x 0 x x 0 4. Kui x = 3, siis saame f ' (3) = 2 3 = 6 7 Rühmatöö 5 Tuletise definitsioonist lähtudes leia funktsiooni y = - tuletis. x 8 Joone puutuja Joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja y Q PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. y Täisnurksest kolmnurgast tan = P QP x 0 x x 0 y tan tan
erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x). Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju y=A x + , kus A on (x -st sõltumatu) konstant ja rahuldab tingimust lim x0/x=0. T5. Funktsioon y= f(x) on diferentseeruv kohal x parajasti siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f' (x). Def3. Lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q läheneb piiramata punktile P mööda joont, nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f' (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga. T5. Rolle'i teoreem: Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ] a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ]a, b [, nii et f' ( ) = 0). T6
funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust x f ( x + x ) - f )( x ) f ( x ) = lim = lim x 0 y x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x ) f ( x ), y , y x , , Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. Üle vaadata! 7. Tuua näide diferentsiaali rakendamise kohta ligikaudsel arvutamisel. 8. Määramata integraal, määramata integraali omadused. 2 Avaldist F (x) + c, kus F (x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f (x) dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. Määramata integraali omadused
Kui nüüd küttesegu süüdata, tekib põlemisel kõrge temperatuur ja põlemisgaas paisub, tekitades rõhu, mis surub kolvi silindris allapoole. Kolvi liikumine kandub kepsu kaudu väntvõllile ja see hakkab pöörlema. Nii muutub küttesegu põlemisel silindris vabanev energia mehhaaniliseks tööks. Kolb liigub silindris sirgjooneliselt edasi-tagasi. Piirseise, kus kolvi liikumissuund muutub, nimetatakse surnud seisudeks. Kolvi kaugeimat piirseisu väntvõllist nimetatakse ülemiseks surnud seisuks (ü.s.s.) ja lähimat piirseisu alumiseks surnud seisuks (a.s.s.). Tee pikkust, mille kolb läbib liikumisel silindris ühest surnud seisust teise, nimetatakse kolvikäiguks ning antakse tehnilistes andmetes millimeetrites. Väntvõlli ühe täispöörde vältel teeb kolb 2 käiku. Protsessi, või selle osa, mis toimub silindris ühe kolvikäigu vältel, nimetatakse taktiks. Mootori töötamisel peavad silindris toimuma järgmised protsessid:
rentsiaaliks punktis x ja tähistatakse sümboliga d2y, seega d2y = d(dy). Analoogselt jätkates d3y = d(d2y) (kolmandat järku diferentsiaal) ja üldiselt dny = d(dn1y) (n-järku diferentsiaal). 7. Tuletise ja diferentsiaali rakendusi 7.1. Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus Joone puutujaks punktis P0 = (x0, y0) nimetatakse selle joone kõõlu P0Q piirseisu, kui punkt Q läheneb punktile P0 mööda joont. Joonel y = f (x) (funktsiooni f graafikul) on juhul, kus f on diferentseeruv punktis x0, olemas puutuja punktis P0 = (x0, y0), mille võrrand on y - y 0 = f ( x0 )( x - x0 ). Seega on joone y = f (x) punktis P0 = (x0, y0) võetud puutuja tõus f (x0). Vaatleme joonel y = f (x) punkte P0 = (x0, y0) ja Q= (x0+x, y0+ y), siis vastav puutu- ja oordinaadi muut on dy(x0, x). 7.2. Tuletis kui liikumise kiirus
y 0 y x 0 y y y f ( x ) lim lim g x 0 g x 0 x Kui x 0 , siis f pidevuse tõttu ka y 0 . Kui y 0 , siis g pidevuse tõttu ka x 0 . Seega on protsessid x 0 ja y 0 samaväärsed. 12. Tuletise geomeetriline tähendus * ( joone y = f (x) puutuja tõus). Joone puutujaks punktis P0 = (x0, y0) nimetatakse selle joone kõõlu P0Q piirseisu, kui punkt Q läheneb punktile P0 mööda joont. Joonel y = f (x) (funktsiooni f graafikul) on juhul, kus f on diferentseeruv punktis x0, olemas puutuja punktis P0 = (x0, y0), mille võrrand on y - y 0 = f ( x0 )( x - x0 ). Seega on joone y = f (x) punktis P0 = (x0, y0) võetud puutuja tõus f (x0). Vaatleme joonel y = f (x) punkte P0 = (x0, y0) ja Q= (x0+x, y0+ y), siis vastav puutu- ja oordinaadi muut on dy(x0, x). 13
0 *Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f'(x) kohal x nimetatakse piirväärtust: Kui see piirväärtus eksisteerib. *Tuletise leidmise skeem - vastavalt tuletise definitsioonile, koosneb funktsiooni tuletise leidmine järgmistest etappidest: 1. funktsiooni f(x) muudu y arvutamine vastavalt valemile 2. jagatise moodustamine 3. piirväärtuse leidmine *joone puutuja: joone puutujaks punktis nimetatakse lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). 1 Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferenseerimiseks. 2 Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0 , siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas.
x0 x Kasutatakse ka t¨ ahistusi df (x) d dy = f (x) = =y. dx dx dx Geomeetriliselt v~ oib funktsiooni f (x) tuletist punktis x interpreteerida kui selle funkt- siooni graafikule punktis (x, f (x)) konstrueeritud puutuja (l~oikaja piirseisu) t~ousunurga tangensit. Kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artus on l~opmatu, siis k~oneldakse l~ opmatust tuletisest. Kui funktsioonil f (x) on l~opmatu tuletis punktis x, siis funktsiooni graafikule punktis (x, f (x)) t~ommatav puutuja on paralleelne y-teljega. Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x.
ning ratastega. Siia kuulub ka esi- ja tagavedrustus ning Väntvõlli pöörlemisel liigub kolb silindris sirgjooneliselt inuud lisaseadised (rataste porikaitsmed, sadulad, jalatoen- edasi-tagasi. Piirseise, milles kolb muudab oma liikumis- dld jt.). suunda, nimetatakse surnud seisudeks. Kolvi kaugeimat J uh t seadised on rool ja pidurid. Rooli abil muude - piirseisu väntvõllist nimetatakse ülemiseks surnud takse mootorratta liikumissuunda, piduritega vähendatakse seisuks -- lühendatult ü. s. s. -- ja lähimat piirseisu liikumiskiirust kuni peatumiseni. Roolikangil paiknevad alumiseks- surnud seisuks -- lühendatult a. s. s. mitmesugused seadised mootori ja teiste mehhanismide (joon. 3,5). Teepikkust S, mida kolb läbib liikumisel silindris ühest
annaabi.ee 
