Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Püramiid Püramiidiks nimetatakse hulktahukat, mille üks tahk (põhi) on kumer hulknurk ja kõik ülejäänud tahud (külgtahud) on ühise tipuga kolmnurgad. Kui püramiidi põhjaks on n-nurk, siis nimetatakse püramiidi n-nurkseks püramiidiks. Kõrguseks nimetatakse püramiidi tipu kaugust põhjast ja vastavat sirglõiku. Püramiidil ei ole diagonaale. Diagonaallõike saame, kui lõigata püramiidi tasandiga, mis läbib püramiidi tippu ja üht põhja diagonaali. Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle põhjaks on korrapärane hulknurk ja püramiidi põhja projektsioon asub põhja keskpunktis. Korrapärase püramiidi kõik külgtahud on võrdsed. Teljeks nimetatakse sirget, mis läbib korrapärase püramiidi tippu ja põhja keskpunkti. Apoteemiks nimetatakse korrapär...
püramiidi kõrgus Korrapärane püramiid Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui tema põhjaks on korrapärane hulknurk ja kõik külgservad on võrdsed. Joonisel on korrapärane püramiid, mille põhjaks on ruut. Püramiidi tipp on S, põhi on ruut ABCD, külgtahud on ABS, BCS, CDS, ja ADS, külgservad on AS, BS, CS, DS, põhiservad on AB, BC, CD ja AD kõrgus on SO. Mis on püramiidi apoteem ? Korrapärase püramiidi tipust tõmmatud külgtahu kõrgust nimetatakse püramiidi apoteemiks. Külgpindala Püramiidi külgtahkude pindalade summa on püramiidi külgpindala. Korrapärase püramiidi 1 külgpindala võrdub põhja ümbermõõdu ja püramiidi S k = Pm apoteemi poole korrutisega. 2 Põhja pindala Korrapärase püramiidi põhjaks on korrapärane hulknurk
PÜRAMIID Tipud E Servad Põhiservad külgservad D C Tahud Põhitahk A B külgtahud Püramiidi pindala Põhja pindala apoteem nar m Sp = 2 Külgpindala nam Sk = 2 Täispindala St=Sp+Sk Püramiidi ruumala E 1 V = Sp H 3 H D C A B Leia korrapärase kuusnurkse püramiidi täispindala ja ruumala, kui põhiserv on 3 cm, põhja apoteem 2,6 cm, püramiidi kõrgus 5 cm ja külgtahu apoteem 5,5 cm. Lahendus Kirjutan välja andmed. Leian põhjapindala Sp
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Kolmnurkse püstprisma põhjaks on täisnurkne kolmnurk, mille hüpotenuus on 15 cm ja üks kaatet 12 cm. Prisma kõrgus on 11 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 13. Nelinurkse püstprisma põhi on romb, mille diagonaalid on 6 cm ja 8 cm. Prisma kõrgus on 7 cm. Arvuta prisma külgpindala ja ruumala. 14. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 16 cm ning püramiidi kõrgus on 15 cm. Arvuta põhja pindala, apoteem, külgpindala, täispindala ja ruumala. 15. Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 18 cm ja apoteem 15 cm. Arvuta põhja pindala, kõrgus, külgpindala, täispindala ja ruumala. 16. Pada on poolkera kujuline. Paja läbimõõt on 62 cm. Mitu liitrit vett mahutab see pada?
