BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga sisenurkade summa on 180°
· Lõik HG on kolmnurga ABD kesklõik, järelikult paralleelne selle kolmnurga alusega BD ning pool sellest alusest. · Kaks lõiku, mis on paralleelsed kolmandaga, on ka omavahel paralleelsed · Järelikult nelinurga EFGH kaks vastaskülge on paralleelsed ja võrdsed, seega see nelinurk on rööpkülik. · 8. Kolmnurga ümberringjoone suvalise punkti ristprojektsioonid kolmnurga külgedel või küljepikendustel asuvad ühel sirgel (teoreem)- · Kolmnurga ümberringjoone suvalise punkti ristprojektsioonid kolmnurga külgedel või küljepikendustel asuvad ühel sirgel · Eeldus: Punkt asub ümberringjoonel · Väide: Ristprojektsioonid külgedel (pikendustel) asuvad ühel sirgel · Pöördteoreem · Kui kolmnurga tasandil asuva punkti ristprojektsioonid kolmnurga
7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur
*esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine üheski vaates õiges suunas. Eriasendiline sirge Eriasendiline sirge on paralleelne ühe (või kahe) ekraaniga või asetseb mõnel neist. Tunnus: sirge kolmest kporjektsioonist on kaks paralleelsed mõne teiljega või ühtivad sellega. Sirglõigu pikkus ja kaldenurgad esinevad mõnes vaates oma tegelikus suuruses. Eriasendilised sirged on : *horisontaal (h) *frontaal (f) *profiilsirge (r). Horisontaal (h II 1)
*esiekraaniga- esijälgpunkt *külgjälg- külgjälgpunkt Põhijälg ja tema pealtvaade asetsevad põhiekraanil ja sirge pealtvaatel, põhijälje eestvaade aga x-teljel ja sirge eestvaatel. Esijälg ja tema eestvaade asetsevad esiekraanil ja sirge eestvaatel, esijälje pealtvaade aga x-teljel ja sirge pealtvaatel. Üldasendiline sirge Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi ekraaniga ega asetse sellel. Tunnus: kõik 3 sirge projektsiooni on kaldu ekraanide suhtes. Sirglõigu ristprojektsioonid on sirglõigust enesest lühemad. Sirgjoone kaldenurgad ei esine üheski vaates õiges suunas. Eriasendiline sirge Eriasendiline sirge on paralleelne ühe (või kahe) ekraaniga või asetseb mõnel neist. Tunnus: sirge kolmest kporjektsioonist on kaks paralleelsed mõne teiljega või ühtivad sellega. Sirglõigu pikkus ja kaldenurgad esinevad mõnes vaates oma tegelikus suuruses. Eriasendilised sirged on : *horisontaal (h) *frontaal (f) *profiilsirge (r). Horisontaal (h II 1)
alguspunktid ühtivad. Telgede eristamiseks nimetatakse ühte neist abstsissteljeks ehk x- teljeks, teist aga ordinaatteljeks ehk y-teljeks. Ristkoordinaadistik tasandil: · Kaks ristuvat suunaga arvsirget · Alguspunktid ühtivad · Ühikud on võrdsed Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: · Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin
Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: 1) Suunaga arvsirge 2) Alguspunkt (liikumise algus; O) 3) Pikkusühik. Ristkoordinaadistik tasandil: 1) Kaks ristuvat suunaga arvsirget 2) Alguspunktid ühtivad 3) Ühikud on vôrdsed. Punkti ristkoordinaadid sirgel ja tasandil: 1) Sirgel: A(x = |OA|, kui A asub pos. osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) 2) Tasandil (punkti koordinaatide saamiseks vôtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) => M(x;y). 10. Lõigu keskpunkti koordinaadid. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis. Lôigu keskkpunkti koordinaadid lôigu otspunktide vastavate koordinaatide aritmeetilised keskmised. C(c1;c2;c3) cI = (ai+bi) / 2, kus i = 1,2,3. a alguspunkti koord., b lôpp-punkti koord. Kahe punkti vahelise kauguse avaldis ristkoordinaatides: A(a1;a2;a3); B(b1;b2;b3) |AB| = [(b1-a1)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2]-1/2 = (3i=1 (bi-ai)2)-1/2. 11
