f x x x x x . 53 x 5 5 5 Leiame nüüd tuletise ning nüüd tuletise väärtuse kohal 27. Saame Vastus: f ‘(27) = 18 8. Leia funktsiooni y = (x2 – 1)(3x + 2) tuletis. Lahendus: 1) Kasutame korrutise tuletise leidmise valemit. Saame y ‘ = [(x2 – 1)(3x + 2)] ‘ = (x2 – 1)(3x + 2)’ + (3x + 2)(x2 – 1)’ = = (x2 – 1) . 3 + (3x + 2) . 2x = 3x2 – 3 + 6x2 + 4x = = 9x2 + 4x – 3. 2) On olemas ka teine viis seda ülesannet lahendada: avame sulud ja diferentseerime seejärel saadud hulkliiget. Saame y = (x2 – 1)(3x + 2) = 3x3 + 2x2 – 3x – 2 y ‘ = (3x3 + 2x2 – 3x – 2)’ = 3 . 3x3 – 1 + 2 . 2x2 – 1 – 3 . 1 = 9x2 + 4x – 3. 9. Leia funktsiooni y = (x2 + 1)(3x3 – 2) tuletis. Lahendus: 1) Kasutame korrutise tuletise leidmise valemit. Saame
Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) = = (y + z) (a + b) x3 3x2 3x + 9 = x2 (x 3) 3 (x 3) = = (x 3) (x2 3) 4) erinevate võtete kombineerimine NB! Kõigepealt toome võimaluse korral ühisteguri sulgude ette, seejärel vaatame, kas saab tegurdada veel mõne teise võttega. 5x2 + 10x + 5 = 5 (x2 + 2x + 1) = = 5 (x + 1)2
NJ-VN 77 x–2 77 x−2 Liites ajad saame võrrandi 77 77 + = 18, x+2 x−2 millest peale ühise nimetaja leidmist ja lihtsustamist saame 77( x − 2) + 77( x + 2) = 18, ( x + 2)( x − 2) ehk 77 x − 154 + 77 x + 154 = 18, millest x2 − 4 154x = 18x2 – 72 ehk 9x2 – 77x – 36 = 0 Võrrandi 9x2 – 77x – 36 = 0 positiivne lahend on 9. Seega on praami kiirus seisva vee suhtes 9 km/h. Vastus: Praami kiirus seisva vee suhtes on 9 km/h. Ülesanne 5. Üks tööline teeks kogu töö ära 6 päevaga, teine 15 päevaga. Algul töötas esimene tööline, töö lõpetas aga teine tööline. Kokku kulus 9 päeva. Mitu päeva töötas kumbki tööline? Lahendus: Oletame, et esimene tööline töötas x päeva, siis teine tööline pidi töötama 9 – x
2. Lahendada ülesanne kasutades sobivat simpleksmeetod (klassikaline simpleksmeetod, M-meetod või duaalne sim . Klassikalist simpleksmeetodit ei saa kasutada, kuna üks kitsendus >= märgiga. kitsendused 12x1+6x2<=24000 6x1+9x2<=18000 3x2>=4500 x1,x2>=0 F=15x1+12x2->max F-15x1-12x2=0 algne simplekstabel x1 x2 12 6
2. Lahendada ülesanne kasutades sobivat simpleksmeetod (klassikaline simpleksmeetod, M-meetod või duaalne sim . Klassikalist simpleksmeetodit ei saa kasutada, kuna üks kitsendus >= märgiga. kitsendused 12x1+6x2<=24000 6x1+9x2<=18000 3x2>=4500 x1,x2>=0 F=15x1+12x2->max F-15x1-12x2=0 algne simplekstabel x1 x2 12 6
Avaldise (-5t+6u)-(2t+3u) väärtus on a) -3t+9u; b) -7t+3u; c) -3t-3u; d) -7t+3u: e) -3t+9u Avaldise (-2a4x5)3 väärtus on a) 2ax2; b) 8ax2; c) 8a12x15; d) 2a7x8; e) 8a12x15. Hulkliige 8a+4b-4a-8b+11 on pärast sarnaste liikmete koondamist ja korrastamist a) 4b-4a+11; b) 4a+12b+11; c) 4a-4b+11; d) 27ab; e) 16ab+11 Tegurdades kaksliiget 4x2-16 saame tulemuseks a) 2x-8; b) (2x-4) (2x+4); c) (2x-4) (2x-4); d) 20x; e) ei ole võimalik tegurdada Avaldis (3x+y)(y-3x) on sama, mis a) 9x2-y2; b) (3x+y)2; c) (3x-y)2; d) y2-9x2; e) (y-3x)2. Avaldis (2x-3)2 on sama, mis a) 2x2-9; b) 4x2-9; c) 4x2-12x+9; d) 4x2+12x+9; e) 2x2+9. Avaldis (3a+b)2 on sama, mis a) (3a+b)(3a+b); b) (3a+b)(3a-b); c) 9a-6a+b; d) (b-3a)(b+3a); e) 3ab. Korrutise 3ax(2a2x-4ax3) väärtus on a) 6a2x-8ax3; b) 8a3x2-16a2x4; c) 6a3x2-12a2x4; d) 2a3x2-4a2x4; e) 24ax. Jagatise (9x2y-15xy3): (-3xy) väärtus on a) 3x-5y2;b) 3x3y2+5x2y4;c) 3x+5y2; d)-27x3y2+45x2y3; e)-x3y2+5x2y3. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE
