tagaj¨arjel v~onkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨aheneb arvule a. Vaatame kuidas oleks v~oimalik sellist l¨ahenemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- ¨ v~oimalus on j¨argmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti u jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.1. Edasi valime mingi 27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨ artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0
tagaj¨arjel v~onkumine sumbub, st vedru pikkus x l¨aheneb arvule a. Vaatame kuidas oleks v~oimalik sellist l¨ahenemisprotsessi matemaatilistes terminites kir- ¨ v~oimalus on j¨argmine. Valime mingisuguse tasakaalupunkti u jeldada. Uks ¨mbruse, n¨aiteks (a - 0.1, a + 0.1). Kuna v~onkumine sumbub, siis mingist ajahetkest (st x v¨a¨artusest) alates k~oik j¨argnevad vedru pikkuse v¨a¨artused x j¨a¨avad vahemikku (a - 0.1, a + 0.1), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.1. Edasi valime mingi 27 teise, v¨aiksema raadiusega u ¨mbruse, nt (a - 0.01, a + 0.01). Arvestades j¨allegi seda, et v~onkumine sumbub, leidub mingi teine, eelnevast suurem ajahetk ja sellele vastav x v¨a¨artus nii, et k~oik j¨argnevad x v¨a¨artused j¨a¨avad vahemikku (a - 0.01, a + 0.01), st rahuldavad v~orratust |x - a| < 0.01
Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a
2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste.
kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
y f (x, y) = C x 8) Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) nimetatakse muutuva suuruse P = (x1 , x2 , . . . , xm ) piirv¨a¨ artuseks kui iga etteantud kuitahes v¨aikese positiivse arvu korral saab n¨aidata sellist suuruse P v¨a¨artust, millest alates k~oik j¨argnevad muutuva suu- ruse v¨a¨artused kuuluvad punkti A u ¨mbrusesse U (A, ). 9) Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused? 1. Suurus P l¨aheneb punktile A siis ja ainult siis kui suuruse P ja punkti A vaheline kaugus l¨aheneb nullile, st P A |P A| 0 . 2
Vi- ite korral sama punkti piires ei lisata peat¨ uki ja punkti numbrit. Hulga elementide loetelus v~ oi punkti koordinaatide puhul kasutatakse eraldajana tavaliselt koma, n¨aiteks {a, b, c} ja (x, y) . Kui hulga elementideks v~oi punkti koordinaatideks on arvud, siis v¨a¨ararusaamise v¨ altimiseks kasutatakse eraldajana semikoolonit, n¨aiteks {-2; 3; 11} ja (3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk;
20 2. PERMUTATSIOONID See paragrahv on vajalik ainult j¨argmise paragrahvi jaoks. Meie uuri- misobjektiks on naturaalarvude alamhulk Nn , erijuhul n¨aiteks N1 ja N2 . Tegelikult v~oib hulga Nn asemel v~otta mistahes n erinevast naturaalarvust koosneva hulga Hn . T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral. "Rivistame" hulga Nn arvud u ¨les, n~oudes, et selles rivistuses k~oik arvud esinevad ja seejuures ainult u ¨ks kord. Igat sellist u ¨lesrivistust nimetame permutatsiooniks hulga Nn elementidest . Permutatsiooni esitame me kujul 1 2 . . . n . (2.1) N¨aiteks hulga N1 abil saab moodustada ainult u
20 2. PERMUTATSIOONID See paragrahv on vajalik ainult j¨argmise paragrahvi jaoks. Meie uuri- misobjektiks on naturaalarvude alamhulk Nn , erijuhul n¨aiteks N1 ja N2 . Tegelikult v˜oib hulga Nn asemel v˜otta mistahes n erinevast naturaalarvust koosneva hulga Hn . T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras h1 , h2 , ..., hn abil. Seega Hn = {h1 , h2 , ..., hn }, kus h1 < h2 < ... < hn . Meie j¨argnevad arutlused on antud, kui hulga Hn osas on hulk Nn . Analoogiliselt saab need arutlused kirja panna hulga Hn korral. ”Rivistame” hulga Nn arvud u ¨les, n˜oudes, et selles rivistuses k˜oik arvud esinevad ja seejuures ainult u ¨ks kord. Igat sellist u ¨lesrivistust nimetame permutatsiooniks hulga Nn elementidest . Permutatsiooni esitame me kujul α1 α2 . . . αn . (2.1)
orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B. oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend. T~oepoolest A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis Y = I Y = (A-1 A)Y = A-1 (AY ) = A-1 B Siit j¨areldub, et A-1 B on v~orrandi AX = B ainus lahend. Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist AX = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 vasakult. J¨argnevad laused t~oestatakse analoogiliselt. 18 II. Maatriksarvutus 6.2 Tundmatu maatriks X on korrutises vasakul Lause 17. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi XA = B ainus lahend X = BA-1 . Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist XA = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 paremalt. 6.3 Tundmatu maatriks X on korrutises keskel Lause 18. Regulaarsete maatriksite A, B korral on v~
A on kinnine. J¨argnevalt iseloomustatakse kompaktsust tsentreeritud hulkade s¨ usteemi m˜oiste abil. Definitsioon 7.6 Olgu S mis tahes hulk ja S tema teatav ¨ alamhulkade hulk, S ⊂ P(S). Oeldakse, et S on tsentreeri- tud hulkade s¨ usteem hulgal S, kui iga l˜opliku arvu hulgast S v˜oetud hulga S alamhulkade u ¨hisosa on mittet¨uhi, st iga n ∈ N ja A1 , . . . , An ∈ S korral ∩ni=1 Ai = ∅. Teoreem 7.29 J¨argnevad kolm v¨ aidet topoloogilise ruumi X kohta on samav¨a¨arsed: 10 X on kompaktne; 20 kui F on tsentreeritud hulkade s¨ usteem ruumil X, mille k˜oik elemendid on kinnised, siis s¨usteemi F k˜ oigi hulkade u uhi: ∩F ∈F F = ∅; ¨hisosa on mittet¨ 30 kui F koosneb ruumi X teatavatest kinnistest alamhulka- dest ja ∩F ∈F F = ∅, siis leidub l˜ usteemi F kuu- oplik arv s¨
C <
- 1 < , n+1 kui 1 < , n+1 1 1 st n + 1 > ehk n > - 1 Reaalarvu a t¨aisosa t¨ahistatakse [a]. Seda t¨ahistust kasutades saame j¨areldada, 1 et k~oik jada liikmed, mis j¨argnevad liikmele indeksuga N = - 1, on 1-le l¨ahemal kui . Asjaolu, et antud jada piirv¨a¨artus v~ordub 1-ga, kirjutatakse n lim = 1. n n + 1 ¨ Uldisemalt, kui jada (1.1) piirv¨a¨artus on b, siis kirjutatakse lim yn = b.
annaabi.ee 
