I Paaris- ja paaritu funktsiooni korrutis on paaritu funktsioon.
Definitsioon 4
Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant
T 6= 0, et iga xkuulub X korral kui x + T kuulubX kehtib f (x + T) = f (x).
V¨ahimat sellist positiivset konstanti T, juhul kui selline leidub,
nimetatakse funktsiooni f perioodiks.
Definitsioon 5
Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal tyhihulkeikuulu= D X, kui iga
x1,x2 2D v˜orratusest x1
j¨argnevalt: 20 Gi ∈ T , i ∈ I =⇒ ∪i∈I Gi ∈ T ; 30 G1 , . . . , Gn ∈ T =⇒ ∩ni=1 Gi ∈ T ¨ (I on indeksite hulk). Uhel ja samal hulgal v˜oib vaadelda erinevaid topoloogiaid. Topoloogilise ruumi X elemente nime- tatakse sageli ka selle ruumi punktideks. Definitsioon 1.2 Topoloogilise ruumi X alamhulki, mis kuuluvad topoloogiasse T , nimetatakse lahtisteks hulka- deks. Definitsiooni 1.1 n˜oudest 10 j¨areldub, et t¨ uhi hulk ja ruum X ise on iga hulgal X antud topoloogia suhtes lahtised hulgad. 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon 7 N¨aide 1.1 Igal hulgal X saab vaadelda topoloogiat T1 = {∅, X}, mis koosneb vaid t¨uhjast hulgast ∅ ja hulgast X, ning topoloogiat T2 = P(X), mis koosneb hulga X k˜oigist alamhulkadest. Topoloogiat T2 nimetatakse diskreetseks topoloogiaks hulgal X. N¨ aide 1
ummeetriline antis¨ ummeetriline koos lausega 11 u ¨ ¨tleb, et selline esitus (avaldis) leidub. Uhesuse n¨aitamiseks oletame, et A = B + C, kus B on s¨ ummeetriline ja C antis¨ummeetriline maatriks. Siis ilmselt AT = B T + C T = B - C. V~orranditest A =B+C AT = B - C j¨areldub, et B = 21 (A + AT ) ja C = 12 (A - AT ). 5 Po ¨o¨rdmaatriks, selle omadusi ja arvutamine 5.1 Po ¨o ¨rdmaatriks Ruutmaatriksi A p¨o¨ ordmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = I = BA. Lause 13 (p¨ o¨ordmaatriksi ainsus). Kui maatriksil on olemas p¨ o¨ordmaatriks, siis on ta m¨ a¨aratud u ¨heselt. T~ oestus
x x+x x x+x f (t)dt + f (t)dt - f (t)dt = f (t)dt. a x a x Eelduse kohaselt on f (x) pidev l~oigul [a; b]. Seega keskv¨a¨artus omaduse p~ohjal leidub selline [x; x + x], et (x + x) - (x) = f ()(x + x - x) = f ()x. Sellest j¨areldub, et (x + x) - (x = f (). x 7 Tuletise definitsioonis x 0. J¨arelikult x + x x ja et on u ¨ks punkt x ja x + x vahelt, siis ka x. Seega (x) = lim f () = lim f ()
y = b1 + b1 y = b1 - a x x) f( = y ¨ Joonis 1.2: Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused ¨ Uhepoolsete piirv¨a¨artuste erinevusest j¨areldub, et ei ole olemas piirv¨a¨atrust |x| lim . x0 x 1 1 N¨ aide 3.2. Leiame lim arctan ja lim arctan . x0- x x0+ x 1 Kui x 0-, siis -, seega x 1 lim arctan = - .
umbolit kasutame selles kontekstis s~ona "ja" ning s¨ on liitlause. S¨ umbolit s~ona "v~oi" asemel. Olgu A ja B kaks lauset. T¨ ahistus AB (0.2.1) on l¨uhikirjapilt v¨ aitele "kui lause A on t~oene, siis on t~oene ka lause B". Veel o¨eldakse, et "eelduse A t¨ aidetusest (t~oesusest) j¨areldub v¨aite B t~oesus" v~oi "eeldus A on piisav v¨aite B t~ oesuseks" ehk "tingimusest A j¨areldub (loogiliselt) v¨aide B". V¨aide (n 6N) (n 3N) ehk l¨ uhidalt n 6N n 3N, (0.2.2) kus 3N on kolmega (j¨ agita) jaguvate naturaalarvude hulk, st 3N = {3; 6; 9; . . .} , ning a¨ 6N on kuuega jaguvate naturaalarvude hulk, st 6N = {6; 12; 18; .