vajalik arv kordi; lähtudes korrapärasest kolmnurgast saab joonestada korrapärast n 6-nurka, 12-nurka, üldiselt 3 2 -nurka; leidub mitmesuguseid ligikaudseid võtteid, millega saab vajaliku hulknurga joonestada sobiva täpsusega (näiteks 7- ja 10-nurka); C.F Gauss: näitas, kuidas saab joonestada korrapärast 17-nurka NB nii ei saa joonestada korrapärast 9-, 11-,13-nurka vm algarvulise tippude arvuga korrapärast hulknurka 26.Hulknurga apoteem - siseringjoone Vaata raadius; korrapärase hulknurga apoteem on hulknurga külje kaugus sise- ja ümberringjoone ühisest keskpunktist NB vaja kasutada korrapärase hulknurga pindala arvutamisel 27.Korrapärase hulknurga ümbermõõt - küljed Ül.1162 on võrdsed; korrutada külje pikkus a külgede Arvutada joonisel esitatud ligikaudsete arvuga n, P=na a=P:n mõõtmetega kujundi ümbermõõt. 1.joonis
17 204 4·5 Sp = 2 =10 cm2 St= 204+ 2 · 10=224 cm2. Püramiid P on põhja ümbermõõt M on külgtahu apoteem 1 Ruumala V = 3 Sp·h Pm Külgpindala Sk = 2 Täispindala St = Sk + Sp Näide 1 Leia püramiidi ruumala kui püramiidi põhjaks on ristkülik külgedega 4 cm ja 7cm ja püramiidi kõrgus on 5 cm. Sp = 4 · 5 = 20cm2 1 1 V = 3 · 20 · 5 =33 3 cm3 Näide 2
1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis. Kesknurgaks nimetatakse ringjoone kahe raadiuse vahelist nurka. 1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis. Piirdenurgaks nimetatakse ringjoone tipust tõmmatud kahe kõõlu vahelist nurka. 1Sõnasta teoreem piirdenurgast. Piirdenurk on pool temaga samale kaarele toetuvast kesknurgast. 1Mis on korrapärane hulknurk? Korrapäraseks hulknurgaks nimetatakse hulknurka, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. 1Mis on korrapärase hulknurga apoteem? Tee selgitav joonis. Korrapärase hulknurga apoteem on selle hulknurga siseringjoone raadius. 1Mis on arvu ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. 1Mis on ruutvõrrand? Ruutvõrrand on võrrand ax2+bx+c=0, kus a on antud arvuna ja ei võrdu 0. 1Kirjuta ruutvõrrnadi lahendivalem. X1;2=-b+-... 1Mis on ruutvõrrandi diskriminant? Diskriminandiks nimetatakse ruutjuure alust avaldist b2-4ac.
b² = c² - a² 25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine. Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti. 26. Hulknurk, korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine. Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa. Hulknurka, mille küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks. Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist. Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist. r – siseringi raadius R – ümberringi raadius 27. Korrapärase hulknurga sisenurkade summa, ümbermõõdu ja pindala leidmine. n=6 α =(6-2)180° : 6 4×180° 720° 720° : 6 = 120° Vastus: α =120° n=6 a = 8 cm P = na = 6 × 8 = 48 (cm) Vastus : P = 48 cm. Jaotame n-nurga n võrdseks kolmnurgaks, mille alus on a ja kõrgus r. Iga sellise kolmnurga
Kas prisma on korrapärane või mitte sõltub tema põhjast. Kõik kaldprismad on mittekorrapärased prismad. Sk= PH V= SpH Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+2Sp Püramiid: Kaldpüramiid ja püstpüramiid 1 tahk on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad Kõrgus on tipu kaugust põhjast, alati põhjaga risti. Tipp on külgservade ühine punkt Korrapärased ja mittekorrapärased püramiidid m = külje kõrgus ehk apoteem Sk=Pm/2 Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+Sp V=SpH/3 Pöördkehad Pöördkehad on ruumilised kujundid, mis tekivad mingi tasandilise kujundi pöörlemisel ümber ühe külje. Silinder tekib ristküliku pöörlemisel Külgtahk on ristkülik. Silindritelg ristküliku külg, mille ümber ta pöörleb Selleks, et silindril kõik ära arvutada on vaja tema raadiust ja kõrgust Moodustaja = m telje vastas asetsev ristküliku külg
