Tasandi punkti X kirjeldamiseks saab samuti kasutada kahe reaalarvu: ρ – punktide O ja X vaheline kaugus – polaarraadius – moodul ρ=| z|=√ z ´z = √ x + y 2 2 φ – nurk kiire ja sirglõigu OX vahel – polaarnurk – argument Tähistatakse φ=Arg (z ) Arg ( z )=arg ( z ) +2 kπ , kus k ∈Z Argumendi peaväärtus – kompleksarvu z argument, mis kuulub poollõiku ¿ . Tähistatakse: arg ( z ) Väärtused: −π < arg ( z) ≤ π Tasandi igale punktile X saab vastavusse seada polaarkoordinaadid X ( ρ, φ) .
b
(joon) x=(t) ja y=(t) siis S = ydx [x=at=; x=bt= ja dx=(t)dt=xdt] siis pindala saab: S = yx dt
a
Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides
(joon) -polarkaugus (p raadius), punkti kaugus poolusest; -polaarnurk. Seos ristkoordinaadistikuga: (joon) P(;).
[x/=cos; y/=sin] {x=cos; y=sin} x2=2cos2; y2=2sin2 =x2+y2 Kõversektori pindala
polaarkoordinaadistikus: (joon) =; = ja =(). Vaja leida pindala [; ] vahel =o<1<...
konstantidest lõpliku arvu liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. Polaarkoordinaadistik: Punkti asukoha määramiseks tasapinnal saab kasutada polaarkoordinaate. Võtame tasapinnal punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetatakse polaarteljeks. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) ρ , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk ϕ , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ρ ja ϕ nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. 6. Muutuva suuruse piirväärtus: Def. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kui tahes väikese positiivse arvu ε puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates
> 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid. Seosed polaar- ja ristkoordinaatide vahel, joonis. Punkti M asukoha tasapinnal määravad kaks arvu: polaarkaugus (polaarraadius) , mis on punkti M kaugus poolusest, ja polaarnurk , mis on polaartelje ja lõigu OM vahel. Vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. Arve ja nimetatakse punkti M polaarkoordinaatideks. Polaarkaugus on alati mittenegatiivne: 0
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafik...
Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ). üleminekuvalemid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: Polaarkoordinaadistik tasandil: Suunaga arvtelg e. polaartelg. Alguspunkt Ühiku pikkus Polaarraadius r = |OM| Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel.
D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja vahetuse teostamiseks peame arvutama jakobiaani J(, ). Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y
· Sirgel: A (x = |OA|, kui A asub pos osal; x = -|OA|, kui A asub neg. osal.) · Tasandil (punkti kordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele): M Mx, My; Mx(x), My(y) M(x;y) 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: · Suunaga arvtelg e. polaartelg. · Alguspunkt · Ühiku pikkus · Polaarraadius r = |OM| · Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: · x = rcos; y = rsin. · r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 12. Ristkoordinaadistik ruumis. Punkti ristkoordinaadid ruumis. Punkti silinderkoordinaadid. Seosed punkti rist- ja silinderkoordinaatide vahel. Ristkoordinaadistiku ruumis moodustavad kolm paarikaupa ristuvat koordinaattelge, mille alguspunktid ühtivad
a Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni (P) , kus =|OP|, - on punkti P projektsiooni polaarnurk xy-tasandil piirväärtus, mis võrdubki jõu F poolt tehtud tööga. Seega 15. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all integraalsumma piirkonnas D piirväärtus protsessis n0 on ja 0 on vektori OP ja z-telje vaheline nurk
telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Punkti sfäärilised koordinaadid M(;;). - punkti kaugus alguspunktist; - nurk OMxy ja x-telje pos. suuna vahel. - nurk OMxy ja OM vahel. Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel:1) x 2) y 3) z = sin* 12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e. suunatud lôik lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus). Tähistused a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3). Vektorite vôrdsus - vektoreid nim
Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga
Selleks tuleb valida sobiv ristkoordinaatide süsteem. Eesti riikliku koordinaatide süsteemi x-teljeks on 24o meridiaan või sellega paralleelne suund ja y- teljeks ekvaatori kujutis või sellega paralleelne suund. Tasapinna ristkoordinaadid jagavad tasapinna 4 veerandiks. 5. Polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate kasut. samuti tasapinnal. Koosneb kahest elemendist: s polaarraadius, polaarnurk. Alguspunktiks polaartelg. Selle saab määrata kas riiklikkus koordinaatide süsteemis või suvaliselt. 6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: · abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga
x=cos x'=cos x'=-sin xz'=0 y=sin y'=sin y'=cos yz'=0 z=z z'=0 z'=0 zz'=1 cos - sin 0 J ( , , z ) = sin cos 0 = Seega z 0 1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z ) dddz V V' Punkti P(x,y,z)R sfäärkoordinaadid ruumis alguspunktiga O on , ja , kus =| 3 OP|, - on punkti P projektsiooni polaarnurk xy-tasandil ja 0 on vektori OP ja z-telje vaheline nurk. x=cossin x'=cossin x'=-sinsin x'=coscos y=sinsin y'=sinsin y'=cossin y'=sincos z=cos z'=cos z'=0 z'=-sin Olgu piirkonnas V paiknevatele punktidele vastavate sfäärkoordinaatide hulk V'. cos sin - sin sin cos cos J ( ,, z ) = sin sin cos sin sin cos = -2 sin cos 0 - sin Seega
= (1 - 1 - 3 - 2 + 5) + (2 - 3 + 2 - 1)i = 0 + 0i = 0 11 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju 11.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Olgu z = Re z+i Im z C. Vastavalt kompleksarvu geomeetrilisele t~olgendusele on reaalosa Re z ja imaginaarosa Im z kompleksarvu z ristkoordinaadid komplekstasandil. L¨ ahme u ¨le polaarkoordinaati- dele. Olgu punkti z kaugus koordinaatide alguspunktist (polaar- kaugus) ning polaarnurk. Lepime kokku: kui nurka m~ o~odame reaaltelje positiivsest poolest vastup¨ aeva, siis > 0, kui m~o~odame reaaltelje positiivsest poolest p¨ arip¨ aeva, siis < 0. ¨ Uleminekuvalemid polaarkoordinaatidele on j¨ argmised: 2 2 = (Re z) + (Im z) = |z| Re z = cos
O x Definitsioon 16. Punkti (x, y) kohavektori pikkust nimetatakse polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x, y) kohavektor moodustab x-telje positiivse suunaga, nimetatakse polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda m~o~odetud nurk loetakse posi- tiivseks ja kellaosuti liikumise suunas m~o~odetud nurk negatiivseks. Punktile (x, y) vastav polaarnurk ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. Nimelt sellele nurgale 2k (k Z) lisamisel saadud nurk m¨a¨arab sama punkti (x, y). Punkti (x, y) = (0; 0) polaarkoordinaatide u ¨heseks m¨ aramiseks valime 0 < 2 0 < < +. Punkt a¨ (x, y) = (0; 0) m¨a¨ aratakse polaarkoordinaatides tingimusega = 0. Punkti rist- ja po- laarkoordinaatide vahel on seosed: x = cos , y = sin ,
Programmeeritud joonestamine Tartu 2000 1. Ruumilised koordinaadid Ruumiliste jooniste valmistamiseks on vajalik tunda tähtsamaid ruumilisi koordinaatsüs- teeme (vt joonis 1): ristkoordinaate xyz, silinderkoordinaate rz ja sfäärkoordinaate . Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid XY-tasapinnal. Sfäärkoordinaatide puhul on suurus punkti P(x,y,z) kaugus koordinaatide algusest O ( = x 2 + y 2 + z 2 ). Nurk määratakse siin samal viisil kui silinderkoordinaatide korral, aga vertikaaltasapinnas mõõdetav nurk (90O < 90O) määrab raadiuse kaldenurga XY-tasapinna suhtes.
= x (5.8) , kui x = 0 y > 0, 2 - , kui x = 0 y < 0, 2 Paljudel funktsioonidel on polaarkoordinaadistikus oluliselt lihtsam esi- tusviis kui ristkoordinaatides. Polaarkoordinaatide puhul loetakse tavaliselt argumendiks polaarnurk ja funktsiooniks polaarraadius . Seega funktsioon polaarkoordinaatides esitatakse s~oltuvusena = (), mis iseloomustab, kui- das polaarraadius s~oltub polaarnurgast. 7 N¨aide 1. Teisendame ilmutamata kujul antud funktsiooni (x-r)2 +y 2 = 2 r polaarkoordinaatidesse. Selle funktsiooni graafikuks on ringjoon keskpunktiga (r; 0) ja raadiusega r. Avades antud v~orduses sulud, saame x2 - 2rx + r2 + y 2 = r2 ehk x2 + y 2 = 2rx. Minnes teisenduste (5
annaabi.ee 
