2). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud. Eeldame, et {Xn} on Cauchy jada. Def. kohaselt leidub
selline n N, et |Xn+p - Xn|<1 õ de n N rr Täh t e A:= Xn+1, siis A-1
8. Näidata, et Cauchy arvjada (fundamentaaljada, mille liikmed on reaalarvud) koondub. Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) Olgu {xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tõkestatud, siis Bolzano- Weierstrassi teoreemi > 0, et iga x ∈ (a, a + δ(ε)) korral kehtib vorratus |f(x) − b| < ε. kohaselt sisaldab {xn} mingi koonduvaosajada {xnk}. Tahistame a := limk→∞ xnk Funktsioonil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis, kui iga jada {Xn} mis koondubja naitame, et limk→∞ xn = a. Olgu ε > 0 ja olgu N selline indeks, et punktis a korral jada {f(xn)} koondub arvuks b. |xn+p − xn| < ε/2 (n > N, p ∈ N) Funktsioonil f eksisteerib punktis a arvuga b vorduv piirväärtus parajasti siis kui Edasi, olgu K ∈ N valitud nii, et nk > N kui k > K ja |xnk − a| < ε/2
3). Näitame, et iga Cauchy jada koondub. Olgu {Xn} Cauchy jada. Kuna iga Cauchy definitsioonist. jada on tõkestatud, siis Bolzano-Weierstrassi teoreemi kohaselt sisaldab {Xn} mingi Olgu lim(x→x0)f(x) = a.Valime ε = 1. Lause 1 põhjal leidub selline suurus δ > 0, mis koonduva osajada {Xnk}’d. määrab punkti x0 korral sellise ümbruse Uδ(x 0) = {x | |x − x 0| < δ}, et x ∈ Uδ(x0) {x0} a ≔ lim X a ≔ lim X ⇒ |f(x) − a| < 1 ⇒ ||f(x)| − |a|| < 1 ⇒ |f(x)| < 1 + |a| ⇒ f(x) = O(1) (x ∈ Uδ(x0) {x0}).
2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste
selle funktsiooni väärtuste hulk sellel lõigul Y = {f(x)|x ∈ [a,b]}on tõkestatud. Tõestus: Olgu f(x) ∈ C[a,b]. Eeldame väitevastaselt, et funktsioon f(x) on tõkestamata sellel lõigul, st suvalise n ∈ N korral leidub selline xn ∈ [a,b], et |f(xn)| ≥ n. Moodustame sel viisil jada{xn}, n→∞ kusjuures f(xn) → ∞. Et xn ∈ [a,b], siis jada{xn}on tõkestatud. Bolzano-Weierstrassi teoreemi põhjal võib tõkestatud jadast{xn} eraldada koonduva osajada{xnk}. Seega,∃ lim xnk = c ∈ [a,b]. k→+∞ Kasutades funktsiooni pidevust lõigul [a,b], leiame, et lim f(xnk) = f(c), kusjuures suurus f(c) on k→+∞ n→∞ k→∞ lõplik. Teisalt järeldub tingimusest f(xn) → ∞ tingimus f(xnk)→ ∞. Oleme saanud vastuolu, mis oli
kõikide n > N puhul, s.t. lim xn = b. n→∞ Analoogiliselt tõestatakse väide kahaneva tõkestatud jada puhul (iseseisvalt!)z. 36 2 Arvjadad 2.2.2 Bolzano–Weierstrassi teoreem Definitsioon. Olgu (xn ) mingi arvjada ning (nk ) rangelt kasvav naturaalarvude (indeksite) jada, s.t. nk ∈ N ja n1 < n2 < n3 < . . . . . Jada (xnk ) = (xn1 , xn2 , . . .) nimetatakse esialgse jada (xn ) osajadaks (subsequence, подпоследовательность). Märgime, et indeksite jada (nk ) range kasvavus ja järeldus 1.15 aitavad matemaatilise induktsiooni meetodil tõestada, et iga k ∈ N korral nk > k. (Iseseisvalt!)z Teisisõnu, osajada on jada, mis saadakse esialgsest jadast lõpliku või loenduva arvu liik- mete väljajätmisel.
Eraldame jadast {(-1)n (n - 1)/n} kaks osajada N¨ {(-1)2n (2n - 1)/(2n)} = {(2n - 1)/(2n)} (v~oetakse l¨ ahtejadast vaid paarisarvulise indeksiga liikmed) ja {(-1)2n+1 (2n)/(2n + 1)} = {(-2n)/(2n + 1)} (v~oetakse vaid paarituarvulise indeksiga liikmed). Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem). Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st xn = O(1) {nk } : {xnk } c. T~ oestust vt [5], lk 113. okestatud jada {(-1)n (n-1)/n} on hajuv, kuid m~olemad esitatud N¨aites 2 esitatud t~ osajadad {(2n - 1)/(2n)} ja {(-2n)/(2n + 1)} on koonduvad, kusjuures (2n - 1)/(2n) 1 ja (-2n)/(2n + 1) -1. Lause 11 (Cauchy kriteerium). Jadal {xn } on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui
¨ I 21 / 24 Jada piirva¨ artus ¨ ~ Cauchy kriteeriumi toestus III ¨ 3. Naitame, et iga Cauchy jada koondub. Olgu {xn } Cauchy jada. Kuna iga Cauchy jada on tokestatud, ~ siis Bolzano- Weierstrassi teoreemi kohaselt sisaldab {xn } mingi koonduva osajada {xnk }. Tahistame ¨ ¨ a := limk xnk ja naitame, et limk xn = a. Olgu > 0 ja olgu N selline indeks, et |xn+p - xn | < (n > N, p N) 2 Edasi, olgu K N valitud nii, et nk > N kui k > K ja
susele. Mõnel juhul kasutatakse normväärtusena nimiväärtust. • Arvutuslik kandevõime, arvutuslik tugevus /design resistance/ Rd − konstruktsiooniline kandevõime (tugevus), mis seob kõik konstruktsioonili- sed omadused vastavate materjalide omaduste arvutuslike väärtustega. Leitakse materjalide omaduste arvutuslike väärtuste Xnd alusel Rd = f {X1d, X1d, …} või alternatiivina materjalide omaduste normväärtuste XnK alusel: Rd = f {X1K, X1K, …} / γM γM − materjali omaduse osavarutegur − ≥ 1,0 • Materjali omaduse arvutuslik väärtus /design value of a material property − väärtus, mis saadakse materjali omaduse normväärtuse jagamisel mater- /− jali omaduse osavaruteguriga või erijuhtumitel otsese määramise teel: Xd = XK / γ M • Materjali omaduse osavarutegur /partial factor for a material property/− −
annaabi.ee 