Ristkoordinaadistik tasandil: Kaks ristuvat suunaga arvsirget Alguspunktid ühtivad Ühikud on võrdsed punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on
Kujutava geomeetria seda osa, mis käsitleb kujutiste tuletamist geomeetrilistest kehadest projektee- rimise teel, nimetatakse projektsiooniliseks joonestamiseks. 4. Punkti ja sirge projekteerimine Punkti kaksvaade Võetakse kaks teineteisega ristuvat tasandit (sele 11a) ja nimetatakse see, mis on horisontaalasendis – põhiekraaniks ning teine, mis on vertikaalasendis – esiekraaniks. Ekraanide ühisosa nimetatakse teljeks x. Tuletatakse ruumipunkti A ristprojektsioonid kummalgi ekraanil. Selleks suunatakse läbi võetud punkti A kaks projekteerivat kiirt: üks risti põhiekraaniga ε1, millel tekkinud kujutist nimetatakse pealtvaateks A' ja teine risti esiekraaniga ε2, kus saadud kujutist nimetatakse punkti eestvaateks A''. Punkti A kaugust põhiekraanist AA' nimetatakse selle punkti põhikvoodiks. Kaugust esiekraanist AA'' nimetatakse punkti esikvoodiks.
O O0 Ax A x0 x y x0 A A0 y0 Joon. 5 1.3. Mongei meetod 4 Meetod kasutab kaht risti olevat ekraani, millele tehakse objektist ristprojektsioonid. Seejärel pööratakse ekraanid koos kujutisega ühele tasapinnale - joonise pinnale. 1.3.1. Punkti kaksvaade Vtame 1 = xy-tasapind - phiekraan; 2 = xz-tasapind - esiekraan; Pärast ekraanide lahtipööramist saame punkti A kaksvaate (joon. 6), kus x 1 × 2 - kaksvaate telg; AA x - sidejoon; A ( xA ; yA ) - punkti A pealtvaade; A ( xA ; zA ) - punkti A eestvaade.
3 3 7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste 43 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A ( x1 ; y1 ; z1 ) ja B ( x2 ; y2 ; z2 ) , siis uuur uuur AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z2 - z1 ) ehk AB = ( X ; Y ; Z ) , kus X = x2 - x1 , Y = y2 - y1 , Z = z2 - z1 . r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur
3 3 7. VEKTORID 7.1 Vektori mõiste 43 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. r Vektorit tähistatakse v või AB , kus A on vektori alguspunkt ja B on lõpp-punkt. B Y Vektori AB koordinaatideks on tema ristprojektsioonid koordinaattelgedele. Kui A x1 ; y1 ; z1 ja B x2 ; y2 ; z2 , siis uuur uuur AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ehk AB X ; Y ; Z , kus X x2 x1 , Y y2 y1 , Z z2 z1 . r r r
satakse kõrgusarvud, mis näitavad absoluutne kõrgus maapinna punktide kõrgust ja toovad esile maastiku detailid. Kõrgusarvud esitatakse kaardil nii, et arvu n-ö ja- lad jäävad languse suunas. Eesti kaar tidel kasutatavad kõrgusandmed on Joonis 8.3. Absoluutne ja suhteline kõrgus taandatud Balti mere pinna pikaaja- liste mõõtmiste keskmisele taseme- Saadud kõverate ristprojektsioonid le Kroonlinnas (Kroonlinna nullile). horisontaalpinnale annavad mäe mu- deli kujutise. Mida tihedamalt hori- Maastikupunkti absoluutkõrgus on sontaalid kaardil on, seda järsem on punkti kõrgust merepinnast meetri- nõlv looduses. Sestap on soovitatav tes. Ühe maastikupunkti kõrguskasvu teekonda plaanides vältida tihedalt teise suhtes ehk kõrgust künka jalamilt esitatud horisontaalidega ala, et säästa
annaabi.ee 