F(b) = f(b) - f(b)-f(a)/ g(b)-g(a) *(g(b) - g(a)) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a). Seega F(a) = F(b). ¨Uhtlasi on F(x) pidev l~oigul [a,b] ja diferentseeruv va- hemikus (a,b). J¨arelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi. Rolle'i teo- reemi p~ohjal leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et F'(c) = 0. Valemist leiame funktsiooni F(x) tuletise: F'(x) = f'(x) - f(b) - f(a) /g(b) - g(a) *g'(x). Seega F'(c) = f'(c) - f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)*g'(c) = 0. Siit j¨areldub, et F'(c) = f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)*g'(c). Jagades suurusega g'(c), mis eelduse t~ottu erineb nullist, saame valemi. Teoreem on t~oestatud. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). T~oestus. Lagrange'i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. T~oepoolest, v~ottes Cauchy
L~oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. L~oigul pidev funktsioon saavutab sellel l~oigul iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. Kui funktsioon f on pidev l~oigul [a,b] ja omandab selle l~oigu ots- punktides erineva m¨argiga v¨a¨artusi, siis leidub sellel l~oigul v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. T~oestus. Omadus 3 j¨areldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev l~oigul [a,b], siis ta saavutab sellel l~oigul oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on l~oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja
1 1 n = sin . n n ( ) Esitame selle jada kahe jada korrutisena n = n n , kus n = n1 ja n = sin n1 . Nagu me eelnevalt n¨agime, on n l~opmatult kahanev, st n 0. Peale selle, kuna siinuse v¨a¨artused paiknevad l~oigul [-1, 1], siis saame | sin x| 1 iga x korral, millest j¨areldub, et |n | 1. Seega on jada n t~okestatud suvalise konstandiga K > 1. Rakendades ¨asjat~oestatud v¨aidet korrutisele n saame, et n on l~opmatult kahanev, st n 0. 2.4 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus. Olgu antud funktsioon f argumendiga x. Kui argument x on j¨arjestatud, siis saame me j¨arjestada ka funktsiooni v¨a¨artused f (x), lugedes funktsiooni kahest v¨ a¨
Seda oligi vaja t~ oestada. N¨ aide. Vaatleme jada 1 1 n = sin . n n Esitame selle jada kahe jada korrutisena n = n n , kus n = n1 ja n = sin n1 . Nagu me eelnevalt n¨agime, on n l~opmatult kahanev, st n 0. Peale selle, kuna siinuse v¨a¨artused paiknevad l~oigul [-1, 1], siis saame | sin x| 1 iga x korral, millest j¨areldub, et |n | 1. Seega on jada n t~okestatud suvalise konstandiga K > 1. Rakendades ¨asjat~oestatud v¨aidet korrutisele n saame, et n on l~opmatult kahanev, st n 0. 2.4 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus. Olgu antud funktsioon f argumendiga x. Kui argument x on j¨arjestatud, siis saame me j¨arjestada ka funktsiooni v¨a¨artused f (x), lugedes funktsiooni kahest
14) p~ohjal kehtib j¨argmine valem: dF (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) . (6.15) dx J¨ argmiseks kasutame asjaolu et v~orrand F (x, y) = 0 m¨a¨arab ilmutamata kujul funktsiooni y = f (x). Sellest tulenevalt kehtib samasus F (x, f (x)) 0 . (6.16) Kuna nullfunktsiooni tuletis v~ordub samuti nulliga, siis valemist (6.16) j¨areldub et dF dx (x, f (x)) 0. Seega v~ ordub avaldise (6.15) vasak pool nulliga. Saame Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f (x) = 0. Eeldades et Fy (x, f (x)) = 0 tuletame vi- imasest v~ordusest j¨argmise valemi ilmutamata funktsiooni f tuletise jaoks: Fx (x, f (x)) f (x) = - . (6.17) Fy (x, f (x))
annaabi.ee 
