Kirjavahemärgid Punkt Punkt pannakse (selle järel üks tähekoht tühikut): Väitelause järel. nt. Vanamees vahtis vareseid. Araabia numbriga kirjutatud järgarvsõna järele. nt. 9. (üheksas) Rooma numbri järele. nt. I. (esiteks) Tühikut ei jäeta sisepunkti puhul: Tekstis ilma punktita mingil põhjusel eksitada võivate juhulühendite järele. nt. e.m.a (enne meie aega) Järgarvu täpsustamisel tähega. nt. 6.a klass Läbinisti araabia numbritega kirjutatud kuupäevades. nt. 18.12.94, 08.02.2000 Tundide ja minutite, kroonide ja sentide, sporditulemuste ka meetrite ja sentimeetrite eraldamiseks. nt. kell 21.15, kurgikilo 4.50, viskas oda 74.16 Punkti ei panda:
Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil = f ( pi , y ) dy + D läbib piirkonna D sisepunkti ja on paralleelne y-teljega, lõikab piirkonna Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z=f 2(x,y) ja alt pinnaga 3. Kahekordse integraali omadusi i j j i D rajajoont maksimaalselt kahes punktis. z=f1(x,y), kusjuures Q projektsioon xy-tasandile on hulk D. Juhul kui ( f ( P) + g ( P))dS = f ( P)dS + g ( P)dS
vähendab kõverust (absoluutväärtuselt) suurim suurendab kõverust (Joon. 14.7 ja 14.8) normaalpinge on alati kõige on sisepunkti(de)s on sisepunkti(de)s sisemis(t)es punkti(de)s: survepinge (-); tõmbepinge (+). Priit Põdra, 2004 216
on lõpmata palju ümbrusi ja nende ühisosaks on {a}. Olgu a mingi arv. Vahemikku (a − δ, a + δ) =: U δ (a) , kus δ on mingi positiivne arv, nimetatakse arvu (ehk punkti) a δ-ümbruseks. Arvu δ nimetatakse seejuures ümbruse Uδ (a) raadiuseks. Igal punktil a ∈ R on lõpmata palju ümbrusi, s.h. kuitahes väikese raadiusega. Sellest tuleneb, et , teisisõnu, kui mingi arv x kuulub punkti a igasse ümbrusse, siis x = a Defineerida alamhulga X ⊂ R sisepunkti mõiste, kirjeldada vahemikku, poollõigu ja lõigu sisepunktide hulka. Punkti a ∈ X nimetatakse hulga X ⊂ R sisepunktiks, kui leidub selline δ > 0, et Uδ (a) ⊂ X. Hulga X kõigi sisepunktide hulka tähistame Xo. Kõik vahemikud (a, b) ja tõkestamata intervallid (−∞, b), (a,∞) ja (−∞,∞) koosnevad ainult sisepunktidest, niisiis, X = Xo, kui X on üks neist intervallidest. Seevastu kõigi naturaalarvude hulgal N ei ole ühtegi sisepunkti, s.t. No = ∅.
