A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i Sirge parameetriline vektorvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s :AX = ts, t R nimetame sirge s parameetriliseks vektorvõrrandiks. Suurust t selles võrrandis nimetame parameetriks. Sirge parameetrilise vektorvõrrandi võime üles kirjutada ka kujul s = {X| AX = ts, t R}. Sirge parameetriline vektorvõrrand punktide kohavektorite kaudu - Sirge s võrrandit kujul s : = a + ts, t R nimetatakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks punktide kohavektorite kaudu. Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides - Sirge s võrrandeid kujul s : x1 = a1 + ts1
tõkestatud funktsiooniks hulgal X1. DEF 13. Funktsiooni y=f(x) (x c X) pöördfunktsiooniks nim. funktsiooni x=f-1(y), mis igale arvule y Y = f(X) seab vastavusse arvu x X, kusjuures y=f(x) DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15. Funktsionaalse sõltuvuse y=f(x) (xX) esitust kujul x=(t) ja y=(t) (tT), kus (T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim. funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4
f ( x1 ) > f ( x2 ) Funts.y=f(x) pöördfunktsiooniks nim funkts y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Funkts.f on esitatud võrrandi F(x,y)=0 abil ilmuatamat kujul, kui x-X, F(x,f(x))=0. Punktihulka x,y nim võrrandiga F(x,y)=0 ilmutamata kujul antud funkts graafikuks. Funkts Y=f(x) esitust kujul x=(t) ja y=(t), kus t-T{(t)It-T}=X ja t-T(f((t))=(t)) nim funkts parameetriliseks esituseks x = ( t ) , Funkts parameetriline esitus: On antud kaks võrrandit y = ( t ) , kus t omandab kõik väärtused lõigult [ T1 , T2 ] . Igale t väärtusele vastab üks x väärtus ja üks y väärtus (eeldusel, et funktsioonid ja on ühesed)
(parameetrite arv on lõpmatu). Kui aga määrata filter Thompsoni multiakna meetod parandab spektri lõpliku arvu parameetritega, muutub signaali mudel hinnangut sel teel, et nelinurksele aknale vastav parameetriliseks. Parameetriliste mudelite liigid: ribafilter asendatakse optimaalse FIR-filtriga, mis MDL kriteerium. The minimum description lenght kus on kahanevate väärtustega reana esitatud
järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis
-1 -2 u ¨lemist ja alumist poolt m¨ a¨aravate funktsioonidega f1 ja f2 . Definitsioon 15. Funktsionaalse s~oltuvuse y = f (x) (x X) esitust kujul x = (t) y = (t) (t T ), (1.1.2) kus (T ) = X ja t T : (t) = f ((t)), nimetatakse funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning k~oneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. 17 Funktsiooni f parameetrilist esitust (1.1.2) v~oime illustreerida diagrammi abil x t f y
x2 = 2(t) .... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id
x2 = 2(t) .... xm = m(t) , t [T1, T2] . Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id
Sirge on määratud mingi punktiga A(ax; ay; az), mille ta läbib (st A ), ja vektoriga = , millega on see sirge paralleelne, st (seda vektorit nimetatakse sirge (sx; sy; sz) 0 sihivektoriks). Olgu X (x; y; z) sirgel paiknev suvaline punkt. Et vektor , siis leidub mingi arv , et Definitsioon. Võrrandit , nimetakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks. Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt Seega Kuna , siis millest saame sirge nn parameetrilisi võrrandeid : Kui vektori = (sx; sy; sz) kõik koordinaatid pole võrdsed nulliga, saame avaldada parameetrilistest võrranditest parameetri t: saame sirge nn kanoonilisi võrrandeid: Kui vektori üks koordinaat on null, nt
1 Tasandit määravate mittekollineaarset vektorsüsteemi {u, v} E3 ni- metatakse tasandi rihiks, vektoreid u ja v ka tasandi rihivektoriteks. Punkti A ja rihivektorite u ja v abil saab leida mistahes vabavektori AX tasandil . Definitsioon 14.2 Võrrandit = {X | AX = t1 u + t2 v, t1 , t2 R} (14.1) Kuna punkti A ja rihivektoreid nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvõrrandiks. Muutu- u ja v tasandi peal saab valida väga erineval moel, siis tasandil jaid t1 ja t2 nimetatakse aga parameetriteks. on lõpmata palju parameetrilisi vektorvõrrandeid. Anname selle võrrandi ka kohavektorite kaudu
¨tiliseks esitusviisiks on funktsiooni para- meetriline esitusviis. Parameetrilise esitusviisi korral ei ole kaks muutujat x ja y omavahel otseselt v~ordusega seotud, vaid on seotud l¨abi kolmanda muutuja, nn parameetri t. Parameetrilise esitusviis on u ¨ldjuhul x = (t) y = (t) Parameetrilisel kujul on v~oimalik esitada k~oiki funktsioone. Funktisooni y = x2 parameetriliseks esitusviisiks on x=t y = t2 Funktsiooni x2 + y 2 = r2 parameetriliseks esitusviisiks on x = r cos t y = r sin t 3 Selles esitusviisis on parameetriks t joonisel n¨aidatud nurk. y t
nel. Ringjoone kirjeldamiseks peame kasutama funktsioone siinus ja koosinus, mil- lest on juttu ka trigonomeetria peatükis [lk 230]. Ringjoone kõiki punkte kirjeldava parameetrilise võrrandi saame, kui muu- dame funktsiooni sisendit nullist kuni -ni ning arvutame -i ja -i järgnevalt: 98 Nõnda saadud kirjeldust nimetatakse parameetriliseks võrrandiks. Kõik ülaltoodud viis ringjoone definitsiooni on matemaatiliselt võrdväärsed. Seega ja e pole vist sugugi liig öelda, et ringjoon on üks mitmekülgne ja ilus matemaatiline objekt. Ringjoon loob seoseid matemaatikas ja on kesksel kohal kogu looduse kir- kuulsad arvud jeldamisel
annaabi.ee 
