kujunemist: n = xij + zj = xj i=1 kus: zj j-nda haru lisatud väärtus, xj j-nda haru kogutoodang. Harudevaheline maatriksbilanss näeb välja järgmine: haru 1 j n lõpptoodang kogutoodang 1 x11 x1j x1n y1 x1 i xi1 xij xin yi xi n xn1 xnj xnn yn xn yi = lisatud väärtus z1 zj zn i - = zj j 2
1 , 2 , ..., n n¨ uu¨d P (1 , 2 , ..., n ) abil. N¨aiteks P (4, 7) koosneb permu- tatsioonidest 4 7 ja 7 4. Definitsioon 3.1. Me nimetame n-j¨ arku ruutmaatriksi x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn n-j¨ arku determinandiks reaalarvu, mida t¨ ahistatame x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n |X| = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn abil ja anname valemiga |X| := (-1)I(1 ,2 ,...,i ,...,n ) x11 x22 . . . xii . . . xnn . (3.1) P (1,2,.
.., αn ) abil. N¨aiteks P (4, 7) koosneb permu- tatsioonidest 4 7 ja 7 4. Definitsioon 3.1. Me nimetame n-j¨ arku ruutmaatriksi x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n X = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn n-j¨ arku determinandiks reaalarvu, mida t¨ ahistatame x11 x12 . . . x1n x x22 . . . x2n |X| = 21 ................... xn1 xn2 . . . xnn abil ja anname valemiga |X| := (−1)I(α1 ,α2 ,...,αi ,...,αn ) x1α1 x2α2 . . . xiαi . . . xnαn . (3.1)
) * , , . x¬kron = {(x1/2) + x2 + ...+xn1 + (xn/2)} / (n1) = , 26. . , ,
majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 y2 x2 Tn yn xn x21 x22 . x2n ... ... . ... xn1 xn2 . xnn Lisatud väärtus z1 z2 zn y = z i k Kogu toodang x1 x2 xn x = x i k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul: (xik) + (yi) = (xi).
majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info: Tootjad Tarbijad Lõpptoodang Kogutoodang T1 T2 Tn T1 x11 x12 . x1n y1 x1 T2 x21 x22 . x2n y2 x2 ... ... . ... yn Tn xn1 xn2 . xnn xn Lisatud väärtus z1 z2 zn y i = z k Kogu toodang x1 x2 xn x i = x k Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse. Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul: (xik) + (yi) = (xi). Lisatud väärtuste hulka kuuluvad näiteks töötajate palk, amortisatsioon, maksud.
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa12 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. k~ 2
xa (x) suurusi ja sama j¨arku l~opmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui lim (x) = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks l~opmatult xa (x) kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul . 3. Kui lim (x) = 0, siis nimetatakse suurust k~orgemat j¨arku l~opmatult xa (x) kahanevaks suuruseks suhtes. N¨ aited. 1. Vaatleme astmefunktsioone a1 xn1 ja a2 xn2 , kus astmed n1 ja n2 on positiivsed t¨aisarvud ning kordajad a1 ja a2 on nullist erinevad. Tegemist on l~opmatult n1 kahanevate suurustega piirprotsessis x 0. Olgu n1 > n2 . Siis on suhe aa21 xxn2 = aa12 xn1 -n2 samuti positiivse astmega astmefunktsioon. Seega n1 lim aa12 xxn2 = lim aa12 xn1 -n2 = 0, millest j¨areldub, et funktsioon on a1 xn1 on x0 x0 k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aike suurus funktsiooni a2 xn2 suhtes. 2
korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ... xinj1 xinj 2 ... xinjn *Miinorit xim +1 jm +1 xim +1 jm +2 ... xim +1 jn xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn
Loogikafunktsioonide täielik süsteem Eelnevast on teada, et suvaline loogikafunktsioon on esitatav DNK ja KNK kujul. Järelikult on suvaline funktsioon kujutatav läbi funktsioonide &, V ja . Loogikafunktsioonide süsteemi, mille abil on võimalik kujutada suvalise keerukusega loogikafunktsiooni, nimetatakse täielikuks süsteemiks. Olgu antud loogikafunktsioonide süsteem S: S={ f1(x1 ,x2 ,..... ,xn1 ), f2(x1 ,x2 ,..... ,xn2 ),...., f m(x1 ,x2 ,..... ,xnm )} · Süsteemi S superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni f, mis on saadud süsteemi S funktsioonidest järgnevalt: 1. funktsiooni fi S muutujate ümbernimetamisega; 2. funktsiooni fj S mõne muutuja asendamisega funktsiooniga fk S ; 3. eelneva kahe tegevuse korduval rakendamisel. · Süsteemi S nimetatakse täielikuks, kui suvaline funktsioon f(x1 ,x2 ,..... ,xn ) on esitatav läbi süsteemi S superpositsiooni.
