vasakule ? UJUPUNKTARVUD (ujukomaarvud) UPA / UKA - floating point numbers 1. Millest koosneb ujupunktarv (ujukomaarv) ? 2. Mis on kinnispunktarv (KPA) ? 3. Mis on ujupunktarvu komponentide nimed ? 4. Kas mantiss on täisarv või murdarv ? 5. Kas astendaja on täisarv või murdarv ? 6. Millise tähega tähistatakse tavaliselt mantissi ja millise tähega tähistatakse tavaliselt astendajat ? 7. Kuidas leitakse/arvutatakse ujupunktarvu väärtus (ehk kuidas toimub astendaja rakendamine mantissile) ? 8. Millega võrdub ujupunktarvu väärtus, kui tema astendaja on 0 ? 9. Kumb on pikem (ehk koosneb rohkematest järkudest): kas mantiss või astendaja? 10. Mis määrab ujupunktarvu täpsuse (ehk määrab millise "sammuga" suudab UPA formaat esitada arvväärtusi)? 11. Mis määrab ujupunktarvu diapasooni (ehk määrab suurima ja nullilähedaseima arvu, mida
13. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nim irratsionaalaruks. 14. Reaalarvu hulga moodustavad ratsionaalsed ja irratsionaalsed arvud. 15. P% arvust a on 16. Kui p% on B, siis . 17. Arv B moodustab arvust A . 18. Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nim selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet. 19. Kokkuleppeliselt ei kirjutata astendajat 1. 20. Juurijat 2 ei kirjutata kokkuleppeliselt. 21. Võrdsete aluste astmetega korrutamisel astendajad liidame ja saadud summaga astendatakse astme alus. 22. Võrdsete aluste astmetega jagamisel astendajad lahutame ja saadud vahega astendatakse astme alus. 23. Astme astendamisel astendajad korrutame ja saadud korrutisega astme alus astendatakse. 24. Korrutise astendamisel käib aste mõlema korrutise kohta. 25. Murru astendamisel astendatakse nii lugeja kui ka nimetaja. 26
Logaritmid 1. Logaritmi mõiste Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse astendajat x, millega alust a astendades saadakse arv b. Sümbolites: log a b=x a x =b . See võrdus seob omavahel kolm arvu. Neid nimetatakse järgmiselt: arv a on logaritmi alus, arv b on logartmitav ja arv x on logaritm. Seejuuures a > 0, a 1 b > 0; x R . Näiteid: 1) log 2 8=3 , sest 23 = 8. 1 1 2) log 3 =-1 , sest 3-1= . 3 3 1 1 3) log 36 6= , sest 36 2 =6 .
b b (a ) m n =a mn -n n a b bn = = n b a a m a = a n n m Juurte omadused. Tehted juurtega Juur korrutisest võrdub tegurite juurte korrutisega. n a1 a2 ... ak = n a1 n a2 ...n ak Juur murrust võrdub murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. a na n =n b b , kui b0 Juurte omadused. Tehted juurtega Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. np a mp = a n m Võrdus kehtib tingimusel, kui a>0 Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. m n a = mn a Juurte omadused. Tehted juurtega Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga. ( a) m m n
4 4 2 4 16. 4. Juure juurimisel korrutatakse juurijad m n a mn a. Näide 3 4 6 12 6; Tehted juurtega. 5. Juure taandamise ja laiendamise valem: kn a km n a m . Astme juurimisel võib astendajat ja juurijat jagada või korrutada ühe ja sama arvuga Näide 6 a 2 3 a; 4 64 4 26 23 2 2; 2 4 4. x 3 x 6 x 3 6 x 2 6 x 5 .
5 1024 52 1024 10 1024 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Tehted juurtega (III) 5. Juure taandamise ja laiendamise valem: kn a km n a m . Astme juurimisel võib astendajat ja juurijat jagada või korrutada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Näited 1) 6 a2 6/ 2 a 2 / 2 a; 3 2) 4 64 4 26 4 / 2 26 / 2 23 221 22 21 22 21 22 2 2 2. 3) 2 22 212 4 4. 4) x 3 x 23 x13 32 x12 6
10) 1 20) b -1 x -3 6. Lihtsusta avaldis ilma negatiivset astendajat kirjutamata. 1) a(m + n)-5 a-1(m + n)6 2) (x - y)-4 a(x - y)5a-2 3) (2k + 1)2 (2k + 1)-3 4) (3k - 2)-2 (3k - 2)3 1 1 2 - 3 3 8 1)8 + 3 3
5)Juure juurimisel tuleb korrutada juurijad
Arvu logaritm
b
Olgu avaldis a =c
b
1) kui on antud a ja b, siis c=a
b
2) kui on antud b ja c, siis a=c
b
3) kui on antud a ja c, siis b=loga
a-logaritmi alus
b-logaritmitav
c-arvu b logaritm alusel a
Antud arvu logaritmiks antud alusel nimetatakse astendajat, millega tuleb astendada antud
alust, et saada antud arv.
Naturaallogaritm- logaritmi aluseks on arv e.
Negatiivsetel arvudel ja 0 puudub logaritm. Logaritmi alus a on 0
a Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n a mn a Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. 5. a n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga.
a 2n a Tehted juurtega: 1. n a b n a n b Juur korrutisest = tegurite juurte korrutisega. n a a 2. n Juur murrust = murru lugeja ja nimetaja juurte jagatisega. b n b np 3. a mp n a m Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat korrutada ühe ja sama naturaalarvuga või jagada nende ühise teguriga. 4. m n a mn a Juure juurimisel juurijad korrutatakse ja tulemusega juuritakse antud juuritav. 5. a n m n a m Juure astendamisel astendatakse juuritav ja tulemus juuritakse antud juurijaga.
