vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. 19. Vektorite ristiseisu tunnus: kaks nullvektorist erinevat vektorit on risti siis ja ainult siis, kui nenede skalaarkorrutis on null 20. Siinusteoreem: a/sin = b/sin = c/sin 21. Koosinusteoreem: a2=b2-c2-2bccos, b2=a2+c2-accos, c2=a2+b2-2abcos 22. Kolmnurga pindala: S=ab· sin/2, S=ac·sin/2, S=cb· sin/2 23. Kahe nurga summa ja vahe sin sin(+)= sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin 24. Kahe nurga summa ja vahe cos cos(+)=coscos-sinsin, cos(-)=coscos+sinsin 25. Kahe nurga summa ja vahe tan tan(+)=tan+tan/1-tantan, tan(-)=tan-tan/1+tantan 26. Kahekordse nurga tan: tan2 = 2tan /1 -tan2 27. Kahekordse nurga sin: sin2 = 2sincos 28. Kahekordse nurga cos: cos2 = cos2-sin2 29. Poolnurga sin: sin /2= ±1-cos/ 2 30. Poolnurga cos: cos /2 = ± 1+cos/ 2 31. Poolnurga tan: tan /2= ±1-cos/ 1+cos, tan /2= sin/ 1+cos, tan /2= 1-cos/sin 32. sin summa tei. korrutiseks sin+sin=2sin +/2 cos -/2 33. cos summa tei
Liitmisvalemid sin(+) =sincos + cossin cos( + ) = coscos - sinsin tan + tan tan ( + ) = 1 - tan tan Taandamisvalemid NB! Vaata veerandit!!! II veerand sin(180° - ) = sin cos(180° - ) = -cos tan(180° - ) = -tan Kahekordne nurk sin2 = 2sincos cos2 = cos² - sin² 2 tan tan2 = 1 - tan 2
Valguse murdumine üleminekul vaakumist ainesse - langemisnurk, - murdumisnurk, c ja v - valguse kiirused vaakumis ja keskkonnas, n - keskkonna absoluutne murdumisnäitaja. Milline on aga seos langemis- ja murdumisnurkade vahel? Selle seose avastas Hollandi astronoom ja matemaatik Willebrord Snellius, kes 1621. aastal sõnastas valguse murdumisseaduse: valguse üleminekul ühest keskkonnast teise on langemisnurga ja murdumisnurga siinuste suhe jääv suurus sinsin=const, Seda konstanti nimetatakse murdumisnäitajaks. Kui keskkond, kust valgus tuleb, on vaakum, siis on tegemist absoluutse murdumisnäitajaga n. Teistel juhtudel on tegemist suhtelise murdumisnäitajaga. Absoluutne murdumisnäitaja iseloomustab ainet samuti nagu selle tihedus või eritakistus. Absoluutne murdumisnäitaja n oleneb valguse levimise kiirusest antud aines v ja vaakumis c: n=cvn=cv Nagu valemist näha, on absoluutne murdumisnäitaja ilma mõõtühikuta suurus ja
n n Olgu antud f ( x, y, z )dxdydz ning x=cossin x'=cossin x'=-sinsin x'=coscos A = lim An = lim F1 ( Pi ) xi + F2 ( Pi ) yi = lim ( Pi ) Si = ( P ) dS
tan(-)= -tan 2ac cot(-)= -cot a + b2 - c2 2 28. Kahe nurga summa ja vahe(trig.fn) cos = 2ab sin( + )=sincos + cossin 33. Kolmnurga pindala valemid sin( )=sincos - cossin ah cos( + )=coscos - sinsin 1)Aluse ja kõrguse abil S = cos( )= coscos + sinsin 2 tan -tan 2)2 külje ja nendevahelise nurga abil tan( -) = 1 +tan tan 1 S = ab sin 2 tan +tan 1
