, maitseb, lõhnab samamoodi. Diagramm Foto, joonis Metafoor Algebraline võrdus a1x+b1y=n1 a2x+b2y=n2 Märkide tüpoloogia INDEKS tähistaja ja tähistatava vahel on otsene füüsiline või põhjus-tagajärg suhe Looduslikud märgid: suits, jalajälg, kaja, lõhn, maitse Meditsiinilised sümptomid mõõteriistad Signaalid (nt koputus) Viidad, deiktilised sõnad Salvestused Indeksis sisaldub alati ka ikoon Märkide tüpoloogia SÜMBOL suhe on arbitraarne või konventsionaalne Keelemärgid Tähestik Numbrid Liiklusmärgid
annaabi.ee 
