1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu.
nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks. Kahte maatriksit nimetatakse sarnasteks maatriksiteks, kui leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla
nulliga 9) Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid) Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed
ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis
ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis
Osatuletise geom. Interpretsioon: a) Q=Q(K;L) toodangu funk. b) = Q K [MPPK] K Q = QL [MPPL] c) K=K0 märamis punktist jäävad alles punktid lõigul K0B fikseeritud K L tasand K0. QL osatuletis= kõvera tõus K0CDA. TPPL- kõver fixeeritud kapitali taseme K=K0 korral. 13. Jacobi determinandid e jakobiaanid ridades kõik seosed, veerud osatuletised vastava muutuja järgi Maatriksi astakuks nim arvu r, kui maatriksi ridade ja ridade ja veergude kustutamise teel maatriksi elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui vähemalt üks maatriksi r-järku determinantidest erineb nullist, kõik kõrgemat järku det-d aga võrduvad 0ga, siis öeldakse, et selle maatriksi astak on r. Tähis r(A). 14
..; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema kõrgeimat järku nullist erineva miinori järku; tähis: r(A) = rank(A) Maatriksi ridade elementaarteisendused (veergude puhul analoogilised): 1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja
.. amn Definitsioon 2.6 Valime maatriksist A välja k suvalist rida ja k suvalist veergu, k m, n. Sel juhul nende ridade ja veergude ühistest elementidest moodustatud determinanti M nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks. 18 2.5. Lineaarvõrrandisüsteemid Definitsioon 2.7 Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku. Maatriksi astakut tähistatakse ka rank(A). Maatriksi astaku leidmiseks saab kasutada neid samu ridade ele- mentaarteisendusi, mis pöördmaatriksi leidmise juures. Selleks teisen- datakse maatriksis kõik elemendid ühele poole peadiagonaali nullideks. Elementaarteisendusi kasutades maatriksi astak ei muutu. 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid Vaatleme võrrandisüsteemi kujul
19. 4 4.20. 4.21. 5. Maatriksi astak. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a m3 Olgu antud maatriks A = m1 . Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r.
Maatriksi astak. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Olgu antud maatriks A = . ... ... ... ... a am2 ... a m 3 m1 Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu. Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks. Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r.
¨ steemides VS-i k~ oikides baasalams¨ usteemides on u ¨hepalju vektoreid. T~oestus. Teame, et VS-i lineaarne kate on vektorruum. V¨ aide j¨ a- reldub teoreemidest 11.2 ning 22. 11.4 Vektorisu ¨ steemi astak VS-i astakuks nimetatakse vektorite arvu tema baasalams¨ usteemis. M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 11.3. 11.5 Teoreem vektorisu ¨ steemi astakust VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi lineaarse katte m~ o~otmega. T~ oestus. J¨areldub teoreemist 11.2. VI
annaabi.ee 
