Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) a*b=0 Pikkus-AB=X2+Y2 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Pikkus-AB=X2+Y2 Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b a*b=0 Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2
siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed A||B k1=k2 risti AB k1k2 = -1 s1+s2 = 0 nurk kahe sirge vahel tan Tõus: k=f'(x0)= tan k= Ringjoonevõrrand: (x-x0)+(y-y0)2= r2 A(x0y0)- keskpunkt Bernoull`i valem: Pn(x=k)=Cnk pk qn-k
nurga koosinuse korrutisega. a b = a b cos a b 12. a b = a pra b = b prb a , millest prb a = b 13. skalaarruut aa = |a| 2 a = a2 a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0
nurga koosinuse korrutisega. a b = a b cos a b 12. a b = a pra b = b prb a , millest prb a = b 13. skalaarruut aa = |a| 2 a = a2 a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0
t. a b = a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b = X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA = (2 - (-3);0 - 1;-1 - 1) = (5;-1;-2) BC = (0 - (-3);-2 - 1;1 - 1) = (3;-3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA = 5 2 + (-1) 2 + (-2) 2 = 30 BC = 3 2 + (-3) 2 + (0) 2 = 18 Vektorite skalaarkorrutis
t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30 BC 3 2 (3) 2 (0) 2 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub
t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b X 1 X 2 Y1Y2 Z 1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30 BC 3 2 (3) 2 (0) 2 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub
Kummal juhul lendab pall suurema kiirendusega? Vektorid Vektorite liitmine ja lahutamine (rööpkülikureegel) Vektorid Vektorid Vektorid Vektorid Vektori skalaarkorrutis Vektorid • Skalaarkorrutise omadused: • ab=ba • (λa)b=λ(ab), kus λ on reaalarv. • a2=aa=a2 • Skalaarkorrutise saab, teades koordinaate, leida nii: • ab=x1x2+y1y2 Vektorid Vektori projektsioon x ja yteljel. Vektorid Vektorid Vektorkorrutis Vektorid a × b = |a| |b| sin(θ) n cx = aybz − azby cy = azbx − axbz cz = axby − aybx Vektorid Vektorid Vektorid • a=(2, -1, 3) • b=(5, 7, -4) • Leia axb • a=(2,3,4) b=(5,6,7) Leia c=axb Vektorid Ülesanne
koordinaatides. liitmine vastavad koordinaadid liidetakse lahutamine vastavad koordinaadid lahutatakse korrutamine arvuga iga koordinaat korrutatakse antud arvuga 17. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks ab nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist. (või vektorite vastavate koordinaatide korrutis ab = (x1x2 + y1y2 + z1z2)) rakendusi: Kaks vektorit asetsevad risti ( ) parajasti siis, kui = || || cos 90° = 0 18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille: siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole;
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5
funktsioonidega. See tähendab, et suurt toimekiirust nõudvates ajamites tuleb mikroarvuti
ebapiisava toimekiiruse tõttu minna arvutuste täpsuse ja nende täitmise kiiruse valikul
kompromissile.
134
ALGUS
Sisestus
x1x2 y1y2
y
y
2
k = y2 / x2
x
annaabi.ee 
