x2 3 x +1 x3 -1 m¨ a¨aramispiirkonda, siis x3 + 1 23 + 1 3 lim = = . x2 x3 - 1 23 - 1 7 2.11 L~ oigul pidevate funktsioonide omadusi. Olgu antud funktsioon f , mis on m¨a¨aratud l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨ artus l~ oigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f (x1 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x1 ) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨ artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 l~oigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult
Arvutame lim x3 -1 . Kuna punkt x = 2 kuulub elementaarfunktsiooni x2 x3 +1 x3 -1 m¨a¨aramispiirkonda, siis x3 + 1 23 + 1 3 lim = = . x2 x3 - 1 23 - 1 7 2.11 L~ oigul pidevate funktsioonide omadusi. Olgu antud funktsioon f , mis on m¨a¨aratud l~oigul [a, b]. Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨ artus l~ oigul. Kui leidub punkt x1 l~oigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult kehtib v~orratus f (x1 ) f (x), siis nimetatakse arvu f (x1 ) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨ artuseks (absoluutseks maksimumiks) l~oigul [a, b]. Kui leidub punkt x2 l~oigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l~oigult
Analoogiliselt n¨aidatakse, et T rahuldab topoloogia n˜ouet 30 . Seega T on topoloogia hulgal X. Hulga X k˜oigi alamhulkade hulga P(X) mis tahes alam- hulga U jaoks leidub teda alamhulgana sisaldavaid topoloo- ¨ giaid hulgal X. Uheks selliseks topoloogiaks on n¨aiteks P(X) ise. V˜ottes k˜oigi hulka U alamhulgana sisaldavate hulga X topoloogiate u ¨hisosa, saadakse teoreemi 1.1 p˜ohjal topoloogia, mis on ilmselt v¨ahim hulga X alamhulkade hulka U sisal- dav topoloogia hulgal X. Saadud topoloogiat nimetatakse U poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas Sageli antakse topoloogia hulgal X baasi abil. Definitsioon 1.3 Topoloogilise ruumi (X, T ) lahtiste hulkade hulka B ⊂ T nimetatakse ruumi X baasiks, kui iga
24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46
Analoogiliselt saab k¨asitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on l~oigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes
5.4 Postide p~ oikarmatuuri valik P~oikarmatuuri l¨abim~oo ~t peab olema v¨ahemalt 6mm ja v¨ahemalt 1/4 pikiarmatuuri suuri- mast l¨abim~ odust. Kuna suurim pikiarmatuuri l¨abim~o~ot on 20mm ja 20 · 1/4 = 5mm valin o~ p~oikarmatuuri l¨ abim~o~ oduga 6mm. P~oikarmatuuri samm piki posti ei tohi olla suurem kuis scl,max , mille soovitav v¨a¨artus on v¨ahim kolmest j¨ argnevast suurusest: 1. 20-kordne pikivarda minimaalne l¨abim~o~ot; 2. posti ristl~ oike v¨ ahim m~ o~ode; 3. 400mm 5.4.1 Postide p~ oikarmatuuri valik Valin p~oikarmatuuri sammuks · III korrusel -- 240mm (20-kordne pikiarmatuuri l¨abim~o~ot) · II korrusel -- 240mm (20-kordne pikiarmatuuri l¨abim~oo~t)
Kui funktsioon f on pidev l~oigul [a,b] ja omandab selle l~oigu ots- punktides erineva m¨argiga v¨a¨artusi, siis leidub sellel l~oigul v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. T~oestus. Omadus 3 j¨areldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev l~oigul [a,b], siis ta saavutab sellel l~oigul oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on l~oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l~oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0. 18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Funktsiooni f tuletis punktis a on de- fineeritud j¨argmiselt: f'(a) = lim xa f(x) - f(a) /x - a
5 ja omadus 5 p~ohjal p¨arast viimases integraalis rajade vahetamist b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Samuti saab n¨aidata, et omadus j¨aa¨b kehtima ka juhul c < a. Omadus 7. Kui m on funktsiooni f (x) v¨ahim ja M funktsiooni f (x) suurim v¨a¨artus l~oigul [a; b], siis b m(b - a) f (x)dx M (b - a), a st m¨a¨aratud integraal j¨a¨ab v¨ahima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise ning suurima v¨a¨artuse ja integreerimisl~oigu pikkuse korrutise vahe- le. T~oestus. V~orratuste t~oestused on sarnased. Seep¨arast t~oestame ainult pa-
tsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . Kehtib j¨argmine v¨aide. Kui funktsioonid 1 , 2 , . . . , n on pidevad punktis A ja funktsioon F on pidev punktis B = (1 (A), 2 (A), . . . , n (A)), siis on liitfunktsioon f pidev punktis A. 13) Funktsiooni suurim ja vähim väärtus piirkonnas. Kinnises tõkestatud piirkonnas pidevate funktsioonide omadusi. Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨artus piirkonnas D. Kui leidub punkt P1 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib v~orratus f (P1 ) f (P ), siis nimetatakse arvu f (P1 ) funktsiooni f suurimaks v¨a¨ artuseks piirkonnas D. Kui leidub punkt P2 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib v~orratus f (P2 ) f (P ), siis nimetatakse arvu f (P2 ) funkt- siooni f v¨
on mitteperioodiline ja funktsioon x - [x] perioodiline perioodiga T = 1. N¨aide 10. Uurime funktsiooni y = sin(cx) perioodilisust juhul, kui c on mingi fikseeritud positiivne reaalarv. Et X = R, siis iga x X korral suvalise T jaoks x ± T X. J¨ ab kontrollida, kas leidub selline T , et sin(c(x + T )) = sin(cx) iga x X a¨ korral, st sin(cx + cT ) = sin(cx). J¨arelikult peab cT = 2k (k Z) T = 2k/c (k Z) ja v¨ahim positiivne arv, mis rahuldab tingimust sin(cx + cT ) = sin(cx) on T = 2/c. Seega on funktsioon y = sin(cx) perioodiline, kusjuures perioodiks on T = 2/c. Definitsioon 8. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks pi- irkonnas X, kui iga x1 X ja x2 X korral, mis rahuldavad v~orratust x1 < x2 , kehtib v~orratus f (x1 ) < f (x2 ). N¨aites 9 on esitatud kasvav funktsioon. Definitsioon 9. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks
annaabi.ee 
