4. Tuletada funktsiooni y = arc sin x tuletise valem. 5. Tuletada funktsiooni y = arc cos x tuletise valem. 6. Tuletada funktsiooni y = xn tuletise valem. Praktilist laadi ülesanded (1) 1. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis (loengus näide funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
...............................................................................10 Omadus 7.....................................................................................................................................10 Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemiga............................................................11 Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid...........................................................13 Keskmine ristkülikvalem.............................................................................................................13 Trapetsvalem................................................................................................................................15 Simpsoni valem...........................................................................................................................16 Trapetsivalemi näited. Veahinnangud.................................................
päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni alumise raja ümbruses.
3) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b], kuid leidub c (a
Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. 11. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 12 Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 13 Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = e (lk104) x 14. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x .(lk104) 15. Tuua näiteid mitme muutuja funktsioonide kohta. Kahe muutuja funktsiooni näited: 1) Ristküliku pindala: S (x,y) = xy U I (U , R ) =
funktsioonil on algfunktsioon ja see avaldub elementaarfunktsioonina. Sel juhul me saame määratud integraali täpse väärtuse. Kuid on ka selliseid elementaarfunktsioone, millel küll leidub algfunkt- sioon, kuid see ei avaldu elementaarfunktsioonina. Sellistel juhtudel kasutatakse mitmesuguseid määratud integraali ligikadse arvutamise meetodeid. Räägitakse ka funktsioonide numbrilisest in- tegreerimisest, mille tuntumad meetodid on ristkülikvalem, trapetsvalem ja Simpsoni valem (vt [4], lk 243-246; [5], lk 441-451). Loomulikult sobivad loetletud meetodid ka selliste funktsioonide määratud integraalide ligikaudseks leidmiseks, mille algfunktsioon avaldub elementaarfunktsiooni- na. 4.5 Kõvertrapetsi pindala Olgu funktsioon y = f (x) määratud, pidev ja mittenegatiivne lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funktsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks.
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg täpsemalt x telje lõik [a,b], neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel v...
f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x ) dx a c Ligikaudne arvutamine b ba Ristkülikvalem f ( x)dx = a n ( y 0 + y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 ) b ba Trapetsvalem f ( x)dx = a 2n
f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x ) dx a c Ligikaudne arvutamine b ba Ristkülikvalem f ( x)dx = a n ( y 0 + y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 ) b ba Trapetsvalem f ( x)dx = a 2n
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg või täpsemalt x telje lõik [a,b]), neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S ...
See eksisteerib iga x korral, mis rahuldab tingimust . 2. Defineerida integraal katkevast funktsioonist! Esitage arvutusnäide! 3. Leida käsitsi ! mathcadiga: 4. Leida käsitsi ! mathcadiga: 5. Millal päratu integraal hajub? Esitage näide! Päratu integraal hajub, kui ei oma lõplikku väärtust. 6. Millal päratu integraal koondub? Esitage näide! Päratu integraal koondub, kui omab lõplikku väärtust. 7. Koostada üks ristkülikvalem ja kasutada seda integraali arvutamisel! 8. Kuidas on omavahel seotud antud funktsiooni integraalsumma ja ristkülikvalemid? Ristkülikuvalemid on integraalsumma erikujud. 9. Milline ristkülikvalemi koostamise idee? 10. Milline trapetsvalemi koostamise idee? 11. Milline Simpsoni valemi koostamise idee? 12. Leida käsitsi integraal , kus (x) on Heaviside funktsioon. 13. Leida arvuti abil parameetrilisel kujul antud joonega x = cos(t), y = t ja y-teljega
xi f (x) dx h · f (ci ), i = 1, . . . , n. xi-1 Liites kõik need pindalad kokku, saamegi järgmise valemi. 90 9.6. Numbriline integreerimine Keskpunkti meetod (või ka lihtsalt ristkülikvalem). b f (x) dx h · (f (c1 ) + f (c2 ) + · · · + f (cn )). a Trapetsmeetod Trapetsmeetodi korral lähendatakse igal osalõigul kõvertrapetsi pindala vastava trapetsi pindalaga (ehk graafiku joont lähendatakse sirgega). Kuna trapetsi pindala avaldub valemiga kõrgus f (xi-1 ) + f (xi )
annaabi.ee 