Tangens on + I ja III veerandis cos 3/2 2/2 1/2 0 tan 3/3 1 3 - II veerand: 180o antud nurk III veerand: antud nurk - 180o cot 3 1 3/3 - IV veerand: 360o antud nurk sin(± ) = sincos±cos sin cos(± ) = coscos sinsin tan(± ) = tan+tan/1 tantan sin2 = 2sincos cos2 = cos2-sin2 tan2 = 2tan/1-tan2 sin22 = (2sincos)2 = 4sin2cos2 Y=ax+b. Et A(2;1) asub sirgel y=ax+b, siis 2a+b=1. Sirge y=ax+b lõikab y-telge punktis, kus x=0 ehk y=b. Sirge y=ax+b lõikab x-telge punktis, kus y=0 ehk x=-b/a. Kingade hinda tõstetakse x korda 10 krooni. Kingad maksavad siis 200+10x Kingi ostetakse sel juhul 40-x Raha saadakse siis y=(200+10x)(40-x) Kilo hinda alandatakse x korda 0,1
z=z z'=0 z'=0 zz'=1 cos - sin 0 J ( , , z ) = sin cos 0 = Seega z 0 1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z ) dddz V V' Punkti P(x,y,z)R sfäärkoordinaadid ruumis alguspunktiga O on , ja , kus =| 3 OP|, - on punkti P projektsiooni polaarnurk xy-tasandil ja 0 on vektori OP ja z-telje vaheline nurk. x=cossin x'=cossin x'=-sinsin x'=coscos y=sinsin y'=sinsin y'=cossin y'=sincos z=cos z'=cos z'=0 z'=-sin Olgu piirkonnas V paiknevatele punktidele vastavate sfäärkoordinaatide hulk V'. cos sin - sin sin cos cos J ( ,, z ) = sin sin cos sin sin cos = -2 sin cos 0 - sin Seega f ( P)dxdydz = f ( cos sin , sin sin , cos) sin ddd
sin(+) =sincos + cossin Näiteks: sin10°cos20° + cos10°sin20° = sin(10° + 20°) = sin30° = 0,5 sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan sin(+) = sin[+(-)] = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin sin( ) = sincos-cossin Kahe nurga summa ja vahe koosinus cos( + ) = coscos - sinsin cos( - ) = coscos + sinsin 3 Näide: cos25°cos5° - sin2°sin5° = cos30° = 2 Kahe nurga summa ja vahe tangens tan + tan tan - tan tan ( + ) = tan ( - ) = 1 - tan tan 1 + tan tan
1 y 3 x a log 2 2 1 z sin(a x) a sin 2 x 2 cos2 5 4 5 5 3 a x 2,6 a b ab 6 3 6 1 3 a 4 x 4 3 3 3 32 2 sinsin xx y 2 y 2 2 a2 ya y 7 5 7 3 2 y | x b2 | 2 z z aatan tan sin sin b x 8,3 5a 2 2a ab b 3,73,b7 b a ab b 8 2 8 2
2,4 4 4 AD AB 2, 4 11 5 vektorite abil: cos 0,6 53 08 ` ; AD AB 4 11 3,2 2,4 5 siinusteoreemi abil: ; sinsin 90 16 5,76 10,24 5 koosinusteoreemi abil: cos ; 2 2,4 4 5 sirge AD tõusunurga kaudu: I variant: k = 0,75 = 907 arctan 0,75, 4 4 II variant: k = arctan ; 3 3
koonduvuse saab kindlaks määrata Dirichlet’ tunnuse abil. Ilmselt see rida koondub, kui x := mπ, kus m = 0, ±1, ±2, . . . , eeldame, et x 6= mπ, ning võtame uk := sin kx ja vk := k1 . Jada (vk ) puhul on lause 6.27 eeldused täidetud. Kuna n n n X 1 X x 1 X x x sin kx = 2 sinsin kx = cos − kx − cos + kx k=1 2 sin x2 k=1 2 2 sin x2 k=1 2 2 1 x 1 1 x 1 = cos − cos n + x 6 cos + cos n + x
annaabi.ee 