2. Kahekordse integraali arvutamine: regulaarse piirkonna definitsioon (+joonis); kaksikintegraali definitsioon; omadus 19.2. (kaksikintegraa1i tõkked) ja omadus 19.3. (keskväärtuse teoreem) tõestustega. Olgu xy-tasandil asetsev piirkond D selline, et iga sirge, mis on paralleelne ühe koordinaatteljega, näiteks y-teljega, ja läbib piirkonna sisepunkti, lõikab piirkonna rajajoont kahes punktis N 1 ja N2. Eeldame, et vaadeldav piirkond D on piiratud joontega y=1(x), y=2(x), x=a ja x=b, kusjuures 1 (x)2(x) ja a
sõnastuses? - Jah 43) Kas igale joonisele peab töö tekstis viitama? - Jah Igale joonisele tuleb too tekstis viidata. 44) Kas eestkeelsete lühendite lõppu pannakse punkt või mitte? - Ei Oigekeelsusreeglite kohaselt eestikeelsete luhendite loppu punkti ei panda, valja arvatud luhendid, mis langevad kokku mone eestikeelse sonaga (naiteks „koost.“ ehk „koostaja“). Teatavate sonauhendite luhendites tuleb kasutada sisepunkti siis, kui tekkinud luhend vastab monele eestikeelsele sonale (naiteks s.a ehk „sellel aastal“). Viidatud allikate loetelus pannakse punkt koigi voorkeelsete allikate luhendite loppu (naiteks S., pp., ed., Aufl.), eestikeelsete allikate korral sailitatakse tiitellehel oleva luhendi punkt (naiteks „Euroopa Kolledzi loengud. Vihik nr. 14“). 45) Viite koostis ja paigutus olenevad sellest, kas:
4. Muutujavahetus kahekordses integraalis Def. Teisendust x = x(u , v ) , y = y (u , v ) (u, v ) nimetatakse regulaarseks, kui 1. see teisendus on üks-ühene; 2. piirkonnas eksisteerivad pidevad osatuletised xu , xv , y u , y v ; xu xv 3. jakobiaan I (u , v ) = 0 piirkonnas . yu yv Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks. Väide. Kui funktsioon f on pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D ning teisendus x = x(u , v ) , y = y (u , v ) on regulaarne ja teisendab piirkonna D piirkonnaks , siis f (x, y )dxdy = f [x(u, v ), y(u, v )]I (u, v )dudv . D Üleminek polaarkoordinaatidele Olgu r 0 ja punkti P = ( x, y ) polaarkoordinaadid
Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata punkti a ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [a, b] nimetatakse piirväärtust b b f ( x )dx = lim f (x )dx . (2) l a + a l Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata lõigu [a, b] sisepunkti c ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [a, b] nimetatakse piirväärtust b c b f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx . (3) a a c Niiviisi defineeritud integraale nimetatakse päratuteks integraalideks. Kui vastav piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal koondub
3. Rooma numbri järele, nt I., II., III., mis tähendab `esiteks, teiseks, kolmandaks' (vt O 52); 4. tekstis ilma punktita mingil põhjusel eksitada võivate juhulühendite järele (vt O 48); 5. tundide ja minutite, kroonide ja sentide, sporditulemustes ka meetrite ja sentimeetrite eraldamiseks (kell 21.15, kurgikilo 4.50, viskas oda 74.16). Punkti järel on üks tähekoht tühikut. Tühikut ei jäeta sisepunkti puhul: 1. järgarvu täpsustamisel tähega: 6.a klass; 2. mõnedes sõnaühendilühendeis (mis langeksid kokku eesti sõnaga või mõne teise üldtuntud lühendiga): v.a, s.o, e.m.a, m.a.j, k.a, s.a, p.o; 44 3. tundide ja minutite, meetrite ja sentimeetrite, kroonide ja sentide eraldamisel: kell 13.45, hüppas kaugust 7.16, hind 84.95, kr 84
J¨arelikult int(A) on lahtine hulk ruumis X. Kui int(A) ⊂ C ⊂ A ja C on lahtine, siis C on oma iga punkti u¨mbruseks ja seet˜ottu C ⊂ int(A) ning int(A) = C. Seega on int(A) suurim lahtine hulk, mis sisaldub hulgas A. 3.2 Hulga sulund 27 20 J¨areldub omadusest 10 ja asjaolust, et lahtiste hulkade u ¨hend on lahtine. 30 J¨areldub vahetult omadusest 10 . 40 J¨areldub vahetult omadustest 10 ja 30 . 50 J¨areldub vahetult sisepunkti ja sisemuse definitsioonist. 60 Olgu x ∈ int(A∩B). Siis leidub punkti x selline u ¨mbrus U , et U ⊂ A ∩ B ehk U ⊂ A ja U ⊂ B. J¨arelikult x ∈ int(A), x ∈ int(B) ja x ∈ int(A) ∩ int(B). Seega int(A ∩ B) ⊂ int(A) ∩ int(B). Oletame, et x ∈ int(A) ∩ int(B). Siis x ∈ int(A), x ∈ int(B) ja leiduvad punkti x sellised u¨mbrused ¨ U ja V , et U ⊂ A ja V ⊂ B. Umbruste U ja V u ¨hisosa
annaabi.ee 