vajalik arv kordi; lähtudes korrapärasest kolmnurgast saab joonestada korrapärast n 6-nurka, 12-nurka, üldiselt 3 2 -nurka; leidub mitmesuguseid ligikaudseid võtteid, millega saab vajaliku hulknurga joonestada sobiva täpsusega (näiteks 7- ja 10-nurka); C.F Gauss: näitas, kuidas saab joonestada korrapärast 17-nurka NB nii ei saa joonestada korrapärast 9-, 11-,13-nurka vm algarvulise tippude arvuga korrapärast hulknurka 26.Hulknurga apoteem - siseringjoone Vaata raadius; korrapärase hulknurga apoteem on hulknurga külje kaugus sise- ja ümberringjoone ühisest keskpunktist NB vaja kasutada korrapärase hulknurga pindala arvutamisel 27.Korrapärase hulknurga ümbermõõt - küljed Ül.1162 on võrdsed; korrutada külje pikkus a külgede Arvutada joonisel esitatud ligikaudsete arvuga n, P=na a=P:n mõõtmetega kujundi ümbermõõt. 1.joonis
HULKTAHUKAD Hulktahukas · Keha, mis igast küljest piirdub tasandiga · Keha, mille pind koosneb hulknurkadest · ... ehk polüeeder · Tahkkeha · Kumerad · Mittekumerad Hulktahuka osad · Tahud- hulktahukat piiravad hulknurgad · Servad- hulknurkade küljed · Tipud- hulknurkade tipud · Diagonaal- lõik, mis ühendab kaht mitte ühel tahul asetsevat hulktahuka tippu · Diagonaaltasand- tasand, mis läbib hulktahuka kahte mitte ühele tahule kuuluvat serva · Diagonaallõige- hulktahuka ja tema diagonaaltasandi ühisosa Kumerad hulktahukad · Kogu hulktahukas jääb oma iga tahu tasapinnast ühele poole · Iga kahte punkti ühendav lõik jääb hulktahuka sisse · EULERI teoreem: Kui kumeral hulktahukal on T tippu, S serva ja R tahku, siis T+R-S=2 Korrapärased hulktahukad · Platoonilised kehad · Kumer hulktahukas, mille kõik tahud on omavahel võrdsed korrapärased hulknurgad ja kõik m...
S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H nurk-külg) tunnuse põhjal. Seega on võrdsed m külgtahkude apoteemid (tähistame m). m Saame avaldada külgpindala 8
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes...
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaan...
a S - pindala c kõrgus h2=fg h V = SpH c h b St = 2Sp + Sk 4 r apoteem, siseringjoone raadius f,g kaatetite a,b projektsioonid hüpotenuusil a V = SpH a b V = R 3
4 raadius võrdub 5apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust , kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole. 4 raadius- ringjoone või sfääri punkti keskpunktiga ühendav sirglõik; ka selle pikkus. (Väike Entsüklopeedia, lk 796) 5 Apoteem, 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus). - 2. korrapärase püramiiditipust põhiservale tõmmatud ristlõik (ka selle pikkus ehk külgtahu kõrgus) (Väike Entsüklopeedia, lk 60 9 5. Teravnurkne kolmnurk Teravnurkne on kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad, s.o väiksemad kui 90o. 10 6. Nürinurkne kolmnurk
Võrdhaarset trapetsil · Aluse lähisnurgad on võrdsed · Diagonaalid on võrdsed · On ümberringjoon. KORRAPÄRANE HULKNURK korrapärase hulknurga küljed ( a n ) on võrdsed ja sisenurgad () on võrdsed. ( n - 2) 180° Sisenurk: = kus n on hulknurga nurkade arv n Korrapärasel hulknurgal on ühise keskpunktiga sise- ja ümberringjoon. Siseringjoone raadiuseks on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik ehk apoteem r=m Ümberringjoone raadius on keskpunktist tippu tõmmatud lõik. a m Pindala: S = n n = pr 2 R2 2 S = n sin 2 n Korrapärane kuusnurk Külg võrdub ümberringjoone raadiusega a 6 = R a 3 r =m = 2 S = 3am = pr RINGJOON JA RING 2/6
