1. Lahenda kolmnurk ja arvuta selle pindala, kui tipud on K(4; 2; 10), L(10; -2; 8) ja M(-2; 0; 6). Leia küljele LM tõmmatud mediaani pikkus ja küljega KL paralleelse kesklõigu vektor. 2. Kasuta segakorrutist ja vektorkorrutist ning leia rööptahuka ABCDEFGH ruumala ja kõrgus, kui B(-2; 4; -3), C( 4; -3; 2); D(3; 2; -1) ja G(2; -1; 5) 3. Nelinurga ABCD tipud on A(9; 3; -8), B(7; 5; -9), C(-5; -1; 0) ja D(-11; -7; -7). 3.1. Veendu, et see nelinurk on trapets. Tee kindlaks, millised lõigud on trapetsi alusteks. 3.2. Kas trapets on võrdhaarne? 3.3. Leia trapetsi kesklõigu otspunktid. 3.4. Leia trapetsi haarade pikenduste vahelise nurga koosinus.
mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on AB vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused-A,B,C A=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C)+Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 19) Kahe vektori vektorkorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. Vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor c = a × b.Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. Vektorte vektorkorrutist võib esitada ka maatrikskujul: 20) Kolme vektori segakorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. 21) Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanooniline võrrand. 22) Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja üldvõrrand. 23) Tasandi normaalvõrrand
momendi vektor on suunatud joonise sisse. Määratleme jõu F rakenduspunkti kohavektori r punkti O suhtes. See on vektor, mis viib punktist O jõu rakenduspunkti. Siis võime vastavalt vektorkorrutise definitsioonile kirjutada jõumomendi definitsiooni järgmisel kujul. Jõu F momendiks punkti O suhtes nimetatakse punkti O jõu rakenduspunktiga ühendava vektori r ja jõu F vektorkorrutist: MO = r ×F . (6.5) Märkus. Vektorkorrutise tähistamiseks asutatakse ka kirjaviisi M O = [r , F ] . 6.1a Newtoni III seaduse analoog pöördliikumisel. Vaatleme kahte punktmassi m1 ja m 2 , mis mõjutavad teineteist jõududega F1, 2 ja F2 ,1 .
Mõõduks mass, my=Fiy Punktmassi liikumishulga momendiks punkti Mehaanilise en jäävuse s: Kin en ja pot en mõõdetakse kg. Mida suurem on mass seda mz=Fiz O suhtes nim liikumishulga ja selle summa on alati const(T+V=const) suurem on inertsus. Loomulikes koordinaatides: rakenduspunkti kohavektori vektorkorrutist. Mehaaniliseks en nim kin en ja pot en summat Punktmassiks nim materiaalset keha, mille m*s=Fit at (-raadius, Liikumishulga momentide summat Lo(m*v) (E=T+V=const) mõõtmeid selle keha liikumise uurimisel ei m*s²/=Fin an s-kiirus) nim kineetiliseks momendiks Lo. Punktmasside Punktmasside süsteemi liikumisel jääb tema arvestata. Üldjuhul kasutame raskuskeset
hüpertasandiks A läbiv sirge u mille võrand on ax+by+c=0 ja mille normaalvektor on =(a,b).Kolmemõtmilises ruumis on hüpertasandi A läbiv ja vektoriga risti olev tasend. 28. Punkti kaugus hüpertasandist. . avaldub kujul 29. Vektorkorrutis. eukl. vektorruumis dimV=3vektorid =(,,), =(,,) s.o , on xyz teljestiku vektorid.Def. 1 Vektorite ja vektorkorrutis, mida tähist on vektor = Kuna xyz teljestiku ühikvektorid on , , , siis saab vektorkorrutist esitada veel == Def. 2 Vektorite ja vektorkorrutis on risti vektoritega ja ja tema pikkus =S( ) 30. Vektorite segakorrutis.
18. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, avaldis koordinaatides, rakendused). Kahe ruumivektori a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse sellist vektorit c, mille: siht on risti vektoritega a ja b ; suund ühtib parema käe kruvi kulgeva liikumisega, kui pöörata vektorit a vektori b poole; pikkus on arvuliselt võrdne vektorite a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga. vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. omadused: samasihiliste/paralleesete (vektorite vaheline nurk = 0° või 180° ehk sin = 0) ehk kollineaarsete vektorite vektorkorrutis on null. × = - ( × ) iga kahe vektori ja korral r(a × b) = (ra) × b = a × (rb) iga kahe vektori a ja b ning mis tahes arvu r R korral c × (a +b) = (c × a) + (c × b) ja (a +b) × c = (a × c) + (b × c) iga kolme vektori a, b ja c korral. avaldis koordinaatides:
3. vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline, st x×y = −y×x 4. suvaliste vektorite x, y, z korral ja suvalise reaalarvu α korral kehtivad valemid 2 Arvutamise valemid koordinaatides ristreeperis Kahele vektoritele ehitatud rööpkülik Rakendused: ● jõu moment punkti A suhtes on võrdne vektorkorrutisega ● Masspunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse vektorkorrutist Segakorrutis Segakorrutamine antakse vektorkorrutamise ja skalaarkorrutamise kaudu. Kuna vektorkorrutamine on antav vektorruumis E3, siis on ka segakorrutamine antav ainult vektorruumis E3. Kolme vektori x, y, z ∈ E3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse abil ja mis antakse valemiga Segakorrutamise omadused 1. Segakorrutamine sõltub vektorite järjekorrast järgmiselt 2. Vektorite a, b, c segakorrutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele
|x × y| on võrdne vektoritele x,y ehitatud rööpküliku pindalaga S rk ( x , y )=|x × y| 25.Rakendused: jõu moment punkti suhtes- Oletame, et meil on vaadeldavale massipunktile P rakendatud jõud F ja me tahame leida selle momendi punkti A suhtes. Jõu moment punkti A suhte on võrdne vektorkorrutisega M A ( F )= AP × F masspunkti liikumishulga moment- massipunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse vektorkorrutist L=r × K =r ×(mv) 26.Segakorrutis-Segakorrutamine on antav ainult kolmemõõtmelises ruumis. Kolme vektori x , y , z ∈ E 3 segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse xyz abil ja mis antakse valemiga xyz=(x × y ) ∙ z 27.segakorrutamise omadused- xyz= yzx =zxy=− yxz=−zyx=−xzy Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende
ehk D = ( × ) . (3) Teoreem. Vektorkorrutis × on risti mõlema teguriga ja . Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Tõestus. Vaatleme vektorite = ( a1 ; a2 ; a3 ) ja = ( b1 ; b2 ; b3 ) vektorkorrutist × . Võrduse (3) kohaselt a1 a2 a3 ( × ) = b1 b2 b3 = 0 a1 a2 a3 (selle determinandi väärtus võrdub nulliga, sest ta sisaldab kaks võrdsete elementidega rida)
Vasaku käe reegel: Kui panna vasak käsi nii, et magnetvälja jõujooned on suunatud peopessa ning sõrmed näitavad voolu suunda, siis näitab välja sirutatud pöial juhtmele mõjuva jõu suunda. Vasaku käe reegel 75 Matemaatiline vahepala: kuidas portreteerida vektorkorrutist Elektromagnetism on põhimõtteliselt kolmemõõtmeline: enamus tema valemitest sisaldavad vektorkorrutist. Tuletame meelde definitsiooni: Kahe vektori vektorkorrutiseks on vektor, mille mooduliks on teguritele ehitatud rööpküliku pindala ning mis on risti mõlema vektoriga. Vektorid , ja moodustavad parempoolse kolmiku. Niisiis: korrutiseks olev vektor on risti tasandiga, mille moodustavad kaks korrutatavat vektorit
momendi vektor on suunatud joonise sisse. Määratleme jõu F rakenduspunkti kohavektori r punkti O suhtes. See on vektor, mis viib punktist O jõu rakenduspunkti. Siis võime vastavalt vektorkorrutise definitsioonile kirjutada jõumomendi definitsiooni järgmisel kujul. Jõu F momendiks punkti O suhtes nimetatakse punkti O jõu rakenduspunktiga ühendava vektori r ja jõu F vektorkorrutist: MO r F . (6.5) Märkus. Vektorkorrutise tähistamiseks asutatakse ka kirjaviisi MO r, F .
annaabi.ee 