(2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat jagada nende ühisteguriga või korrutada ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks. · Koondada saab vaid summas, mille liidetavate hulgas leidub sarnaseid juuravaldisi 1.14 Astme mõiste üldistamine 1.15 Tehted astmete ja juurtega Avaldised 2.1 Ratsionaalavaldised
Lihtsuse mõttes loeme gaasi hulga võrdseks ühe mooliga ( ). Saame: . See kujutab lõigukest adiabaatilist protsessi pV-diagrammil kujutavast kõverast. Kogu kõvera saame, eraldades muutujad ning integreerides: Kui asendada siia olekuvõrrandist T=(pV)/R, saame , mis ongi adiabaadi võrrand, e. Poissoni võrrand. Astendajat (moolsoojuste suhe) nimetatakse adiabaadi astendajaks ja teda on lihtne leida vabadusastmete arvu i järgi: . · Ideaalse soojusmasina kasutegur (tuletusega, Carnot' protsessi abil). Oma valemi tuletamisel lähtus Carnot' asjaolust, et suvalist kinnist tsüklit pV- diagrammil saab esitada lõpmata väikeste, suvaliselt ülesehitatud tsüklite summana täpselt samuti, nagu tehakse matemaatikas pindintegraalide arvutamisel
a ( a) ( 8) m m 4 3) n = n Näiteks: 3 84 = 3 = 24 = 16 n a m = Kn a Km Näiteks: 3 2=64 Juurijat ning juuritava astendajat võib korrutada (juure laiendamine) või jagada (juure taandamine) ühe ja sama naturaalarvuga. Näiteks: 3 2 32 = 3 2 25 = 6 22 2 = 6 22 6 15 215 = 6 217 = 6 26 26 25 = 4 6 2 5 4) m n a = mn a Näiteks: 3 5 4 = 15 4 Juurte juurimisel võime juurijad korrutada ning saadud tulemusega juurida antud juuritavat.
tegemiseks. pV^k = const. (V on astmel k) const, U = A+Q See ülal toodud konkreetne võrrand on Q = U+A' tuletatud ideaalse gaasi olekuvõrrandist. See ongi adiabaadi võrrand, mida nimetatakse ka 3. Töö isotermilises protsessis: kui gaas saab Poissoni võrrandiks. soojust, siis ta teeb positiivset tööd. Kui gaas Astendajat (moolsoojuste suhe) annab soojust keskkonnale, siis ta teeb nimetatakse adiabaadi astendajaks ja teda on negatiivset tööd. lihtne leida vabadusastmete arvu järgi: et const, siis ja T = 0 C p = aine soojusmahtuvus konstantsel rõhul 0 = Q+A C V = aine soojusmahtuvus konstantsel ruumalal Q = A'
seos, mis näitaks, kuidas muutub põhiühikute muutmisel meid huvitava suuruse tuletatud ühik. Niisuguseid seoseid kutsutakse dimensioonvalemiteks. Dimensioonvalem - matemaatiline avaldis, mis näitab, mitu korda muutub tuletatud ühik, kui põhiühikute muutused on ette antud. Üldkujul võib dimensioonvalemi üles kirjutada järgmiselt: dim Y = L M T I N J . NB! Tähised kirjutatakse alati sellises järjekorras. Kui mõni tähis on puudu, siis astendajat 0 ei kirjutata. Mitmete tuletatud ühikute dimensioonvalemid on toodud tabelites 2 ja 3. Tabel 2. Mõned erinimetusega tuletatud mõõtühikud ja nende dimensioonvalemid Suurus Tähis Mõõtühik Ühiku SI dimensioonvalem nimetus Sagedus f Hz herts dim f = T-1 jõud, kaal F N njuuton dim F = L M T-2 rõhk, meh
protsessil on jääv suurus. Vahemikus 1 < n < k on cpol väärtus negatiivne. See tähendab, et vaatamata soojuse juurde andmisele gaasi temperatuur alaneb suure paisumise tõttu. Polütroopsel gaasil komprimeerimisel (kokkusurumisel) temperatuur tõuseb, kuid mitte nii järsult kui adiabaatilisel komprimeerimisel, kuna esineb soojuse kadu (ära andmine). Kui on teada polütroopse protsessi alg-ja lõppparameetrid (p1,v1 ja p2,v2) siis polütroobi astendajat saab arvutada: n = (lgp2 lgp1) / (lgv1 lgv2) (87) Olenevalt polütroobi astendaja väärtusest jagatakse termodünaamilised protsessid kolme rühma (joonis 13a). Joonis 13a. Termodünaamiliste protsesside rühmad pv-diagrammil. I rühma moodustavad protsessid, mis asetsevad isobaari ja isotermi vahel. Selle rühma protsessides kulub protsessi antud soojus nii gaasi siseenergia suurendamiseks kui ka välistöö tegemiseks
ehk mille korral kehtib võrrand Eksponentsiaalfunktsioon erinevatel alustel Nägime juba, et eksponentsiaalfunktsiooni käitumine sõltub tema alusest . Huvitaval kombel võime aga tegelikult kõiki eksponentsiaalfunktsioone kirjutada ka ühel ja samal alusel – peame selle jaoks lihtsalt astendajat muutma. 284 Näiteks funktsiooni võime kirjutada alusel funktsioonina ning alusel eksponentsiaalfunktsioon funktsioonina , sest ühtepidi ja teisalt . Üldisemalt, kui tahame kirjeldada funktsiooni alusel , peame lihtsalt otsima välja arvu nii et . See on iga positiivse reaalarvu korral ka võimalik, kuna eksponent-
annaabi.ee 
