funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal.
Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas
funktsiooni osatuletistest koosnevat vektorit 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P.
x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b . 3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6. Pinna z = f (x, y ) puutujatasand ja normaal Def. Pinna z = f ( x, y ) puutujaks punktis A = (a, b, f (a, b )) nimetatakse sellel pinnal asuva ja punkti A läbiva joone puutujat. Väide. Kui punktis A = (a, b ) leiduvad pidevad osatuletised f x ja f y , siis pinna z = f ( x, y ) puutujad punktis A = (a, b, f (a, b )) asuvad kõik samal tasandil. Seda tasandit nimetatakse pinna z = f ( x, y ) puutujatasandiks punktis A . Puutujatasandi võrrand: Pinna z = f ( x, y ) puutujatasandi võrrand punktis
Puutujatasandi võrrand punktis P0: Fx ( P0 )( x - x0 ) + Fy ( P0 )( y - y 0 ) + Fz ( P0 )( z - z 0 ) = 0 . n = ( Fx ( P0 ); Fy ( P0 ); Fz ( P0 ) ) . Puutujatasandi normaal punktis P0: Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole). Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A .
x=x(t) ja y=y(t), tЄ[α;β], siis pindala saab valemitest: S=§xdy ; S=-§ydx ; S=1/2§xdy-ydx Muutuva jõu poolt kõverjoonel tehtud töö: Liikugu punkt P(x,y,z) massiga m mööda joont AB jõu F toimel, mis selle punkti liikumisel muutub nii suuruse kui sihi poolest. F=[X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)] Jõu F poolt tehtud töö: W=mʃABXdx+Ydy+Zdz 15. I liiki pindintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu R3 antud pind Ω(pind, kus igas pt-s on võimalik leida puutujatasand ja normaal) Jagame pinna Ω n siledaks osaks Δσ1, Δσ2, … Δσn, kus ΔSi tähistab tüki Δσi pindala. Olgu pinnal antud funktsioon f(P)=f(x,y,z). Moodustame integraalsumma: VALEM, kus PiЄΔσi. Olgu λi osapiirkonna Δσi diameeter. DEF. Kui sellel summal on olemas maxλi→0 korral piirväärtus sõltumata pinna osadeks jaotamise viisist ning pt-de Pi valikust, siis nim seda piirväärtust funktsiooni f esimest liiki pindintegraaliks e pindint. pindala
|s| 2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on gradiendisuunaline 3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A. Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A 12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge Pinna puutujatasand ja tema võrrand Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b)) Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis 13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
y 2y 2 0 2z 2z 2z x2 2 y2 2 x y 0, kust A 4 0. 2z Kuna x2 2 0, siis on puntis 1, 2 miinimum. 2. Pinna puutujatasand ja normaal. Vaatleme pinda z f x, y , kus x, y D. Punktile P 0 x 0 , y 0 D vastav punkt pinnal olgu Q 0 x 0 , y 0 , z 0 . Siis pinnal z f x, y on olemas punktis Q 0 z-teljega mitteparalleelne puutujatasand parajasti siis, kui funktsioon on diferentseeruv punktis P 0 ja puutujatasandi võrrand on f x x 0 , y 0 x f y x 0 , y 0 y z d 0. Arvu d leiame tingimusest, et punkt Q 0 x 0 , y 0 , z 0 kuulub puutujatasandile.
Kera iga tasapinnale lõige on ring. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera raadius ning lõiget nimetatakse kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Kõiki teisi lõikeringe nimetatakse väikeringideks. Suurring jagab kera kaheks poolkeraks. Joonis 6 Tasandit, millel on kera pinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse puutujatasandiks. Kera puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Kera pindala võrdub neljakordse suurringi pindalaga: S = 42. Kera ruumala võrdub ja raadiuse kuubi korrutisega: V = 3. 3.6.1. Näiteülesanded Leiame kera pindala ja ruumala, kui kera raadius on 3 cm. S = 42 = 4 x 32 = 36 (cm2) ~ 113,1 (cm2). V = 3 = x 33 = 36 (cm3) ~ 113, 1 (cm3). Saime huvitava tulemuse: kui kera raadius on 3 cm, siis kera pindala ja ruumala arvväärtused on võrdsed. KOKKUVÕTE
( t 0 )( z - z 0 ) = 0 (11.2) Normaaltasandi võrrand. ? ? s = r?( t 0 ) ? x = PQ ? ? ?? ? ? x ja s on kollineaarsed ( s x ) ehk x = k s x - x0 y - y0 z - z 0 (11.3) = = x( t 0 ) y ( t0 ) z(t 0 ) Puutuja võrrandid. Parameetrilisel kujul x = x 0 + x( t 0 ) t y = y 0 + y( t 0 ) t (11.3') z = z + z(t ) t 0 0 12. Teoreem gradiendist ja nivoojoonest (nivoopinnast). Kõverpinna puutujatasand ja normaal. Teoreem 12.1. Funktsiooni gradient on risti vaadeldavat punkti läbiva nivoojoonega või nivoopinnaga. Tõestus. 1) Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle nivoojoont f ( x, y ) = c Leiame nivoojoone puutuja võrrandi punktis P( x0 , y 0 ) . y - y 0 = y P ( x - x0 ) Leiame tuletise kui ilmutamata funktsiooni tuletise. Saame f y = - x f y Seega antud puutuja võrrand on f x P
Vastavat valemit koos sel juhul kehtivate piirangutega vt. [1]. 4.4. Kaldhammastega silinderülekanne 4.4.1. Kaldhammaste külgpinna moodustamine. Hambumise kujunemine Kasutatakse suurematel kiirustel, kuna kaldhammaste eelisteks on paremad kontaktitingimused ja suurema katteteguri tõttu hea ülekandesujuvus. Kaldhammaste külgpind on evolentkruvipind, mille moodustab alussilindri 1 puutujatasandil 2 asuv kaldsirge EF, kui puutujatasand veereb alussilindril libisemata (joon. 70.b). Kruvipinna määravad kaks parameetrit: alussilindri läbimõõt db ja kaldenurk alussilindril b . Joonis 71 kujutab sirghammaste, joon. 72 kaldhammaste teoreetiliste pindade hambumist. Otslõikes 3 (joon. 70) tekivad mõlemal juhul evolventprofiilid EoE (otsprofiilid). Seetõttu saab nii sirg- kui ka kaldhammaste otslõikes (tähistes indeks t) määratavaid suurusi arvutada ühesuguste valemitega. Seejuures tuleb aga silmas
annaabi.ee 