Loogikafunktsioonide täielik süsteem Eelnevast on teada, et suvaline loogikafunktsioon on esitatav DNK ja KNK kujul. Järelikult on suvaline funktsioon kujutatav läbi funktsioonide &, V ja . 24 Loogikafunktsioonide süsteemi, mille abil on võimalik kujutada suvalise keerukusega loogikafunktsiooni, nimetatakse täielikuks süsteemiks. Olgu antud loogikafunktsioonide süsteem S: S={ f1(x1 ,x2 ,..... ,xn1 ), f2(x1 ,x2 ,..... ,xn2 ),...., f m(x1 ,x2 ,..... ,xnm )} Süsteemi S superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni f, mis on saadud süsteemi S funktsioonidest järgnevalt: 1. funktsiooni fi S muutujate ümbernimetamisega; 2. funktsiooni fj S mõne muutuja asendamisega funktsiooniga fk S ; 3. eelneva kahe tegevuse korduval rakendamisel. Süsteemi S nimetatakse täielikuks, kui suvaline funktsioon f(x1 ,x2 ,..... ,xn ) on esitatav läbi süsteemi S superpositsiooni.
j neuroni järjekorra number vaadeldavas kihis; x, w, b närvivõrgu vastavad sisendid, kaalukoefitsiendid ja nihked; peidetud kihi aktiveerimisfunktsioon sigmoid funktsioon; C väljundkihi lineaarse aktiveerimisfunktsiooni koefitsient ( y = C x , C 0 ); r närvivõrgu väljundi järjekorra number. Närvivõrgu sisendite hulka K moodustavad n-mõõtmelised vektorid U = [x11 K xn1 ] n . T K n . Hulk K on kompaktne. Iga närvivõrgu väljund on reaalarv : y r , r = 1,K, m . Kujutuste (2.3) jaoks kõik kolm definitsiooni 4 tingimust on täidetud. Järelikult vastavalt definitsioonile 4 kõikide närvivõrgu funktsioonide (2.4) hulk (erinevate võrgu parameetrite puhul) moodustab pidevate funktsioonide algebra kompaktsest hulgast K n ruumi .
seost F ≡ F & (A ∨ ¬A). Seejärel rakendame uuesti distributiivsuse seadusi ja korrutame sulud lahti o Jätame välja täielike elementaarkonjunktsioonide korduvad eksemplarid, kasutades idempotentsuse seadust F ∨ F ≡ F . 7. Boole’i funktsioonide esitamine lausearvutuse valemitega. [1, L3 slaidid] o DEF: Kaheelemendilisel hulgal defineeritud funktsioone nim Boole’i funktsioonideks. o Teoreem: Iga Boole’i funktsiooni f(X1, … , Xn1, Xn) saab esitada lausearvutuse valemina milles ei ole muid tehtemärke, kui &, ∨ ja ¬. 8. Lausearvutuse (tehted, valemid, samaväärsus, teisendamine, normaalkuju jne) seosed programmeerimise, infosüsteemide jms-ga. Telefoniraamatu ülesanne, kuidas leiab kiiremini jne.. 9 9. **Tõestamise strateegiad, mis tulenevad eelduste või juba tõestatud faktide kujust: konjunktsioon,
j neuroni järjekorra number vaadeldavas kihis; x, w, b närvivõrgu vastavad sisendid, kaalukoefitsiendid ja nihked; peidetud kihi aktiveerimisfunktsioon sigmoid funktsioon; C väljundkihi lineaarse aktiveerimisfunktsiooni koefitsient ( y = C x , C 0 ); r närvivõrgu väljundi järjekorra number. Närvivõrgu sisendite hulka K moodustavad n-mõõtmelised vektorid U = [x11 K xn1 ] n . T K n . Hulk K on kompaktne. Iga närvivõrgu väljund on reaalarv : y r , r = 1,K, m . Kujutuste (2.3) jaoks kõik kolm definitsiooni 4 tingimust on täidetud. Järelikult vastavalt definitsioonile 4 kõikide närvivõrgu funktsioonide (2.4) hulk (erinevate võrgu parameetrite puhul) moodustab pidevate funktsioonide algebra kompaktsest hulgast K n ruumi .
Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z. Väide kehtib ilmselt juhul b = 0, siis x = 0, seega võime piirduda juhuga b > 0. A. Vaatleme esiteks juhtu b > 1. Tähistame X := {z ∈ R | z > 0, z n 6 b} , selge, et 1 ∈ X, järelikult X 6= ∅. Hulk X on ülalt tõkestatud, nimelt on arv b ise hulga X ülemiseks tõkkeks (põhjendada!)z. Pidevuse aksioomi kohaselt eksisteerib x := sup X, kuna 1 ∈ X, siis x > 1, mistõttu
annaabi.ee 
