Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu εümbrus, arvu parem ja vasakpoolne ümbrus. Definitsioon : Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk ε ümbruseks nimetatakse iga vahemikku (a ε,a+ε), kus ε >0 on mingi arv. 3. Sõnastada hulga kuhjumispunkt, sisepunkt ja rajapunkt. Definitsioon : Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X
1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt
Hajuv- mitteomav.
a
rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn|
arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| < .
.. . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P0 -ümbruses leidub nii hulga D punkte kui ka punkte, mis ei kuulu hulka D, s.t > 0 U ( P0 ) D U ( P0 ) D . Hulga raja: Hulga D kõigi rajapunktide hulka nim. hulga D rajaks. Lahtine hulk: Hulka D nim. lahtiseks kui kõik tema punktid on sisepunktid. Kinnine hulk: Hulka D nim. kinniseks kui hulka D kuuluvad ka kõik tema rajapunktid. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus
Teabe sisu ja selle tase. Enamus vaatluspunktides olid kirjeldatud liigid või objektid kohe näha. Teabepunktid mis räägivad ajaloost olid kohati lihtsalt informatiivsed, kuna objekti enam pole. Näiteks „kuninga pärn“ ja „Kerikmägi“ Tebaepunktide tekst on lühike ja sisutihe, kuid lihtsalt loetav. Teabetekstid on kinnitatud tulpadele nagu näha allpool asuval joonisel 1 ja teksti näide on toodud joonisel 2. Pildid ei ole tehtud samast punktist. Joonis 1. Hiinlaste haua rajapunkt, koos seda märgistava tulbaga 4 Joonis 2. Põlismänni rajapunkti tekst Loodusrajal olevate objektide, liikide, loodusväärtuste kirjeldused ja autori kommentaarid. 1. Looduse õpperada algab. Sellest, kust sai Vapramäe oma nime on mitmeid legende. Ühe legendi järgi on Vapramägi endine linnamägi. Linnamäe vanema Vapra nime järgi, mille andnud rahvas talle tema vapruse eest, ongi Vapramägi oma nime saanud.
(a - , a + ) , kus > 0 on mingi arv. Mida väiksem on , seda lühem on vahemik (a - , a + ) , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis.
maanteesillani. Matkaraja teine osa Karepa-Meremäe teelt kuni Võru-Obinitsa maanteeni kulgeb suures osas jõeluhtadel ja kaldaäärsetes metsades, kus kohati on tähiseks ainult matkarajast vasakul looklev Piusa jõgi . See on maastikukaitseala kõige inimpuutumatum osa. Maanteelt läheb rada edasi jõe äärt mööda läbi kuusiku. Mõnesaja meetri pärast on jõe ääres näha ohvrikivi. Rada jätkub piki jõe paremat kallast, järgmine huvitav rajapunkt on liigirikas Rebäseniit. Niidul on väike mändidega kaetud Kukumäe küngas, mis rahvapärimuse järgi on väepealiku haud. Rada jätkub piki jõge, ületades luhaniite ja järsemaid orupervi. Umbes 2 km pärast jõuab Härma Mäemise ehk Keldre müürini. Teie ees on seal Härma küla all olev Eesti kõrgeim devoni liivakivi paljand, oruperv küünib seal 43 meetrini, paljand kulgeb kuni 150 m ulatuses. Tähistatud rada läheb seal nüüd metsavaheteele, pöörates paremale
sf¨ a¨ariga. Hulga sise- ja rajapunktid. Olgu G ruumi Rm alamhulk. Punkti A nimetatakse hulga G sisepunktiks, kui leidub punkti A u ¨mbrus, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. Punkti A nimetatakse hulga G rajapunktiks, kui tema suvalises u ¨mbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G. Sise- ja rajapunktide hulgad ei oma u ¨hisosa. Teiste s~onadega: u¨ks ja sama punkt A ei saa olla hulgale G samaaegselt nii sise- kui ka rajapunkt. K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste
Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud mingi pinnaga rajapinnaga. Def 1.3. Punkt P on piirkonna sisemine punkt, kui leidub selline P ümbrus U ( P ) D , mis sisaldub täielikult D-s. Punkt Q on piirkonnaväline punkt, kui leidub selline ümbrus U ( Q ) D , mis ei sisaldu D-s. Punkt R on piirkonna D rajapunkt, kui selle mis tahes ümbrus U ( R ) sisaldab nii piirkonna D punkte, kui ka punkte väljaspool D-d. Piirkonna D kõik rajapunktid moodustavad selle rajajoone (rajapinna). Def. 1.4. Piirkonda, mille kõik punktid on selle piirkonna sisemised punktid nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui piirkond sisaldab kõiki oma rajapunkte, siis nimetatakse seda kinniseks piirkonnaks ja tähistatakse D . Def. 1.5. Piirkond D on tõkestatud, kui leidub selline kera K R raadiusega R, et D K R .
6 L˜oigu [a; b] ⊂ R rajapunktideks on parajasti a ja b. N¨ aide 3.7 Topoloogilise ruumi X rajapunktide hulk on t¨ uhi. Teoreem 3.15 ∂A = cl(A) int(A). T˜oestus. Olgu A topoloogilise ruumi X suvaline alamhulk. Kui x ∈ cl(A) int(A), siis x ∈ cl(A) ja x ∈ int(A) ning sulundi ja sisemuse definitsiooni kohaselt punkti x iga u ¨mbrus sisaldab nii hulga A punkte kui ka hulka A mittekuuluvaid punkte, st x on hulga A rajapunkt ja x ∈ ∂A. J¨arelikult ¨ 3.4 Ulesandeid 33 cl(A) int(A) ⊂ ∂A. Vastupidi, kui x ∈ ∂A, siis punkti x iga u¨mbrus sisaldab nii hulga A punkte kui ka hulka A mittekuuluvaid punkte, st x ∈ cl(A), x ∈ int(A) ja x ∈ cl(A) int(A). J¨arelikult ∂A ⊂ cl(A) int(A) ning varem saadud vastupidise sisalduvuse t˜ottu ∂A = cl(A) int(A). Definitsioon 3.8 Hulga A k˜oigi rajapunktide hulka ∂A
annaabi.ee 