a S - pindala c kõrgus h2=fg h V = SpH c h b St = 2Sp + Sk 4 r – apoteem, siseringjoone raadius f,g – kaatetite a,b projektsioonid hüpotenuusil a V = SpH a b V = πR 3
sirgjooneks. 42. Korraprane hulknurk. * Hulknurka millel on vrdsed kljed ja vrdsed nurgad, nimetatakse korrapraseks hulknurgaks. 43. Korraprase hulknurga mberringjoon. * Korraprase hulknurga keskpunkt (O) raadiusega , mis vrdub keskpunkti ja tipu vahelise krgusega (K) ...... ringjoont nimetatakse selle hulknurga mberringjookeks. 44. Korraprase hulknurga siseringjoon. * Ringjoont, mille keskpunktiks on hulknurga keskpunkt ning raadiuseks r apoteem , nimetatakse hulknurga siseringjooneks. 45. Korraprase hulknurga mbermt. * Korraprase hulknurga mbermt vrdub klgede arvu r ja kljepikkuse a korrutisega 46. Korraprase hulknurga pindala. Korraprase kolmnurga pindala vrdub aluse ja krguse poole korrutisega. 47 . Pstprisma pindala. * Pstprisma pindala on vrdne klje pindala liita kahekordne phja pindala. Klgpindala vrdub tema phja mbermdu ja krguse (h) korrutisega. Phjapindala leitakse kui hulknurga pindala. 48. Pstprisma ruumala.
5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. Aritmeetiline ruutjuur mittenegatiivne arv, mille ruut võrdub antud arvuga. 15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised.
Kaldrööptahuka ruumala V = S p h = S r l ( S r - ristlõike pindala, l - külgserv), püströöptahuka ruumala V = S p h = abh sin . 6.2 Püramiid 42 1 Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala S k = nam , kus a on püramiidi põhiserv 2 ning m on apoteem (külgtahu kõrgus). 1 Ruumala V = S p h . 3 6.3 Tüvipüramiid na + nb Korrapärase tüvipüramiidi külgpindala S k = m (m tüvipüramiidi apoteem). 2 1 ( )
Kaldrööptahuka ruumala V S p h S r l ( S r - ristlõike pindala, l - külgserv), püströöptahuka ruumala V S p h abh sin . 6.2 Püramiid 42 1 Korrapärase n-nurkse püramiidi külgpindala S k nam , kus a on püramiidi põhiserv 2 ning m on apoteem (külgtahu kõrgus). 1 Ruumala V S ph . 3 6.3 Tüvipüramiid na nb Korrapärase tüvipüramiidi külgpindala S k m (m – tüvipüramiidi apoteem). 2 1
2 B-8 Leia funktsiooni paarisfunktsioon, y = g ( x ) paaritu funktsioon , f ( a ) = 1 ja g ( a ) = -2 . B-9 Anum on ääreni täidetud 88%-lise happega, anumast valati välja 2,5 liitrit hapet ja asemele valati 2,5 liitrit 60%-list hapet, mille tulemusena saadi anumatäis 80%-list hapet. Leia anuma ruumala liitrites. B-10 Leia korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala, kui tema apoteem on 10 ja külgservad moodustavad põhitahuga nurga 300. B-11 Täisnurkses kolmnurgas ABC on kaatetid AB ja AC ning nurgapoolitaja CD. Leia kaateti AC pikkus, kui kolmnurga BCD pindala on 24,375 ja < ADC tangens on 5. C-1 Lahenda võrrand 4 tan x + 3 tan x = sin 2 x C-2 Lahenda võrratus 23 - x 11 - x . C-3 Leia milliseid väärtusi võib omada reaalarvuliste võrrandi x 2 + 3ax + 3a 2 - 3a - 15 = 0 lahendite ruutude summa?
0,33n 0,67 21 0,33n 0,33 21 mille lahendamisel saame, et vähim n väärtus on 63. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 38 KOLMNURKNE PÜRAMIID a – põhiserv b – külgserv m – külgtahu apoteem b H – püramiidi kõrgus b m - nurk külgtahu ja põhja vahel - nurk külgserva ja põhiserva b H vahel a N1
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