8. Leida funktsiooni 3 f (x) = (x3 + 8)2 kasvamis- ja kahanemispiirkonnad ning lokaalsed ekstreemumid. 9. Avaldada m¨aa¨ramata integraal cos(5 - 6x)dx . 10. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . 2 + 9x2 11. Avaldada m¨aa¨ramata integraal x3 dx 5 . x4 + 1 12. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx . (1 + x2 ) arctan x 13. Avaldada m¨aa¨ramata integraal dx
3. Kirjutada välja primaarne lahend ja anda tundmatute optimaalsetele väärtustele majanduslik tõlgendus. 1. Koostada lineaarse planeerimise ülesanne. x1 juku valmistamine x2 miku valmistamine Kakaopulber g 24x1 + 12x2 <= 4800 + x3 Karamell g 6x11 + 9x2 <= 1800 + x4 Pähkel g 9x2 >= 4500 - x5 F= 13x1 + 18x2 --->max F'= -13x1 - 18x2 - Mx6 --->min F'+13x1+18x2+Mx6=0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
Parabool avaneb ülespoole ja x telge ei puuduta ega lõika. 4 Vastus. L = Ø. Ülesanne 3. Lahenda ruutvõrratus. 1) 12x2 36x 0 2) 3x2 1200 0 3) 5x2 + 9x + 2 > 0 4) 4x2 11x 3 < 0 5) 3x2 + 11x 4 0 6) 4x2 7x + 2 0 7) 5x2 9x + 2 > 0 8) 3x2 + 14x 5 < 0 9) x2 10x + 25 0 10)x2 + 8x 16 0 11) 4x2 + 4x 1 > 0 12) 9x2 6x + 1 < 0 13) x2 + 2x + 8 > 0 14) x2 + 6x 10 < 0 15) 2x2 x 10 0 16) 3x2 2x + 5 0 17) 12 x(x + 3) 20 18) x(x 7) 10 25 19) x(x + 4) 4 20) x(6 x) 9 1 1 - ;2 - ;3 Vastused. ( ;3 0; ); ( ;20 20; ); 5 ; 4 ;
saada ka integraalide tabeleid. Põhiintegraalide tabel on antud ka ülesannetekogus [1] lk 63-64. Nende valemite õigsuses on võimalik veenduda diferentseerimise teel (vt [5], lk 358-360). Näiteid nende tabelite rakendamise kohta võib leida raamatutest [3], lk 209-213 ja [5], lk 362. Enne avaldiste integreerimist tuleks kasutada ka integreeritavate avaldiste lihtsustamise võima- lusi. Näide 3.4 (3x - 2)2 dx = (9x2 - 12x + 4)dx = 9x2 dx - 12xdx + 4dx = x3 x2 =9 x2 dx - 12 xdx + 4 dx = 9 - 12 + 4x + C = 3 2 = 3x3 - 6x2 + 4x + C. Näide 3.5 3 3 3
piirv¨aa¨rtus ei lange kokku, siis piirv¨a¨artus puudub. Oigeks loeti antud juhul ka nii - kui ka +. 2. Leida tuletised y (x) (2p): cos(x2 ) 2 y= , y = 2xex 3x3 + 2x Lahendus. (cos(x2 )) (3x3 + 2x) - cos(x2 )(3x3 + 2x) - sin(x2 ) · 2x(3x3 + 2x) - cos x2 (9x2 + 2) 1)y = 3 2 = . (3x + 2x) (3x3 + 2x)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)y = (2x) ex + 2x(ex ) = 2ex + 2xex · (x2 ) = (2x) ex + 2xex (x2 ) = 2ex + 4x2 ex 3
N¨ uu ¨d aval- dame juhttundmatud x1 , x3 vabaliikmete ja vabade tundmatute x2 , x4 kaudu. Seda on mugav teha nii, et k~ oigepealt avaldame x3 teisest v~orrandist. Saame x3 = -10 + 11x2 + 5x4 Edasi arvutame esimesest v~orrandist x1 = -2 - x3 + 2x2 + x4 = -2 - (-10 + 11x2 + 5x4 ) + 2x2 + x4 = 8 - 9x2 - 4x4 ¨ Uldlahend on x1 = 8 - 9x2 - 4x4 x3 = -10 + 11x2 + 5x4 x2 , x4 - vabad tundmatud ¨ Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendamisel s¨ us- teemi v~orranditesse peavad vabad tundmatud koonduma. Kontrol- lime (¨ uld)lahendit n¨aiteks esimese v~
