ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a
sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 3 /3 1 3 6. 7. nurga sin nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. sin=y/r 8. nurga cos nim nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. cos=x/r 9. nurga tan nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi ja abstsissi suhet tan=y/x 10. Täispöörde eraldamine sin(360º+)=sin, cos(360º+)=cos, tan(360º+)=tan 11. Neg nurga trigon: sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan 12. II v taandamisvalemid: sin(1800-)=sin, cos(180º-)=-cos, tan(180º-)=-tan 13. III v taandamisv. :sin(180º+)=-sin, cos(180º+)=-cos, tan(180º+)=tan 14
Selleks lõigatakse tahvli nurkadest ära võrdsed ruudud ja murtakse saadud kujund kokku. Kui suur peab olema väljalõigatavate ruutude külg, et karbi ruumala oleks suurim? 14. Uuri funktsiooni y=x2-x. 15. Leia funktsiooni f(x)=px2-9x+q ekstreemumpunktid, kui f(-3)=28 ja f(1)=-32. x -6 16. Koosta puutuja võrrand joonele y= x - 2 punktis, kus joon lõikab y telge. 1 3 17. Millisel abstsissi x väärtusel joone y= 3 x 3 - 2 x 2 - 9 x + 8 puutuja moodustab x-teljega nurga 45°. 18. Millises punktis on parabooli y= x2+4x puutuja paralleelne x teljega. 19. Leida joone puutuja tõus ja puutuja võrrand, kui joone võrrand on y= (x-3)(x+4)-5 ning puutepunkti abstsiss on x0= 2. 2 20. Leia hüperbooli y= x puutujad, mis on paralleelsed sirgega y=-x. Teha joonis. 21
Joonis 7. Katsepunktide lähendamine sujuva kõveraga. Joonisel 7 esitatud lähenduskõvera mingi punkti A ordinaadi määramatuse leidmiseks fikseeritakse tema abstsiss (näiteks xA) ja mõõdetakse punkti A ümbruses sümmeetriliselt asetseva n katsepunkti kõrvalekalded lähendussirgest y-telje sihis yi yi . Siin on y i katsepunkti ordinaat kohal xi ja y i lähendussirgel oleva punkti ordinaat sama xi kohal. Fikseeritud abstsissi x A määramatus loetakse võrdseks nulliga, teise koordinaadi y A A- tüüpi laiendmääramatus U A ( y A ) arvutatakse aga valemiga (eeldades, et hälbed yi yi on jaotunud normaalselt): n y i yi 2
sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ] . Võrratuse sinx > cosx lahendamiseks tuleb leida sellised argumendi x väärtused, mille korral funktsiooni y = sinx graafik asub ülevalpool funktsiooni y = cox graafikut. Leiame graafikute lõikepunkti abstsissi. Graafikute lõikepunkti võib leida ka jooniselt. Lõigus [0; ] saab x väärtuseks olla ainult 450. x = 450 = . Täpsema tulemuse saamiseks võib lahendada võrrandi sin x cos x = 0. 4 sin x cos x = 0; sin x sin(900 x) = 0; sin(x 450) = 0 arcsin0 = 0 (vaata p. 2) x - = ( -1) n 0 + n x = + n , n Z .
· Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x). · Kui iga arvu yY korral leidub ainult üks xX, mille korral y=f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on pöördfunktsioon y=g(x) · 26. Suvalise nurga koosinus- · Suvalise nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 27. Suvalise nurga tangens- · Suvalise nurga tangensiks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti ordinaadi ja abstsissi suhet. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31
järgi arvutatud joonepikkuste täpsused ja lubatavad erinevused. 1. Plaanilt vahetult mõõdetud joonepikkuse täpsus võrdub tema otspunktide asendi määramise täpsusega. Prof. A. Maslovi järgi on see m s = ± 0,08 mm . 2. Plaanilt graafiliselt määratud ristkoordinaatide järgi arvutatud joonepikkuse määramise täpsus: m′s = m k 2 , kus mk = m x = m y on joone otspunkti abstsissi (x) või ordinaadi määramise täpsus. Näiteks Drobõševi joonlauaga konstrueeritud koordinaatvõrgu puhul on mk= ± 0,11 mm ja ms′= 0,16 mm. Järelikult vahetult mõõtes saab joone pikkuse plaanil määrata kaks korda täpsemini kui graafiliselt määratud koordinaatide järgi arvutades. Joonepikkuse lubatava vea ∆S võime võtta võrdseks täpsuse kahekordse väärtusega, s.t. ∆S = 2ms
on võrdne funktsiooni tuletisega sellel kohal, seega a f x0 . Kuna punkt M x0 ; y 0 asetseb nii joonel y f x kui ka puutujal y ax b saame koostada võrrandisüsteemi: # y0 ax0 b " , kus a f x0 . ! y0 f x0 Kui võrrandite vasakud pooled on võrdsed, peavad olema võrdsed ka paremad pooled, seega f x0 f x0 x0 b . Lahendades saame punkti M abstsissi x0 (I). (II) 2) Lahendades võrrandi a f x0 saame punkti M abstsissi x0 . 32 33 Pärast seda leiame puutepunkti ordinaadi y0 ja arvu a (I) või b (II) väärtuse.
1) Nurga siinuseks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes y punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist: sin = r 2) Nurga koosinuseks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle x punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist: cos = r 3) Nurga tangensiks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi ja abstsissi x y suhet (abstsiss ei tohi olla 0): tan = x cot = ( y 0)
tema määramispiirkonna X seda osa, milles iga x1 < x2 korral funktsiooni väärtused rahuldavad tingimust f ( x1 ) < f ( x2 ) (vastavalt kahanemisel f ( x1 ) > f ( x2 ) ). Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y > 0 ( y < 0) lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht,
rahuldavad tingimust f x1 f x2 (vastavalt kahanemisel f x1 f x2 ). Funktsiooni y f x kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 y 0 lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f x 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht,
Teise faasi vältel deformeeruvad mineraalosakesi ümbritsevad hüdraatkelmed, seda nimetatakse sekundaarseks konsolidatsiooniks. Purustamata struktuuriga savipinnastel on kompressioonikõvera algosa peaaegu horisontaalne või vähe kaldu. Edasi suuremate koormuste korral, võib kompressioonikõverat aproksimeerida logaritmilise kõverjoonega. Algosa kuju on põhjustatud pinnase tihenemisest looduslikes lasumistingimustes. Kompressioonikõvera murdepunkti abstsissi tõlgendatakse ka struktuuritugevuse näitarvuna. Plaatkoormuskatse kujutab see endast väikest vundamendi mudelit, millega leitakse vajumise sõltuvus koormisest. Koormisplaadiks on tavaliselt 0,5 m2 pindalaga sõõr. Plaati koormatakse astmekaupa. Ühte koormusastet hoitakse plaadi vajumise tingliku vaibumiseni. Vaibumise kriteeriumina on kasutatud vajumise kiirust - savil 0,05 mm tunnis. Katseandmete alusel koostatakse vajumi ja koormuse sõltuvuse graafik
S =4· d = 2 a cos 2d = a cos 2d(2) = a sin 2 = a2 . 2 0 0 0 0 5.11 K~ overjoone kaare pikkus Vaatleme joont AB, mis on funktsiooni y = f (x) graafikuks (joonis 5.15). T¨ahistame punkti A abstsissi a-ga ja punkti B abstsissi b-ga. Eeldame, et funktsioon f (x) on l~oigul [a; b] pidev ja omab vahemikus (a; b) pidevat tule- tist. Niisugustel eeldustel nimetatakse joont AB siledaks. Valime joonel AB punktid A = P0 , P1 , . . . Pk-1 , Pk , . . . Pn = B nii, et iga j¨argmise punkti abstsiss xk oleks eelmisest xk-1 suurem, 10 y B
annaabi.ee 