Katuslagi/välissei n 0,13 2x(30+10)=80m 80x0,13=10,4 Välissein/sokkel 0,17 2x(30+10)=80m 80x0,17=13,6 Välissein/aken 0,03 45x2x(1,5+3)=405 405x0,03=12,1 33 m 5 Välissein/rõdu (rõdu kinnitus) 0,3 9x2=18tk 18x0,3=5,4 = Summa 44,43W/K Samm nr 3 Ülesandes küsiti kui palju suurendavad külmasillad välisseina ühe ruutmeetri soojusjuhtivust ehk ühikuks on W/m2K. Meil on leitud aga külmasildadest tulenev soojusjuhtivus kogu hoone peale ühikuks on W/K. Enne kui neid kokku saab liita vastavalt valemile Uc= U+U tuleb kogu hoone külmasildadest
on k~orgeima astmega liige 2x4 . Jagaja k~orgeimat astet peab korrutama suurusega 2x2 , selleks et saada jagatava k~orgeimat astet. Seega esimeseks liikmeks jagatises on 2x2 . Sellega korrutame kogu jagaja, tulemuse 2x4 - 6x3 + 4x4 kirjutame jagatava alla ja lahutame: 2x4 - 3x3 + x2 - 2 : x2 - 3x + 2 2x4 - 6x3 + 4x2 2x2 + 3x + 6. 3x3 - 3x2 - 2 3x3 - 9x2 + 6x 6x2 - 6x - 2 6x2 - 18x + 12 12x - 14 Lahutamise tulemuseks on 3x3 - 3x2 - 2. J¨argmise liikme jagatisse leiame saadud tulemuse ja jagaja k~orgemate astmete v~ordlemise teel - jagaja k~orgeimat astet x2 tuleb korrutada suurusega 3x, selleks et saada k~orgeimat astet 3x3 . Korrutame 3x-ga kogu jagajat, kirjutame tulemuse
tsentrioolist. Tsentriool koosneb mikrotuubulitest. Rakujagunemisel tulevad tsentrosoomist kääviniidid. Tsentrioolid koosnevad üheksast kolmekaupa seostunud mikrotorukeste kogumist. 16 * Ülesanne: osalevad raku jagunemisel kujundavad kääviniidistiku (vt õp lk 63 joon 3.28) 12. Ripsmed, viburid Päristuumsete rakkude viburitel ja ripsmetel on korrapärane siseehitus: 2+9x2 (9 paarilist torukest +2) * Viburite leidumine: viburloomadel, spermidel * Viburite ülesanded: raku liikumine keskkonnas * Ripsmete eripära: neid on rohkem, lühemad, peenemad, töö koordineeritud. * Ripsmete ülesanded: raku liikumine, lähikeskkonna muutmine, kinnitumiseks. * Ripsmete leidumine: ripsloomadel, inimese hingamisteedes, munajuhades 13. Rakutuum Tuuma ülesanded: · raku elutegevuse juhtimine
- , mille maksimaalne vastus ongi ranitsaülesande tabelis (alati 2 vastust). Valemis c on vastav muutujakordaja sihifunktsioonis, a kitsenduses. Tabel täidetakse vastavalt valemile, ning vastus saadakse viimase elemendi kaudu. Vaadeldakse, millise arvu kaudu eelmisest veerust on saadud antud arv, jne kuni iga x* elemendi kohta on teada, kas teda võeti 1 või 0. NB! Vastuseks ei ole mitte tabelis olev arv, vaid see arv (1 või 0) mille kaudu see arvutati. N: z=7x1+9x2+15x3+6x4+10x5àmax 5x1+7x2 +3x3+2x4+4x516 1 .! = 0 26. Mänguteooria põhimõisted (majandusülesande taandamine mänguks) Majanduses sõltub tihti, mis otsuseid teevad teised inimesed. Seega tekivad huvide konfliktid. Konfliktisituatsiooniks nim olukorda, kus lõpptulemus sõltub vähemalt kahe erineva huviga osaleja tegevusest. Mänguteooria uurib konfliktide matemaatilisi mudeleid ja nende lahendamise täpseid meetodeid.
annaabi.ee 
